flujo de ricci

Ecuación diferencial parcial

Varias etapas de Ricci fluyen en un colector 2D.

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el análisis geométrico , el flujo de Ricci (/ˈr iː tʃ i / REE -chee , italiano : [ ˈrittʃi ] ) , a veces también denominado flujo de Ricci de Hamilton , es una determinada ecuación diferencial parcial para una Métrica de Riemann . A menudo se dice que es análoga a la difusión del calor y a la ecuación del calor , debido a similitudes formales en la estructura matemática de la ecuación. Sin embargo, no es lineal y presenta muchos fenómenos que no están presentes en el estudio de la ecuación del calor.

El flujo de Ricci, llamado así por la presencia del tensor de Ricci en su definición, fue introducido por Richard Hamilton , quien lo utilizó durante la década de 1980 para demostrar nuevos resultados sorprendentes en la geometría de Riemann . Las extensiones posteriores de los métodos de Hamilton por parte de varios autores dieron como resultado nuevas aplicaciones a la geometría, incluida la resolución de la conjetura de la esfera diferenciable por Simon Brendle y Richard Schoen .

Siguiendo la sugerencia de Shing-Tung Yau ^{[ cita necesaria ]} de que las singularidades de las soluciones del flujo de Ricci podrían identificar los datos topológicos predichos por la conjetura de geometrización de William Thurston , Hamilton produjo una serie de resultados en la década de 1990 que se dirigieron hacia la conjetura. resolución. En 2002 y 2003, Grigori Perelman presentó una serie de nuevos resultados fundamentales sobre el flujo de Ricci, incluida una variante novedosa de algunos aspectos técnicos del programa de Hamilton. Actualmente se considera ampliamente que el trabajo de Perelman forma la prueba de la conjetura de Thurston y de la conjetura de Poincaré , considerada como un caso especial de la primera. Cabe destacar que la conjetura de Poincaré ha sido un problema abierto bien conocido en el campo de la topología geométrica desde 1904. Estos resultados de Hamilton y Perelman se consideran un hito en los campos de la geometría y la topología.

Definición matemática

En una variedad suave M , una métrica de Riemann suave g determina automáticamente el tensor de Ricci Ric ^g . Para cada elemento p de M , por definición g _p es un producto interno definido positivo en el espacio tangente T _p M en p . Si se da una familia de métricas de Riemann g _t de un parámetro , se puede considerar la derivada∂/∂t​ g _t , que luego asigna a cada valor particular de t y p una forma bilineal simétrica en T _p M . Dado que el tensor de Ricci de una métrica de Riemann también asigna a cada p una forma bilineal simétrica en T _p M , la siguiente definición es significativa.

• Dada una variedad suave M y un intervalo real abierto ( a , b ) , un flujo de Ricci asigna, a cada t en el intervalo ( a , b ) , una métrica de Riemann g _t en M tal que∂/∂t​ gramo _t = −2 Ric ^{gramo _t} .

El tensor de Ricci se considera a menudo como un valor promedio de las curvaturas seccionales , o como una traza algebraica del tensor de curvatura de Riemann . Sin embargo, para el análisis de la existencia y unicidad de los flujos de Ricci, es extremadamente significativo que el tensor de Ricci pueda definirse, en coordenadas locales, mediante una fórmula que involucra la primera y segunda derivada del tensor métrico. Esto hace que Ricci fluya hacia una ecuación diferencial parcial definida geométricamente . El análisis de la elipticidad de la fórmula de coordenadas locales proporciona la base para la existencia de flujos de Ricci; consulte la siguiente sección para conocer el resultado correspondiente.

Sea k un número distinto de cero. Dado un flujo de Ricci g _t en un intervalo ( a , b ) , considere G _t = g _kt para t entrea/kyb/k. Entonces∂/∂t​ G _t = −2 k Ric ^{G _t} . Entonces, con este cambio de parámetros tan trivial, el número −2 que aparece en la definición del flujo de Ricci podría ser reemplazado por cualquier otro número distinto de cero. Por esta razón, el uso de −2 puede considerarse como una convención arbitraria, aunque sigue esencialmente todos los artículos y exposiciones sobre el flujo de Ricci. La única diferencia significativa es que si −2 fuera reemplazado por un número positivo, entonces el teorema de existencia analizado en la siguiente sección se convertiría en un teorema que produce un flujo de Ricci que retrocede (en lugar de avanzar) en los valores de los parámetros a partir de los datos iniciales.

