Teorema de Fermat (puntos estacionarios)

Método para encontrar máximos y mínimos locales de funciones diferenciables en conjuntos abiertos

En matemáticas , el teorema de Fermat (también conocido como teorema del extremo interior ) es un método para encontrar máximos y mínimos locales de funciones diferenciables en conjuntos abiertos mostrando que cada extremo local de la función es un punto estacionario (la derivada de la función es cero en ese punto ). El teorema de Fermat es un teorema del análisis real , que lleva el nombre de Pierre de Fermat .

Al utilizar el teorema de Fermat, los extremos potenciales de una función , con derivada , se encuentran resolviendo una ecuación en . El teorema de Fermat da sólo una condición necesaria para valores extremos de funciones, ya que algunos puntos estacionarios son puntos de inflexión (no un máximo ni un mínimo). La segunda derivada de la función , si existe, a veces se puede utilizar para determinar si un punto estacionario es máximo o mínimo. ${\displaystyle \displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$

Declaración

Una forma de expresar el teorema de Fermat es que, si una función tiene un extremo local en algún punto y es diferenciable allí, entonces la derivada de la función en ese punto debe ser cero. En lenguaje matemático preciso:

Sea una función y supongamos que es un punto donde tiene un extremo local. Si es diferenciable en , entonces . ${\displaystyle f\colon (a,b)\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f'(x_{0})=0}$

Otra forma de entender el teorema es mediante el enunciado contrapositivo : si la derivada de una función en cualquier punto no es cero, entonces no hay un extremo local en ese punto. Formalmente:

Si es diferenciable en , y , entonces no es un extremo local de . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f}$

Corolario

Los extremos globales de una función f en un dominio A ocurren solo en límites , puntos no diferenciables y puntos estacionarios. Si es un extremo global de f , entonces se cumple una de las siguientes condiciones: ${\displaystyle x_{0}}$

• límite: está en el límite de A ${\displaystyle x_{0}}$
• no diferenciable: f no es diferenciable en ${\displaystyle x_{0}}$
• punto estacionario: es un punto estacionario de f ${\displaystyle x_{0}}$

Extensión

En dimensiones superiores, se cumple exactamente la misma afirmación; sin embargo, la prueba es un poco más complicada. La complicación es que en una dimensión uno puede moverse hacia la izquierda o hacia la derecha desde un punto, mientras que en dimensiones superiores uno puede moverse en muchas direcciones. Por lo tanto, si la derivada no desaparece, se debe argumentar que hay alguna dirección en la que la función aumenta y, por tanto, en la dirección opuesta la función disminuye. Este es el único cambio en la prueba o el análisis.

La afirmación también se puede extender a variedades diferenciables . Si es una función diferenciable en una variedad , entonces sus extremos locales deben ser puntos críticos de , en particular puntos donde la derivada exterior es cero. ^{[1] [ se necesita una mejor fuente ]} ${\displaystyle f:M\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle df}$

Aplicaciones

El teorema de Fermat es fundamental para el método de cálculo para determinar máximos y mínimos: en una dimensión, se pueden encontrar extremos simplemente calculando los puntos estacionarios (calculando los ceros de la derivada), los puntos no diferenciables y los puntos límite, y luego investigando este conjunto para determinar los extremos.

Se puede hacer esto evaluando la función en cada punto y tomando el máximo, o analizando más las derivadas, usando la prueba de la primera derivada , la prueba de la segunda derivada o la prueba de la derivada de orden superior .

Argumento intuitivo

Intuitivamente, una función diferenciable se aproxima por su derivada: una función diferenciable se comporta infinitamente como una función lineal o, más precisamente, desde la perspectiva de que "si f es diferenciable y tiene una derivada que no desaparece en entonces no alcanza un extremo en "La intuición es que si la derivada en es positiva, la función aumenta cerca , mientras que si la derivada es negativa, la función disminuye cerca . En ambos casos, no puede alcanzar un máximo o un mínimo, porque su valor está cambiando. Sólo puede alcanzar un máximo o un mínimo si "se detiene": si la derivada se desvanece (o si no es diferenciable, o si uno se topa con el límite y no puede continuar). Sin embargo, hacer que "se comporta como una función lineal" sea preciso requiere una prueba analítica cuidadosa. ${\displaystyle a+bx,}$ ${\displaystyle f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

Más precisamente, la intuición se puede expresar como: si la derivada es positiva, hay algún punto a la derecha de donde f es mayor, y algún punto a la izquierda de donde f es menor, y por lo tanto f no alcanza ni un máximo ni un mínimo en Por el contrario, si la derivada es negativa, hay un punto a la derecha que es menor y un punto a la izquierda que es mayor. Dicho de esta manera, la prueba es simplemente traducir esto en ecuaciones y verificar "cuánto mayor o menor". ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}.}$

