Sin pérdida de generalidad (a menudo abreviado como WOLOG , WLOG [1] o wlog ; menos comúnmente expresado como sin pérdida de generalidad o sin pérdida de generalidad ) es una expresión utilizada con frecuencia en matemáticas . El término se utiliza para indicar la suposición de que lo que sigue se elige arbitrariamente, limitando la premisa a un caso particular, pero no afecta la validez de la prueba en general. Los otros casos son lo suficientemente similares al presentado como para probarlos siguiendo esencialmente la misma lógica. [2] Como resultado, una vez que se da una prueba para el caso particular, es trivial adaptarla para probar la conclusión en todos los demás casos.
En muchos escenarios, el uso de "sin pérdida de generalidad" es posible gracias a la presencia de simetría . [3] Por ejemplo, si se sabe que alguna propiedad P ( x , y ) de los números reales es simétrica en x e y , es decir, que P ( x , y ) es equivalente a P ( y , x ), entonces al demostrar que P ( x , y ) se cumple para cada x e y , se puede suponer "sin pérdida de generalidad" que x ≤ y . No hay pérdida de generalidad en este supuesto, ya que una vez demostrado el caso x ≤ y ⇒ P ( x , y ), se sigue el otro caso intercambiando x e y : y ≤ x ⇒ P ( y , x ), y por simetría de P , esto implica P ( x , y ), lo que muestra que P ( x , y ) se cumple para todos los casos.
Por otro lado, si no se puede establecer tal simetría ni otra forma de equivalencia, entonces el uso de "sin pérdida de generalidad" es incorrecto y puede equivaler a un caso de prueba mediante el ejemplo : una falacia lógica de probar una afirmación mediante demostrando un ejemplo no representativo. [4]
Considere el siguiente teorema (que es un caso del principio del casillero ):
Si tres objetos están pintados de rojo o de azul, entonces debe haber al menos dos objetos del mismo color.
Una prueba:
Supongamos, sin pérdida de generalidad, que el primer objeto es rojo. Si cualquiera de los otros dos objetos es rojo, entonces hemos terminado; si no, entonces los otros dos objetos deben ser azules y aún así hemos terminado.
El argumento anterior funciona porque se podría aplicar exactamente el mismo razonamiento si se hiciera la suposición alternativa, es decir, que el primer objeto es azul, o, de manera similar, que las palabras "rojo" y "azul" se puedan intercambiar libremente en la redacción. de la prueba. En consecuencia, en este caso es válido el uso de "sin pérdida de generalidad".