El parámetro t suele denominarse tiempo , aunque esto es sólo como parte de la terminología informal estándar en el campo matemático de las ecuaciones diferenciales parciales. No es una terminología físicamente significativa. De hecho, en la interpretación estándar de la teoría cuántica de campos del flujo de Ricci en términos del grupo de renormalización , el parámetro t corresponde a la longitud o la energía, en lugar del tiempo. ^[1]

Flujo de Ricci normalizado

Supongamos que M es una variedad compacta y suave, y sea g _t un flujo de Ricci para t en el intervalo ( a , b ) . Defina Ψ: ( a , b )  →  (0, ∞) de modo que cada una de las métricas de Riemann Ψ( t ) g _t tenga volumen 1; esto es posible ya que M es compacto. (De manera más general, sería posible si cada métrica de Riemann g _t tuviera un volumen finito). Luego defina F : ( a , b )  →  (0, ∞) como la antiderivada de Ψ que desaparece en a . Dado que Ψ tiene un valor positivo, F es una biyección sobre su imagen (0, S ) . Ahora la métrica de Riemann G _s   = Ψ( F ⁻¹ ( s )) g _{F ⁻¹ ( s )} , definida para los parámetros s  ∈ (0, S ) , satisface

$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac {\int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s}.}$$

Rcurvatura escalarde flujo de Ricci normalizadaΨ

La razón principal para considerar el flujo de Ricci normalizado es que permite una formulación conveniente de los principales teoremas de convergencia para el flujo de Ricci. Sin embargo, no es esencial hacerlo y, prácticamente para todos los propósitos, basta con considerar el flujo de Ricci en su forma estándar. Además, el flujo de Ricci normalizado generalmente no es significativo en variedades no compactas.

Existencia y unicidad

Sea una variedad cerrada suave y cualquier métrica de Riemann suave en . Haciendo uso del teorema de la función implícita de Nash-Moser , Hamilton (1982) demostró el siguiente teorema de existencia: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle M}$

• Existe un número positivo y un flujo de Ricci parametrizado por tal que converge en la topología cuando disminuye a 0. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle t}$

Mostró el siguiente teorema de unicidad:

• Si y son dos flujos de Ricci como en el teorema de existencia anterior, entonces para todos ${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$ ${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$ ${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).}$

El teorema de existencia proporciona una familia de un parámetro de métricas suaves de Riemann. De hecho, cualquier familia de un solo parámetro también depende suavemente del parámetro. Precisamente, esto dice que en relación con cualquier gráfico de coordenadas fluido en , la función es fluida para cualquier . ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$

Posteriormente, Dennis DeTurck demostró los resultados anteriores utilizando en su lugar el teorema de la función implícita de Banach. ^[2] Su trabajo es esencialmente una versión riemanniana más simple de la conocida prueba e interpretación de Yvonne Choquet-Bruhat del buen planteamiento de las ecuaciones de Einstein en la geometría lorentziana.

Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad de Hamilton, cuando se dan los datos , se puede hablar sin ambigüedades del flujo de Ricci con los datos iniciales , y se puede optar por tomar su valor máximo posible, que podría ser infinito. El principio detrás de prácticamente todas las aplicaciones principales del flujo de Ricci, en particular en la prueba de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización, es que, a medida que se acerca a este valor máximo, el comportamiento de las métricas puede revelar y reflejar información profunda sobre . ${\displaystyle (M,g_{0})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle M}$

Teoremas de convergencia

En Andrews & Hopper (2011) y Brendle (2010) se ofrecen exposiciones completas de los siguientes teoremas de convergencia.

