En matemáticas , el grupo ortogonal en dimensión n , denotado O( n ) , es el grupo de transformaciones que preservan la distancia de un espacio euclidiano de dimensión n que preservan un punto fijo, donde la operación del grupo viene dada componiendo transformaciones. El grupo ortogonal a veces se denomina grupo ortogonal general , por analogía con el grupo lineal general . De manera equivalente, es el grupo de matrices ortogonales n × n , donde la operación de grupo viene dada por la multiplicación de matrices (una matriz ortogonal es una matriz real cuya inversa es igual a su transpuesta ). El grupo ortogonal es un grupo algebraico y un grupo de Lie . Es compacto .
El grupo ortogonal en dimensión n tiene dos componentes conectados . El que contiene el elemento identidad es un subgrupo normal , llamado grupo ortogonal especial , y denotado SO( n ) . Consta de todas las matrices ortogonales del determinante 1. A este grupo también se le llama grupo de rotación , generalizando el hecho de que en las dimensiones 2 y 3, sus elementos son las rotaciones habituales alrededor de un punto (en la dimensión 2) o una recta (en la dimensión 3). ). En dimensión baja, estos grupos han sido ampliamente estudiados, ver SO(2) , SO(3) y SO(4) . El otro componente consta de todas las matrices ortogonales del determinante −1 . Este componente no forma un grupo, ya que el producto de dos de sus elementos cualesquiera es del determinante 1 y, por tanto, no es un elemento del componente.
Por extensión, para cualquier campo F , una matriz n × n con entradas en F tales que su inversa es igual a su transpuesta se llama matriz ortogonal sobre F. Las matrices ortogonales n × n forman un subgrupo, denominado O ( n , F ) , del grupo lineal general GL ( n , F ) ; eso es
De manera más general, dada una forma bilineal simétrica no degenerada o una forma cuadrática [1] en un espacio vectorial sobre un campo , el grupo ortogonal de la forma es el grupo de aplicaciones lineales invertibles que preservan la forma. Los grupos ortogonales anteriores son el caso especial en el que, sobre alguna base, la forma bilineal es el producto escalar o, de manera equivalente, la forma cuadrática es la suma del cuadrado de las coordenadas.
Todos los grupos ortogonales son grupos algebraicos , ya que la condición de conservar una forma se puede expresar como una igualdad de matrices.
El nombre de "grupo ortogonal" proviene de la siguiente caracterización de sus elementos. Dado un espacio vectorial euclidiano E de dimensión n , los elementos del grupo ortogonal O( n ) son, hasta un escalamiento uniforme ( homotecia ), los mapas lineales de E a E que mapean vectores ortogonales a vectores ortogonales.
El ortogonal O( n ) es el subgrupo del grupo lineal general GL( n , R ) , que consta de todos los endomorfismos que preservan la norma euclidiana ; es decir, endomorfismos g tales que
Sea E( n ) el grupo de las isometrías euclidianas de un espacio euclidiano S de dimensión n . Este grupo no depende de la elección de un espacio en particular, ya que todos los espacios euclidianos de una misma dimensión son isomorfos . El subgrupo estabilizador de un punto x ∈ S es el subgrupo de los elementos g ∈ E( n ) tales que g ( x ) = x . Este estabilizador es (o, más exactamente, es isomorfo a) O( n ) , ya que la elección de un punto como origen induce un isomorfismo entre el espacio euclidiano y su espacio vectorial euclidiano asociado.
Existe un homomorfismo de grupo natural p de E( n ) a O( n ) , que se define por
donde, como es habitual, la resta de dos puntos denota el vector de traslación que asigna el segundo punto al primero. Este es un homomorfismo bien definido, ya que una verificación sencilla muestra que, si dos pares de puntos tienen la misma diferencia, lo mismo ocurre con sus imágenes por g (para más detalles, ver Espacio afín § Resta y axiomas de Weyl ).
El núcleo de p es el espacio vectorial de las traslaciones. Entonces, las traslaciones forman un subgrupo normal de E ( n ) , los estabilizadores de dos puntos están conjugados bajo la acción de las traslaciones y todos los estabilizadores son isomorfos a O( n ) .
Además, el grupo euclidiano es un producto semidirecto de O( n ) y el grupo de traslaciones. De ello se deduce que el estudio del grupo euclidiano se reduce esencialmente al estudio de O( n ) .