La intuición se basa en el comportamiento de funciones polinómicas . Supongamos que la función f tiene un máximo en x ₀ , siendo el razonamiento similar para una función mínima. Si es un máximo local entonces, aproximadamente, hay una vecindad (posiblemente pequeña) de la función "está aumentando antes" y "disminuyendo después" ^{[nota 1]} . Como la derivada es positiva para una función creciente y negativa para una función decreciente, es positiva antes y negativa después . no omite valores (según el teorema de Darboux ), por lo que tiene que ser cero en algún punto entre los valores positivos y negativos. El único punto del barrio donde es posible tenerlo es . ${\displaystyle \displaystyle x_{0}\in (a,b)}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle f'}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x)=0}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

El teorema (y su demostración a continuación) es más general que la intuición en el sentido de que no requiere que la función sea derivable en una vecindad alrededor de . Basta con que la función sea diferenciable sólo en el punto extremo. ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Prueba

Prueba 1: los derivados que no desaparecen implican no extremos

Supongamos que f es derivable en con derivada K, y supongamos sin pérdida de generalidad que la recta tangente en tiene pendiente positiva (es creciente). Entonces hay una vecindad de en la cual las rectas secantes que pasan por todos tienen pendiente positiva y, por lo tanto, a la derecha de f es mayor y a la izquierda de f es menor. ${\displaystyle x_{0}\in (a,b),}$ ${\displaystyle K>0,}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle x_{0},}$

El esquema de la prueba es:

• una afirmación infinitesimal sobre la derivada (recta tangente) en implica ${\displaystyle x_{0}}$
• una declaración local sobre cocientes de diferencias (líneas secantes) cerca de lo cual implica ${\displaystyle x_{0},}$
• una declaración local sobre el valor de f cerca ${\displaystyle x_{0}.}$

Formalmente, según la definición de derivada, significa que ${\displaystyle f'(x_{0})=K}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}=K.}$

En particular, para valores suficientemente pequeños (menos que algunos ), el cociente debe ser al menos según la definición de límite. Así, en el intervalo se tiene: ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ ${\displaystyle K/2,}$ ${\displaystyle (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+\varepsilon )-f(x_{0})}{\varepsilon }}>K/2;}$

se ha sustituido la igualdad en el límite (un enunciado infinitesimal) por una desigualdad en una vecindad (un enunciado local). Así, reordenando la ecuación, si entonces: ${\displaystyle \varepsilon >0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )>f(x_{0})+(K/2)\varepsilon >f(x_{0}),}$

entonces en el intervalo de la derecha, f es mayor que y si entonces: ${\displaystyle f(x_{0}),}$ ${\displaystyle \varepsilon <0,}$

${\displaystyle f(x_{0}+\varepsilon )<f(x_{0})+(K/2)\varepsilon <f(x_{0}),}$

entonces en el intervalo a la izquierda, f es menor que ${\displaystyle f(x_{0}).}$

Por lo tanto , no hay un máximo o mínimo local o global de f. ${\displaystyle x_{0}}$

Prueba 2: Extremum implica que la derivada desaparece

Alternativamente, se puede comenzar asumiendo que es un máximo local y luego demostrar que la derivada es 0. ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$

Supongamos que es un máximo local (se aplica una prueba similar si es un mínimo local). Entonces existe tal aquello y tal que tenemos para todos con . Por lo tanto para cualquiera tenemos ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle \delta >0}$ ${\displaystyle (x_{0}-\delta ,x_{0}+\delta )\subset (a,b)}$ ${\displaystyle f(x_{0})\geq f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \displaystyle |x-x_{0}|<\delta }$ ${\displaystyle h\in (0,\delta )}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\leq 0.}$

Dado que el límite de esta relación cuando se acerca a 0 desde arriba existe y es igual a, concluimos que . Por otro lado, porque notamos que ${\displaystyle \displaystyle h}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\leq 0}$ ${\displaystyle h\in (-\delta ,0)}$

${\displaystyle {\frac {f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\geq 0}$

pero nuevamente el límite cuando se acerca a 0 desde abajo existe y es igual a, por lo que también tenemos . ${\displaystyle \displaystyle h}$ ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})}$ ${\displaystyle f'(x_{0})\geq 0}$

De ahí concluimos que ${\displaystyle \displaystyle f'(x_{0})=0.}$

Precauciones

Un error sutil que a menudo se sostiene en el contexto del teorema de Fermat es suponer que éste formula una afirmación sobre el comportamiento local más fuerte de lo que lo hace. En particular, el teorema de Fermat no dice que las funciones (monótonamente) "aumentan hasta" o "disminuyen hacia abajo desde" un máximo local. Esto es muy similar a la idea errónea de que un límite significa "acercarse monótonamente a un punto". Para las "funciones que se comportan bien" (que aquí significa continuamente diferenciables ), algunas intuiciones se mantienen, pero en general las funciones pueden comportarse mal, como se ilustra a continuación. La moraleja es que las derivadas determinan el comportamiento infinitesimal y que las derivadas continuas determinan el comportamiento local .