Sea ( M , g ₀ ) una variedad de Riemann cerrada y suave . Bajo cualquiera de las siguientes tres condiciones:

• M es bidimensional
• M es tridimensional y g ₀ tiene curvatura de Ricci positiva
• M tiene una dimensión mayor que tres y la métrica del producto en ( M , g ₀ ) × ℝ tiene una curvatura isotrópica positiva

el flujo de Ricci normalizado con datos iniciales g ₀ existe durante todo el tiempo positivo y converge suavemente, cuando t tiende al infinito, a una métrica de curvatura constante.

El resultado tridimensional se debe a Hamilton (1982). La prueba de Hamilton, inspirada y modelada libremente en el documento trascendental de 1964 de James Eells y Joseph Sampson sobre la convergencia del flujo de calor del mapa armónico , ^[3] incluía muchas características novedosas, como una extensión del principio máximo al establecimiento de 2 tensores simétricos. . Su artículo (junto con el de Eells-Sampson) se encuentra entre los más citados en el campo de la geometría diferencial. Hay una exposición de su resultado en Chow, Lu & Ni (2006, Capítulo 3).

En términos de la prueba, el caso bidimensional se considera propiamente como una colección de tres resultados diferentes, uno para cada uno de los casos en los que la característica de Euler de M es positiva, cero o negativa. Como lo demuestra Hamilton (1988), el caso negativo se maneja mediante el principio de máximo, mientras que el caso cero se maneja mediante estimaciones integrales; el caso positivo es más sutil, y Hamilton abordó el subcaso en el que g ₀ tiene curvatura positiva combinando una adaptación sencilla de la estimación del gradiente de Peter Li y Shing-Tung Yau al flujo de Ricci junto con una innovadora "estimación de entropía". El caso totalmente positivo fue demostrado por Bennett Chow (1991), en una extensión de las técnicas de Hamilton. Dado que cualquier flujo de Ricci en una variedad bidimensional está confinado a una única clase conforme , puede reformularse como una ecuación diferencial parcial para una función escalar en la variedad de Riemann fija ( M , g ₀ ) . Como tal, el flujo de Ricci en este contexto también puede estudiarse mediante métodos puramente analíticos; correspondientemente, existen pruebas alternativas no geométricas del teorema de convergencia bidimensional.

El caso de dimensiones superiores tiene una historia más larga. Poco después del revolucionario resultado de Hamilton, Gerhard Huisken amplió sus métodos a dimensiones superiores, demostrando que si g ₀ casi tiene una curvatura positiva constante (en el sentido de pequeñez de ciertos componentes de la descomposición de Ricci ), entonces el flujo de Ricci normalizado converge suavemente a una curvatura constante. . Hamilton (1986) encontró una formulación novedosa del principio de máximo en términos de captura por conjuntos convexos, lo que condujo a un criterio general que relaciona la convergencia del flujo de Ricci de métricas curvadas positivamente con la existencia de "conjuntos de pellizco" para un determinado diferencial ordinario multidimensional. ecuación . Como consecuencia, pudo resolver el caso en el que M es de cuatro dimensiones y g ₀ tiene un operador de curvatura positiva. Veinte años después, Christoph Böhm y Burkhard Wilking encontraron un nuevo método algebraico para construir "conjuntos de pellizco", eliminando así el supuesto de cuatro dimensiones del resultado de Hamilton (Böhm y Wilking 2008). Simon Brendle y Richard Schoen demostraron que el flujo de Ricci en una variedad cerrada preserva la positividad de la curvatura isotrópica; Al aplicar el método de Böhm y Wilking, pudieron derivar un nuevo teorema de convergencia de flujo de Ricci (Brendle y Schoen 2009). Su teorema de convergencia incluía como caso especial la resolución del teorema de la esfera diferenciable , que en ese momento había sido una conjetura de larga data. El teorema de convergencia dado anteriormente se debe a Brendle (2008), que incluye los resultados anteriores de convergencia de dimensiones superiores de Huisken, Hamilton, Böhm & Wilking y Brendle & Schoen.

Corolarios

Los resultados en dimensiones tres y superiores muestran que cualquier variedad cerrada suave M que admita una métrica g ₀ del tipo dado debe ser una forma espacial de curvatura positiva. Dado que estas formas espaciales se entienden en gran medida mediante el trabajo de Élie Cartan y otros, se pueden extraer corolarios como

• Supongamos que M es una variedad tridimensional cerrada y suave que admite una métrica de Riemann suave de curvatura de Ricci positiva. Si M es simplemente conexo, entonces debe ser difeomorfo a las 3 esferas.

