Weyl tensor

Medida de la curvatura de una variedad pseudo-riemanniana

In differential geometry, the Weyl curvature tensor, named after Hermann Weyl,^[1] is a measure of the curvature of spacetime or, more generally, a pseudo-Riemannian manifold. Like the Riemann curvature tensor, the Weyl tensor expresses the tidal force that a body feels when moving along a geodesic. The Weyl tensor differs from the Riemann curvature tensor in that it does not convey information on how the volume of the body changes, but rather only how the shape of the body is distorted by the tidal force. The Ricci curvature, or trace component of the Riemann tensor contains precisely the information about how volumes change in the presence of tidal forces, so the Weyl tensor is the traceless component of the Riemann tensor. This tensor has the same symmetries as the Riemann tensor, but satisfies the extra condition that it is trace-free: metric contraction on any pair of indices yields zero. It is obtained from the Riemann tensor by subtracting a tensor that is a linear expression in the Ricci tensor.

In general relativity, the Weyl curvature is the only part of the curvature that exists in free space—a solution of the vacuum Einstein equation—and it governs the propagation of gravitational waves through regions of space devoid of matter.^[2] More generally, the Weyl curvature is the only component of curvature for Ricci-flat manifolds and always governs the characteristics of the field equations of an Einstein manifold.^[2]

In dimensions 2 and 3 the Weyl curvature tensor vanishes identically. In dimensions ≥ 4, the Weyl curvature is generally nonzero. If the Weyl tensor vanishes in dimension ≥ 4, then the metric is locally conformally flat: there exists a local coordinate system in which the metric tensor is proportional to a constant tensor. This fact was a key component of Nordström's theory of gravitation, which was a precursor of general relativity.

Definition

The Weyl tensor can be obtained from the full curvature tensor by subtracting out various traces. This is most easily done by writing the Riemann tensor as a (0,4) valence tensor (by contracting with the metric). The (0,4) valence Weyl tensor is then (Petersen 2006, p. 92)

${\displaystyle C=R-{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g-{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g}$

donde n es la dimensión de la variedad, g es la métrica, R es el tensor de Riemann, Ric es el tensor de Ricci , s es la curvatura escalar y denota el producto de Kulkarni-Nomizu de dos tensores simétricos (0,2): ${\displaystyle h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k}$

${\displaystyle {\begin{aligned}(h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}k)\left(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}\right)=\quad &h\left(v_{1},v_{3}\right)k\left(v_{2},v_{4}\right)+h\left(v_{2},v_{4}\right)k\left(v_{1},v_{3}\right)\\{}-{}&h\left(v_{1},v_{4}\right)k\left(v_{2},v_{3}\right)-h\left(v_{2},v_{3}\right)k\left(v_{1},v_{4}\right)\end{aligned}}}$

En notación de componentes tensoriales, esto se puede escribir como

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{ik\ell m}=R_{ik\ell m}+{}&{\frac {1}{n-2}}\left(R_{im}g_{k\ell }-R_{i\ell }g_{km}+R_{k\ell }g_{im}-R_{km}g_{i\ell }\right)\\{}+{}&{\frac {1}{(n-1)(n-2)}}R\left(g_{i\ell }g_{km}-g_{im}g_{k\ell }\right).\ \end{aligned}}}$

El tensor de Weyl valenciano ordinario (1,3) se obtiene contrayendo lo anterior con la inversa de la métrica.

La descomposición ( 1 ) expresa el tensor de Riemann como una suma directa ortogonal , en el sentido de que

${\displaystyle |R|^{2}=|C|^{2}+\left|{\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{n}}g\right){~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}+\left|{\frac {s}{2n(n-1)}}g{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g\right|^{2}.}$

Esta descomposición, conocida como descomposición de Ricci , expresa el tensor de curvatura de Riemann en sus componentes irreducibles bajo la acción del grupo ortogonal . ^[3] En la dimensión 4, el tensor de Weyl se descompone aún más en factores invariantes para la acción del grupo ortogonal especial , las partes autoduales y antiautoduales C ⁺ y C ⁻ .

El tensor de Weyl también se puede expresar utilizando el tensor de Schouten , que es un múltiplo ajustado por trazas del tensor de Ricci,

${\displaystyle P={\frac {1}{n-2}}\left(\mathrm {Ric} -{\frac {s}{2(n-1)}}g\right).}$

Entonces

${\displaystyle C=R-P{~\wedge \!\!\!\!\!\!\!\!\;\bigcirc ~}g.}$

En índices, ^[4]

${\displaystyle C_{abcd}=R_{abcd}-{\frac {2}{n-2}}\left(g_{a[c}R_{d]b}-g_{b[c}R_{d]a}\right)+{\frac {2}{(n-1)(n-2)}}R~g_{a[c}g_{d]b}}$

donde está el tensor de Riemann, es el tensor de Ricci, es el escalar de Ricci (la curvatura escalar) y los corchetes alrededor de los índices se refieren a la parte antisimétrica . De manera equivalente, ${\displaystyle R_{abcd}}$ ${\displaystyle R_{ab}}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle {C_{ab}}^{cd}={R_{ab}}^{cd}-4S_{[a}^{[c}\delta _{b]}^{d]}}$

donde S denota el tensor de Schouten .