Funciones continuamente diferenciables

Si f es continuamente diferenciable en una vecindad abierta del punto , entonces significa que f aumenta en una vecindad de la siguiente manera. ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f'(x_{0})>0}$ ${\displaystyle x_{0},}$

Si y entonces por continuidad de la derivada, existe alguna tal que para todos . Entonces f aumenta en este intervalo, según el teorema del valor medio : la pendiente de cualquier recta secante es al menos igual a la pendiente de alguna recta tangente. ${\displaystyle f'(x_{0})=K>0}$ ${\displaystyle f\in C^{1},}$ ${\displaystyle \varepsilon _{0}>0}$ ${\displaystyle f'(x)>K/2}$ ${\displaystyle x\in (x_{0}-\varepsilon _{0},x_{0}+\varepsilon _{0})}$ ${\displaystyle K/2,}$

Sin embargo, en el enunciado general del teorema de Fermat, donde sólo se da que la derivada en es positiva, sólo se puede concluir que las rectas secantes que pasan por ella tendrán pendiente positiva, para las rectas secantes entre puntos suficientes y cerca de ellos. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Por el contrario, si la derivada de f en un punto es cero ( es un punto estacionario), en general no se puede concluir nada sobre el comportamiento local de f : puede aumentar hacia un lado y disminuir hacia el otro (como en ), aumentar hasta ambos lados (como en ), disminuyen hacia ambos lados (como en ) o se comportan de maneras más complicadas, como oscilando (como en , como se analiza a continuación). ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x^{3}}$ ${\displaystyle x^{4}}$ ${\displaystyle -x^{4}}$ ${\displaystyle x^{2}\sin(1/x)}$

Se puede analizar el comportamiento infinitesimal mediante la prueba de la segunda derivada y la prueba de la derivada de orden superior , si la función es lo suficientemente diferenciable y si la primera derivada que no desaparece en es una función continua , entonces se puede concluir el comportamiento local (es decir, si es la primera derivada que no desaparece, y es continua, entonces ), entonces se puede tratar f como localmente cercano a un polinomio de grado k, ya que se comporta aproximadamente como pero si la k -ésima derivada no es continua, no se pueden sacar tales conclusiones. , y puede comportarse de manera bastante diferente. ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})\neq 0}$ ${\displaystyle f^{(k)}}$ ${\displaystyle f\in C^{k}}$ ${\displaystyle f^{(k)}(x_{0})(x-x_{0})^{k},}$

Funciones patológicas

La función oscila cada vez más rápidamente entre y cuando x se acerca a 0. En consecuencia, la función oscila cada vez más rápidamente entre 0 y cuando x se acerca a 0. Si se extiende esta función definiendo entonces la función extendida es continua y diferenciable en todas partes (es diferenciable en 0 con derivada 0), pero tiene un comportamiento bastante inesperado cerca de 0: en cualquier vecindad de 0 alcanza 0 infinitas veces, pero también es igual a (un número positivo) infinitamente veces. ${\displaystyle \sin(1/x)}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle f(x)=(1+\sin(1/x))x^{2}}$ ${\displaystyle 2x^{2}}$ ${\displaystyle f(0)=0}$ ${\displaystyle 2x^{2}}$

Siguiendo en esta línea se puede definir , que oscila entre y . La función tiene su mínimo local y global en , pero en ningún vecindario de 0 disminuye o aumenta desde 0: oscila enormemente cerca de 0. ${\displaystyle g(x)=(2+\sin(1/x))x^{2}}$ ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle 3x^{2}}$ ${\displaystyle x=0}$

Esta patología puede entenderse porque, si bien la función g es diferenciable en todas partes, no es diferenciable continuamente : el límite de as no existe, por lo que la derivada no es continua en 0. Esto refleja la oscilación entre valores crecientes y decrecientes a medida que se aproxima. 0. ${\displaystyle g'(x)}$ ${\displaystyle x\to 0}$

Ver también

• Optimización (matemáticas)
• Máximos y mínimos
• Derivado
• Valor extremo
• argumento máximo
• Adecuación

Notas

1. Esta intuición solo es correcta para funciones continuamente diferenciables , mientras que en general no es literalmente correcta: no es necesario que una función aumente hasta un máximo local: en cambio, puede estar oscilando, por lo que ni aumenta ni disminuye, sino simplemente el máximo local es mayor que cualquier valor en un pequeño vecindario a la izquierda o derecha de él. Ver detalles en las patologías. ${\displaystyle \left(C^{1}\right)}$

Referencias

1. "¿Es cierto el teorema de Fermat sobre los extremos locales para variedades suaves?". Intercambio de pila . 11 de agosto de 2015 . Consultado el 21 de abril de 2017 .

enlaces externos

• "Teorema de Fermat (puntos estacionarios)". PlanetMath .
• "Demostración del teorema de Fermat (puntos estacionarios)". PlanetMath .