Entonces, si se pudiera demostrar directamente que cualquier variedad tridimensional suave, cerrada y simplemente conectada admite una métrica riemanniana suave de curvatura de Ricci positiva , entonces la conjetura de Poincaré seguiría inmediatamente. Sin embargo, tal como se entienden las cosas en la actualidad, este resultado sólo se conoce como un corolario (trivial) de la conjetura de Poincaré, y no al revés.

Posibles ampliaciones

Dado cualquier n mayor que dos, existen muchas variedades suaves cerradas de n dimensiones que no tienen ninguna métrica riemanniana suave de curvatura constante. Por lo tanto, no se puede esperar poder simplemente eliminar las condiciones de curvatura de los teoremas de convergencia anteriores. Podría ser posible reemplazar las condiciones de curvatura por algunas alternativas, pero la existencia de variedades compactas como el espacio proyectivo complejo , que tiene una métrica de operador de curvatura no negativa (la métrica del Estudio de Fubini ) pero ninguna métrica de curvatura constante, lo hace poco claro. hasta qué punto se podrían impulsar estas condiciones. Asimismo, la posibilidad de formular resultados de convergencia análogos para métricas de Riemann con curvatura negativa se complica por la existencia de variedades de Riemann cerradas cuya curvatura es arbitrariamente cercana a constante y, sin embargo, no admiten métricas de curvatura constante. ^[4]

Desigualdades de Li-Yau

Haciendo uso de una técnica iniciada por Peter Li y Shing-Tung Yau para ecuaciones diferenciales parabólicas en variedades de Riemann, Hamilton (1993a) demostró la siguiente "desigualdad de Li-Yau". ^[5]

• Sea una variedad suave y una solución del flujo de Ricci tal que cada una esté completa con curvatura acotada. Además, supongamos que cada uno tiene un operador de curvatura no negativo. Entonces, para cualquier curva con , se tiene ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.}$$

Perelman (2002) mostró la siguiente desigualdad alternativa de Li-Yau.

• Sea un colector cerrado suave y sea una solución del flujo de Ricci. Considere la ecuación de calor hacia atrás para formas -, es decir ; dado y , considere la solución particular que, tras la integración, converge débilmente a la medida del delta de Dirac a medida que aumenta a . Entonces, para cualquier curva con , se tiene ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\omega +\Delta ^{g(t)}\omega =0}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$
  $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.}$$
  dónde . ${\displaystyle \omega =(4\pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{\text{d}}\mu _{g(t)}}$

Ambas desigualdades notables son de profunda importancia para la prueba de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización. Los términos del lado derecho de la desigualdad Li-Yau de Perelman motivan la definición de su funcional de "longitud reducida", cuyo análisis conduce a su "teorema del no colapso". El teorema del no colapso permite la aplicación del teorema de compacidad de Hamilton (Hamilton 1995) para construir "modelos de singularidad", que son flujos de Ricci en nuevas variedades tridimensionales. Debido a la estimación de Hamilton-Ivey, estos nuevos flujos de Ricci tienen una curvatura no negativa. Luego se puede aplicar la desigualdad de Li-Yau de Hamilton para ver que la curvatura escalar es, en cada punto, una función no decreciente (no negativa) del tiempo. Este es un resultado poderoso que permite que muchos argumentos adicionales sigan adelante. Al final, Perelman muestra que cualquiera de sus modelos de singularidad es asintóticamente como un solitón de Ricci que se contrae en gradiente completo, que están completamente clasificados; ver la sección anterior.

Véase Chow, Lu y Ni (2006, capítulos 10 y 11) para obtener detalles sobre la desigualdad Li-Yau de Hamilton; los libros Chow et al. (2008) y Müller (2006) contienen exposiciones de ambas desigualdades anteriores.

