Descomposición de Ricci

En los campos matemáticos de la geometría riemanniana y pseudoriemanniana , la descomposición de Ricci es una forma de dividir el tensor de curvatura de Riemann de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana en pedazos con propiedades algebraicas especiales. Esta descomposición es de fundamental importancia en la geometría riemanniana y pseudoriemanniana.

Definición de la descomposición

Sea ( M , g ) una variedad n riemanniana o pseudoriemanniana . Considere su curvatura de Riemann, como un campo tensor (0,4). Este artículo seguirá la convención de signos.

${\displaystyle R_{ijkl}=g_{lp}{\Big (}\partial _{i}\Gamma _{jk}^{p}-\partial _{j}\Gamma _{ik}^{p}+\Gamma _{iq}^{p}\Gamma _{jk}^{q}-\Gamma _{jq}^{p}\Gamma _{ik}^{q}{\Big )};}$

escrito multilinealmente, esta es la convención

${\displaystyle \operatorname {Rm} (W,X,Y,Z)=g{\Big (}\nabla _{W}\nabla _{X}Y-\nabla _{X}\nabla _{W}Y-\nabla _{[W,X]}Y,Z{\Big )}.}$

Con esta convención, el tensor de Ricci es un campo tensor (0,2) definido por R _jk = g ^il R _ijkl y la curvatura escalar está definida por R = g ^jk R _jk . (Tenga en cuenta que esta es la convención de signos menos común para el tensor de Ricci; es más estándar definirlo contrayendo el primer y el tercero o el segundo y el cuarto índice, lo que produce un tensor de Ricci con el signo opuesto. Según eso, es más común Por convención, los signos del tensor y escalar de Ricci deben cambiarse en las ecuaciones siguientes.) Defina el tensor de Ricci sin trazas

${\displaystyle Z_{jk}=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk},}$

y luego defina tres campos tensoriales (0,4) S , E y W mediante

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&={\frac {R}{n(n-1)}}{\big (}g_{il}g_{jk}-g_{ik}g_{jl}{\big )}\\E_{ijkl}&={\frac {1}{n-2}}{\big (}Z_{il}g_{jk}-Z_{jl}g_{ik}-Z_{ik}g_{jl}+Z_{jk}g_{il}{\big )}\\W_{ijkl}&=R_{ijkl}-S_{ijkl}-E_{ijkl}.\end{aligned}}}$

La "descomposición de Ricci" es la afirmación

${\displaystyle R_{ijkl}=S_{ijkl}+E_{ijkl}+W_{ijkl}.}$

Como se dijo, esto es vacío ya que es sólo una reorganización de la definición de W. La importancia de la descomposición está en las propiedades de los tres nuevos tensores S , E y W.

Nota terminológica. El tensor W se llama tensor de Weyl . La notación W es estándar en la literatura matemática, mientras que C es más común en la literatura física. La notación R es estándar en ambos, mientras que no existe una notación estandarizada para S , Z y E.

Propiedades básicas

Propiedades de las piezas

Cada uno de los tensores S , E y W tiene las mismas simetrías algebraicas que el tensor de Riemann. Eso es:

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}&=-S_{jikl}=-S_{ijlk}=S_{klij}\\E_{ijkl}&=-E_{jikl}=-E_{ijlk}=E_{klij}\\W_{ijkl}&=-W_{jikl}=-W_{ijlk}=W_{klij}\end{aligned}}}$

Juntos con

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}+S_{jkil}+S_{kijl}&=0\\E_{ijkl}+E_{jkil}+E_{kijl}&=0\\W_{ijkl}+W_{jkil}+W_{kijl}&=0.\end{aligned}}}$

El tensor de Weyl tiene la simetría adicional de que no tiene rastro alguno:

${\displaystyle g^{il}W_{ijkl}=0.}$

Hermann Weyl demostró que en dimensión al menos cuatro, W tiene la notable propiedad de medir la desviación de una variedad riemanniana o pseudoriemanniana de la planitud conforme local ; si es cero, entonces M puede cubrirse mediante gráficos respecto de los cuales g tiene la forma g _ij = e ^f δ _ij para alguna función f definida gráfico por gráfico.

(En menos de tres dimensiones, cada variedad es localmente conformemente plana, mientras que en tres dimensiones, el tensor de Cotton mide la desviación de la planitud conforme local).

Propiedades de la descomposición

Se puede comprobar que la descomposición de Ricci es ortogonal en el sentido de que

${\displaystyle S_{ijkl}E^{ijkl}=S_{ijkl}W^{ijkl}=E_{ijkl}W^{ijkl}=0,}$

recordando la definición general Esto tiene la consecuencia, que podría probarse directamente, que ${\displaystyle T^{ijkl}=g^{ip}g^{jq}g^{kr}g^{ls}T_{pqrs}.}$

${\displaystyle R_{ijkl}R^{ijkl}=S_{ijkl}S^{ijkl}+E_{ijkl}E^{ijkl}+W_{ijkl}W^{ijkl}.}$

Esta ortogonalidad se puede representar sin índices mediante

${\displaystyle \langle S,E\rangle _{g}=\langle S,W\rangle _{g}=\langle E,W\rangle _{g}=0,}$

Juntos con

${\displaystyle |\operatorname {Rm} |_{g}^{2}=|S|_{g}^{2}+|E|_{g}^{2}+|W|_{g}^{2}.}$

Fórmulas relacionadas

Se pueden calcular las "fórmulas normativas"