Propiedades

Reescalado conforme

El tensor de Weyl tiene la propiedad especial de que es invariante ante cambios conformes en la métrica . Es decir, si para alguna función escalar positiva entonces el tensor de Weyl (1,3) valente satisface . Por esta razón, el tensor de Weyl también se llama tensor conforme . De ello se deduce que una condición necesaria para que una variedad de Riemann sea conformemente plana es que el tensor de Weyl desaparezca. En dimensiones ≥ 4 esta condición también es suficiente . En la dimensión 3, la desaparición del tensor de Cotton es una condición necesaria y suficiente para que la variedad de Riemann sea conformemente plana. Cualquier variedad de Riemann bidimensional (suave) es conformemente plana, consecuencia de la existencia de coordenadas isotérmicas . ${\displaystyle g_{\mu \nu }\mapsto g'_{\mu \nu }=fg_{\mu \nu }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {C'}_{\ \ bcd}^{a}=C_{\ \ bcd}^{a}}$

De hecho, la existencia de una escala conformemente plana equivale a resolver la ecuación diferencial parcial sobredeterminada

${\displaystyle Ddf-df\otimes df+\left(|df|^{2}+{\frac {\Delta f}{n-2}}\right)g=\operatorname {Ric} .}$

En dimensión ≥ 4, la desaparición del tensor de Weyl es la única condición de integrabilidad para esta ecuación; en la dimensión 3, es el tensor Cotton .

Simetrías

El tensor de Weyl tiene las mismas simetrías que el tensor de Riemann. Esto incluye:

${\displaystyle {\begin{aligned}C(u,v)&=-C(v,u)\\\langle C(u,v)w,z\rangle &=-\langle C(u,v)z,w\rangle \\C(u,v)w+C(v,w)u+C(w,u)v&=0.\end{aligned}}}$

Además, por supuesto, el tensor de Weyl no tiene rastros:

${\displaystyle \operatorname {tr} C(u,\cdot )v=0}$

para todos ustedes , v . En los índices estas cuatro condiciones son

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{abcd}=-C_{bacd}&=-C_{abdc}\\C_{abcd}+C_{acdb}+C_{adbc}&=0\\{C^{a}}_{bac}&=0.\end{aligned}}}$

identidad bianchi

Tomar rastros de la segunda identidad habitual de Bianchi del tensor de Riemann finalmente muestra que

${\displaystyle \nabla _{a}{C^{a}}_{bcd}=2(n-3)\nabla _{[c}S_{d]b}}$

donde S es el tensor de Schouten . El tensor de valencia (0,3) del lado derecho es el tensor de Cotton , aparte del factor inicial.

Ver también

• Curvatura de variedades de Riemann
• Los símbolos de Christoffel proporcionan una expresión de coordenadas para el tensor de Weyl.
• tensor de Lanczos
• Teorema de pelado
• clasificación de petrov
• tensor de Plebanski
• Hipótesis de la curvatura de Weyl
• escalar de weyl

Notas

1. Weyl, Hermann (1 de septiembre de 1918). "Reina de geometría infinita". Mathematische Zeitschrift (en alemán). 2 (3): 384–411. Código Bib : 1918MatZ....2..384W. doi :10.1007/BF01199420. ISSN  1432-1823. S2CID  186232500.
2. Danehkar, A. (2009). "Sobre la importancia de la curvatura de Weyl en un modelo cosmológico relativista". Modificación. Física. Letón. A . 24 (38): 3113–3127. arXiv : 0707.2987 . Código bibliográfico : 2009MPLA...24.3113D. doi :10.1142/S0217732309032046. S2CID  15949217.
3. Cantante y Thorpe 1969.
4. Grøn y Hervik 2007, pág. 490

Referencias

• Hawking, Stephen W .; Ellis, George FR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge University Press, ISBN 0-521-09906-4
• Petersen, Peter (2006), Geometría de Riemann , Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 171 (2ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 0387292462, señor  2243772.
• Sharpe, RW (1997), Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein , Springer-Verlag, Nueva York, ISBN 0-387-94732-9.
• Cantante, mensajería instantánea ; Thorpe, JA (1969), "La curvatura de los espacios de Einstein de 4 dimensiones", Análisis global (artículos en honor a K. Kodaira) , Univ. Prensa de Tokio, págs. 355–365
• "Tensor de Weyl", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Grøn, Øyvind ; Hervik, Sigbjørn (2007), Teoría general de la relatividad de Einstein , Nueva York: Springer, ISBN 978-0-387-69199-2