Ejemplos

Métricas de curvatura constante y Einstein

Sea una variedad de Riemann que es Einstein , es decir que existe un número tal que . Entonces es un flujo de Ricci con , desde entonces ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\text{Ric}}^{g}=\lambda g}$ ${\displaystyle g_{t}=(1-2\lambda t)g}$ ${\displaystyle g_{0}=g}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatorname {Ric} ^{g}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}$

Si es cerrado, entonces, según el teorema de unicidad de Hamilton anterior, este es el único flujo de Ricci con datos iniciales . Se ve, en particular, que: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

• si es positivo, entonces el flujo de Ricci se "contrae" ya que el factor de escala es menor que 1 para positivo ; además, se ve que sólo puede ser menor que , por lo que es una métrica de Riemann. Estos son los ejemplos más simples de una "singularidad de tiempo finito". ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/2\lambda }$ ${\displaystyle g_{t}}$
• si es cero, que es sinónimo de ser Ricci-plano, entonces es independiente del tiempo, por lo que el intervalo máximo de existencia es toda la línea real. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{t}}$
• si es negativo, entonces el flujo de Ricci se "expande" ya que el factor de escala es mayor que 1 para todos los positivos ; además se ve que puede tomarse arbitrariamente grande. Se dice que el flujo de Ricci, por esta métrica inicial, es "inmortal". ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

En cada caso, dado que las métricas de Riemann asignadas a diferentes valores de difieren sólo por un factor de escala constante, se puede ver que el flujo de Ricci normalizado existe para todos los tiempos y es constante en ; en particular, converge suavemente (a su valor constante) como . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

La condición de Einstein tiene como caso especial el de curvatura constante; de ahí que los ejemplos particulares de la esfera (con su métrica estándar) y el espacio hiperbólico aparezcan como casos especiales de lo anterior.

solitones de Ricci

Los solitones de Ricci son flujos de Ricci que pueden cambiar de tamaño pero no de forma hasta llegar a difeomorfismos.

• Los cilindros S ^k × R ^l (para k ≥ 2) se contraen de manera similar bajo el flujo de Ricci hasta difeomorfismos
• Un ejemplo bidimensional significativo es el solitón del cigarro , que viene dado por la métrica ( dx ²  +  dy ² )/( e ^{4 t}  +  x ²  +  y ² ) en el plano euclidiano. Aunque esta métrica se reduce con el flujo de Ricci, su geometría sigue siendo la misma. Estas soluciones se denominan solitones de Ricci estables.
• Un ejemplo de un solitón de Ricci estable tridimensional es el solitón de Bryant , que es rotacionalmente simétrico, tiene curvatura positiva y se obtiene resolviendo un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una construcción similar funciona en dimensiones arbitrarias.
• Existen numerosas familias de variedades de Kähler, invariantes bajo una acción U ( n ) y biracionales a ^Cn , que son solitones de Ricci. Estos ejemplos fueron construidos por Cao y Feldman-Ilmanen-Knopf. (Chow-Knopf 2004)
• Bamler-Cifarelli-Conlon-Deruelle descubrió recientemente un ejemplo de 4 dimensiones que exhibe solo simetría toroidal.

Un solitón de Ricci que se contrae en gradiente consta de una variedad riemanniana suave ( M , g ) y f  ∈  C ^∞ ( M ) tal que

${\displaystyle \operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.}$

Uno de los principales logros de Perelman (2002) fue demostrar que, si M es una variedad suave tridimensional cerrada, entonces las singularidades de tiempo finito del flujo de Ricci en M se modelan en solitones de Ricci de gradiente completo que se contraen (posiblemente en variedades subyacentes). distinto de M ). En 2008, Huai-Dong Cao , Bing-Long Chen y Xi-Ping Zhu completaron la clasificación de estos solitones, mostrando:

• Supongamos que ( M , g , f ) es un solitón de Ricci de gradiente completo que se contrae con dim( M ) = 3. Si M está simplemente conectado entonces la variedad de Riemann ( M , g ) es isométrica a , o , cada uno con su estándar Riemanniano métrica. Esto fue demostrado originalmente por Perelman (2003a) con algunos supuestos condicionales adicionales. Tenga en cuenta que si M no es simplemente conexo, entonces se puede considerar la cobertura universal y entonces el teorema anterior se aplica a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi :M'\to M,}$ ${\displaystyle (M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).}$

Todavía no existe una buena comprensión de los solitones de Ricci que reducen el gradiente en dimensiones superiores.