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{ijkl}S^{ijkl}&={\frac {2R^{2}}{n(n-1)}}\\E_{ijkl}E^{ijkl}&={\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}-{\frac {4R^{2}}{n(n-2)}}\\W_{ijkl}W^{ijkl}&=R_{ijkl}R^{ijkl}-{\frac {4R_{ij}R^{ij}}{n-2}}+{\frac {2R^{2}}{(n-1)(n-2)}}\end{aligned}}}$

y las "fórmulas de trazas"

${\displaystyle {\begin{aligned}g^{il}S_{ijkl}&={\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}E_{ijkl}&=R_{jk}-{\frac {1}{n}}Rg_{jk}\\g^{il}W_{ijkl}&=0.\end{aligned}}}$

Explicación matemática

Matemáticamente, la descomposición de Ricci es la descomposición del espacio de todos los tensores que tienen las simetrías del tensor de Riemann en sus representaciones irreducibles para la acción del grupo ortogonal (Besse 1987, Capítulo 1, §G). Sea V un espacio vectorial de n dimensiones , equipado con un tensor métrico (posiblemente de firma mixta). Aquí V se modela en el espacio cotangente en un punto, de modo que un tensor de curvatura R (con todos los índices reducidos) es un elemento del producto tensorial V ⊗ V ⊗ V ⊗ V . El tensor de curvatura es simétrico sesgado en sus dos primeras y dos últimas entradas:

${\displaystyle R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)\,}$

y obedece a la simetría de intercambio.

${\displaystyle R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),\,}$

para todo x , y , z , w  ∈  V ^∗ . Como resultado, R es un elemento del subespacio , la segunda potencia simétrica de la segunda potencia exterior de V. Un tensor de curvatura también debe satisfacer la identidad de Bianchi, lo que significa que está en el núcleo del mapa lineal dado por ${\displaystyle S^{2}\Lambda ^{2}V}$ ${\displaystyle b:S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V}$

${\displaystyle b(R)(x,y,z,w)=R(x,y,z,w)+R(y,z,x,w)+R(z,x,y,w).\,}$

El espacio R V  = ker b en S ² Λ ² V es el espacio de tensores de curvatura algebraicos. La descomposición de Ricci es la descomposición de este espacio en factores irreductibles. El mapeo de contracción de Ricci

${\displaystyle c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V}$

es dado por

${\displaystyle c(R)(x,y)=\operatorname {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).}$

Esto asocia una forma 2 simétrica a un tensor de curvatura algebraico. Por el contrario, dado un par de formas 2 simétricas h y k , el producto de Kulkarni-Nomizu de h y k

${\displaystyle (h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h(y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)}$

produce un tensor de curvatura algebraico.

Si n ≥ 4, entonces hay una descomposición ortogonal en subespacios (únicos) irreducibles

R V = S V ⊕ E V ⊕ C V

dónde

${\displaystyle \mathbf {S} V=\mathbb {R} g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$, ¿dónde está el espacio de los escalares reales ? ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle \mathbf {E} V=g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}S_{0}^{2}V}$, donde S²
₀V es el espacio de 2 formas simétricas sin rastro

${\displaystyle \mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.}$

Las partes S , E y C de la descomposición de Ricci de un tensor de Riemann R dado son las proyecciones ortogonales de R sobre estos factores invariantes y corresponden (respectivamente) al escalar de Ricci , al tensor de Ricci sin rastro y al tensor de Weyl. del tensor de curvatura de Riemann. En particular,

${\displaystyle R=S+E+C}$

es una descomposición ortogonal en el sentido de que

${\displaystyle |R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.}$

Esta descomposición expresa el espacio de tensores con simetrías de Riemann como una suma directa del submódulo escalar, el submódulo de Ricci y el submódulo de Weyl, respectivamente. Cada uno de estos módulos es una representación irreducible para el grupo ortogonal (Singer y Thorpe 1969) y, por tanto, la descomposición de Ricci es un caso especial de división de un módulo para un grupo de Lie semisimple en sus factores irreducibles. En la dimensión 4, el módulo de Weyl se descompone aún más en un par de factores irreducibles para el grupo ortogonal especial : las partes autodual y antiautodual W ⁺ y W ⁻ .

Interpretación física

La descomposición de Ricci puede interpretarse físicamente en la teoría de la relatividad general de Einstein , donde a veces se la denomina descomposición de Géhéniau-Debever . En esta teoría, la ecuación de campo de Einstein

${\displaystyle G_{ab}=8\pi \,T_{ab}}$

donde está el tensor tensión-energía que describe la cantidad y el movimiento de toda la materia y toda la energía y el momento del campo no gravitacional, afirma que el tensor de Ricci (o equivalentemente, el tensor de Einstein) representa la parte del campo gravitacional que se debe a la presencia inmediata de energía e impulso no gravitacionales. El tensor de Weyl representa la parte del campo gravitacional que puede propagarse como una onda gravitacional a través de una región que no contiene materia ni campos no gravitacionales. Las regiones del espacio-tiempo en las que desaparece el tensor de Weyl no contienen radiación gravitacional y además son conformemente planas. ${\displaystyle T_{ab}}$

Ver también

• Descomposición de Bel del tensor de Riemann
• Geometría conforme
• clasificación de petrov
• tensor de Plebanski
• cálculo de ricci
• tensor de Schouten
• Tensor de Ricci sin rastro

Referencias

• Besse, Arthur L. (1987), Variedades de Einstein , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines (3)], vol. 10, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , págs. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8.
• Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9. La sección 6.1 analiza la descomposición. Las versiones de la descomposición también entran en la discusión de las geometrías conformes y proyectivas, en los capítulos 7 y 8.
• Cantante, mensajería instantánea ; Thorpe, JA (1969), "La curvatura de los espacios de Einstein de 4 dimensiones", Análisis global (artículos en honor a K. Kodaira) , Univ. Prensa de Tokio, págs. 355–365.