Relación con la uniformización y la geometrización.

El primer trabajo de Hamilton sobre el flujo de Ricci se publicó al mismo tiempo que la conjetura de geometrización de William Thurston , que se refiere a la clasificación topológica de variedades tridimensionales suaves. ^[6] La idea de Hamilton era definir una especie de ecuación de difusión no lineal que tendería a suavizar las irregularidades en la métrica. Thurston ya había identificado formas canónicas adecuadas; las posibilidades, llamadas geometrías del modelo de Thurston , incluyen las tres esferas S ³ , el espacio euclidiano tridimensional E ³ , el espacio hiperbólico tridimensional H ³ , que son homogéneos e isotrópicos , y cinco variedades riemannianas ligeramente más exóticas, que son homogéneas pero no isotrópico. (Esta lista está estrechamente relacionada, pero no es idéntica, con la clasificación de Bianchi de las álgebras de Lie reales tridimensionales en nueve clases).

Hamilton logró demostrar que cualquier triple variedad cerrada y suave que admita una métrica de curvatura de Ricci positiva también admite una geometría de Thurston única, es decir, una métrica esférica, que de hecho actúa como un punto fijo atractivo bajo el flujo de Ricci, renormalizado para preservar el volumen. (Bajo el flujo de Ricci no renormalizado, la variedad colapsa hasta un punto en un tiempo finito). Sin embargo, esto no prueba la conjetura de geometrización completa, debido al supuesto restrictivo sobre la curvatura.

De hecho, un triunfo de la geometría del siglo XIX fue la prueba del teorema de uniformización , la clasificación topológica análoga de dos variedades suaves, donde Hamilton demostró que el flujo de Ricci efectivamente evoluciona una dos variedades curvada negativamente en una multidimensional bidimensional. toro perforado que es localmente isométrico al plano hiperbólico. Este tema está estrechamente relacionado con temas importantes del análisis, la teoría de números, los sistemas dinámicos, la física matemática e incluso la cosmología.

Tenga en cuenta que el término "uniformización" sugiere una especie de suavizado de irregularidades en la geometría, mientras que el término "geometrización" sugiere colocar una geometría en una variedad suave. La geometría se utiliza aquí de una manera precisa similar a la noción de geometría de Klein (ver Conjetura de geometrización para más detalles). En particular, el resultado de la geometrización puede ser una geometría que no sea isotrópica . En la mayoría de los casos, incluidos los casos de curvatura constante, la geometría es única. Un tema importante en este ámbito es la interacción entre formulaciones reales y complejas. En particular, muchas discusiones sobre uniformización hablan de curvas complejas en lugar de dos variedades reales.

Singularidades

Hamilton demostró que una variedad riemanniana compacta siempre admite una solución de flujo de Ricci de corto tiempo. Más tarde, Shi generalizó el resultado de la existencia de corto tiempo para completar variedades de curvatura limitada. ^[7] Sin embargo, en general, debido a la naturaleza altamente no lineal de la ecuación de flujo de Ricci, las singularidades se forman en un tiempo finito. Estas singularidades son singularidades de curvatura, lo que significa que a medida que uno se acerca al tiempo singular, la norma del tensor de curvatura explota hasta el infinito en la región de la singularidad. Un problema fundamental en el flujo de Ricci es comprender todas las geometrías posibles de las singularidades. Cuando tiene éxito, esto puede conducir a conocimientos sobre la topología de las variedades. Por ejemplo, analizar la geometría de regiones singulares que pueden desarrollarse en el flujo de Ricci tridimensional es el ingrediente crucial en la prueba de Perelman de las conjeturas de Poincaré y de geometrización. ${\displaystyle |\operatorname {Rm} |}$

Límites explosivos de singularidades

Para estudiar la formación de singularidades es útil, como en el estudio de otras ecuaciones diferenciales no lineales, considerar límites de explosión. Intuitivamente hablando, uno se acerca a la región singular del flujo de Ricci reescalando el tiempo y el espacio. Bajo ciertos supuestos, el flujo ampliado tiende a un flujo de Ricci limitante , llamado modelo de singularidad . Los modelos de singularidad son antiguos flujos de Ricci, es decir, pueden extenderse infinitamente hacia el pasado. Comprender los posibles modelos de singularidad en el flujo de Ricci es un esfuerzo de investigación activo. ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]}$

A continuación, esbozamos el procedimiento de ampliación con más detalle: Sea un flujo de Ricci que desarrolla una singularidad como . Sea una secuencia de puntos en el espacio-tiempo tal que ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),}$ ${\displaystyle t\rightarrow T}$ ${\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}$

${\displaystyle K_{i}:=\left|\operatorname {Rm} (g_{t_{i}})\right|(p_{i})\rightarrow \infty }$

como . Luego se consideran las métricas reescaladas parabólicamente. ${\displaystyle i\rightarrow \infty }$

${\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]}$

Debido a la simetría de la ecuación de flujo de Ricci bajo dilataciones parabólicas, las métricas también son soluciones a la ecuación de flujo de Ricci. En el caso de que ${\displaystyle g_{i}(t)}$

${\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}],}$

es decir, hasta que se alcanza el máximo de curvatura , entonces la secuencia puntiaguda de flujos de Ricci converge posteriormente suavemente hacia un antiguo flujo de Ricci limitante . Tenga en cuenta que, en general, no es difeomorfo . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})}$ ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })}$ ${\displaystyle M_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

Singularidades tipo I y tipo II

Hamilton distingue entre singularidades de Tipo I y Tipo II en el flujo de Ricci. En particular, se dice que un flujo de Ricci , al encontrar una singularidad en un momento, es del Tipo I si ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sup _{t<T}(T-t)|Rm|<\infty }$.

De lo contrario la singularidad es de Tipo II. Se sabe que los límites de explosión de las singularidades de Tipo I son solitones de Ricci que se contraen por gradiente . ^[8] En el caso del Tipo II, queda abierta la cuestión de si el modelo de singularidad debe ser un solitón de Ricci estable; hasta ahora todos los ejemplos conocidos lo son.

Singularidades en el flujo de Ricci 3d.

En 3D, los posibles límites de explosión de las singularidades del flujo de Ricci se comprenden bien. Por Hamilton, Perelman y reciente ^{[ ¿cuándo? ]} obra de Brendle, la explosión en puntos de máxima curvatura conduce a uno de los siguientes tres modelos de singularidad:

• La forma del espacio esférico y redondo que se encoge ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$
• El cilindro redondo que se encoge ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
• El solitón de Bryant

Los dos primeros modelos de singularidad surgen de singularidades de Tipo I, mientras que el último surge de una singularidad de Tipo II.

Singularidades en el flujo de Ricci 4d.

En cuatro dimensiones se sabe muy poco sobre las posibles singularidades, aparte de que las posibilidades son mucho más numerosas que en tres dimensiones. Hasta la fecha se conocen los siguientes modelos de singularidad

• ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$
• El solitón 4d de Bryant
• Colector compacto de Einstein de curvatura escalar positiva
• Solitón de contracción de gradiente compacto de Kahler-Ricci
• El encogedor FIK ^[9]
• El encogedor BCCD ^[10]

Tenga en cuenta que los primeros tres ejemplos son generalizaciones de modelos de singularidad 3D. El encogedor FIK modela el colapso de una esfera incrustada con autointersección número  −1.

Relación con la difusión

Para ver por qué la ecuación de evolución que define el flujo de Ricci es de hecho un tipo de ecuación de difusión no lineal, podemos considerar el caso especial de dos variedades (reales) con más detalle. Cualquier tensor métrico en una variedad doble se puede escribir con respecto a un gráfico de coordenadas isotérmicas exponenciales en la forma

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).}$

(Estas coordenadas proporcionan un ejemplo de un gráfico de coordenadas conforme , porque los ángulos, pero no las distancias, se representan correctamente).

La forma más sencilla de calcular el tensor de Ricci y el operador de Laplace-Beltrami para nuestra doble variedad riemanniana es utilizar el método de formas diferenciales de Élie Cartan . Tome el campo coframe

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

de modo que el tensor métrico se convierte en

${\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).}$

A continuación, dada una función suave arbitraria , calcule la derivada exterior ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.}$

Tome el Hodge dual

${\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.}$

Toma otra derivada exterior.

${\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy}$

(donde utilizamos la propiedad anticonmutativa del producto exterior ). Eso es,

${\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

Tomando otro Hodge dual da

${\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)}$

que da la expresión deseada para el operador de Laplace/Beltrami

${\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).}$

Para calcular el tensor de curvatura, tomamos la derivada exterior de los campos covectoriales que componen nuestro coframe:

${\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.}$

A partir de estas expresiones, podemos leer la única conexión de espín independiente uniforme

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

donde hemos aprovechado la propiedad antisimétrica de la conexión ( ). Toma otra derivada exterior. ${\displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}$

${\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.}$

Esto le da a la curvatura dos formas.

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

de donde podemos leer el único componente linealmente independiente del tensor de Riemann usando

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

A saber

${\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}$

de donde los únicos componentes distintos de cero del tensor de Ricci son

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}$

A partir de esto, encontramos componentes con respecto a la cobase de coordenadas , a saber

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).}$

Pero el tensor métrico también es diagonal, con

${\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}$

y después de algunas manipulaciones elementales, obtenemos una expresión elegante para el flujo de Ricci:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.}$

Esto es manifiestamente análogo a la más conocida de todas las ecuaciones de difusión, la ecuación del calor.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

donde ahora está el habitual laplaciano en el plano euclidiano. El lector puede objetar que la ecuación del calor es, por supuesto, una ecuación diferencial parcial lineal : ¿dónde está la no linealidad prometida en el pde que define el flujo de Ricci? ${\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}}$

La respuesta es que la no linealidad entra en juego porque el operador de Laplace-Beltrami depende de la misma función p que usamos para definir la métrica. Pero observe que el plano euclidiano se obtiene tomando . Entonces, si es de magnitud pequeña, podemos considerar que define pequeñas desviaciones de la geometría de un plano, y si retenemos solo términos de primer orden al calcular la exponencial, el flujo de Ricci en nuestra variedad de Riemann bidimensional casi plana se convierte en la ecuación de calor bidimensional habitual. Este cálculo sugiere que, así como (según la ecuación del calor) una distribución irregular de temperatura en una placa caliente tiende a volverse más homogénea con el tiempo, también (según el flujo de Ricci) una variedad de Riemann casi plana tenderá a aplanar la de la misma manera que el calor se puede transportar "hasta el infinito" en una placa plana infinita. Pero si nuestra placa calefactora tiene un tamaño finito y no tiene límites por donde pueda evacuarse el calor, podemos esperar homogeneizar la temperatura, pero claramente no podemos esperar reducirla a cero. De la misma manera, esperamos que el flujo de Ricci, aplicado a una esfera redonda distorsionada, tienda a redondear la geometría con el tiempo, pero no a convertirla en una geometría euclidiana plana. ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle p}$

Desarrollos recientes

El flujo de Ricci se ha estudiado intensamente desde 1981. Algunos trabajos recientes se han centrado en la cuestión de precisamente cómo evolucionan las variedades riemannianas de dimensiones superiores bajo el flujo de Ricci y, en particular, qué tipos de singularidades paramétricas pueden formarse. Por ejemplo, una cierta clase de soluciones al flujo de Ricci demuestra que se formarán singularidades de cuello en una variedad de Riemann métrica de dimensión evolutiva que tiene una cierta propiedad topológica ( característica de Euler positiva ), a medida que el flujo se acerca a un tiempo característico . En ciertos casos, tales pinzamientos producirán colectores llamados solitones de Ricci . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Para una variedad tridimensional, Perelman mostró cómo continuar más allá de las singularidades mediante cirugía en la variedad .

Las métricas de Kähler siguen siendo Kähler bajo el flujo de Ricci, por lo que el flujo de Ricci también se ha estudiado en este entorno, donde se denomina flujo de Kähler-Ricci .

Notas

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Referencias

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enlaces externos

• Isenberg, James A. «Ricci Flow» (vídeo) . Brady Harán . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021 . Consultado el 23 de abril de 2014 .