Al elegir una base ortonormal de un espacio vectorial euclidiano, el grupo ortogonal se puede identificar con el grupo (bajo multiplicación de matrices) de matrices ortogonales , que son las matrices tales que
De esta ecuación se deduce que el cuadrado del determinante de Q es igual a 1 y, por tanto, el determinante de Q es 1 o −1 . Las matrices ortogonales con determinante 1 forman un subgrupo llamado grupo ortogonal especial , denotado SO( n ) , formado por todas las isometrías directas de O( n ) , que son las que conservan la orientación del espacio.
SO( n ) es un subgrupo normal de O( n ) , por ser el núcleo del determinante, que es un homomorfismo de grupo cuya imagen es el grupo multiplicativo {−1, +1} . Esto implica que el grupo ortogonal es un producto interno semidirecto de SO( n ) y cualquier subgrupo formado con la identidad y una reflexión .
El grupo de dos elementos {± I } (donde I es la matriz identidad) es un subgrupo normal e incluso un subgrupo característico de O( n ) , y, si n es par, también de SO( n ) . Si n es impar, O( n ) es el producto directo interno de SO( n ) y {± I } .
El grupo SO(2) es abeliano (este no es el caso de SO( n ) para todo n > 2 ). Sus subgrupos finitos son el grupo cíclico C k de k rotaciones veces , para cada entero positivo k . Todos estos grupos son subgrupos normales de O(2) y SO(2) .
Para cualquier elemento de O( n ) existe una base ortogonal, donde su matriz tiene la forma
donde las matrices R 1 , ..., R k son matrices de rotación de 2 por 2, es decir, matrices de la forma
con a 2 + b 2 = 1 .
Esto resulta del teorema espectral reagrupando valores propios que son conjugados complejos y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los valores propios de una matriz ortogonal son todos iguales a 1 .
El elemento pertenece a SO( n ) si y sólo si hay un número par de −1 en la diagonal.
El caso especial de n = 3 se conoce como teorema de rotación de Euler , que afirma que cada elemento (sin identidad) de SO(3) es una rotación alrededor de un par único de eje-ángulo.
Las reflexiones son los elementos de O( n ) cuya forma canónica es
donde I es la matriz identidad ( n − 1) × ( n − 1 ) , y los ceros denotan matrices cero de fila o columna. En otras palabras, una reflexión es una transformación que transforma el espacio en su imagen especular respecto de un hiperplano .
En la dimensión dos, cada rotación se puede descomponer en un producto de dos reflexiones . Más precisamente, una rotación de ángulo θ es producto de dos reflexiones cuyos ejes forman un ángulo de θ / 2 .
Un producto de hasta n reflexiones elementales siempre es suficiente para generar cualquier elemento de O( n ) . Esto resulta inmediatamente de la forma canónica anterior y del caso de la dimensión dos.
El teorema de Cartan-Dieudonné es la generalización de este resultado al grupo ortogonal de una forma cuadrática no degenerada sobre un campo de características diferentes de dos.
La reflexión a través del origen (la aplicación v ↦ − v ) es un ejemplo de un elemento de O( n ) que no es producto de menos de n reflexiones.
El grupo ortogonal O( n ) es el grupo de simetría de la ( n − 1) -esfera (para n = 3 , esto es solo la esfera ) y de todos los objetos con simetría esférica, si el origen se elige en el centro.
El grupo de simetría de un círculo es O(2) . El subgrupo SO(2) que conserva la orientación es isomorfo (como un grupo de Lie real ) al grupo circular , también conocido como U (1) , el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto igual a uno. Este isomorfismo envía el número complejo exp( φ i ) = cos( φ ) + i sin( φ ) de valor absoluto 1 a la matriz ortogonal especial
En dimensión superior, O( n ) tiene una estructura más complicada (en particular, ya no es conmutativa). Las estructuras topológicas de la n -esfera y O ( n ) están fuertemente correlacionadas, y esta correlación se usa ampliamente para estudiar ambos espacios topológicos .
Los grupos O( n ) y SO( n ) son grupos de Lie reales compactos de dimensión n ( n − 1) / 2 . El grupo O( n ) tiene dos componentes conectados , siendo SO( n ) el componente identidad , es decir, el componente conectado que contiene la matriz identidad .
El grupo ortogonal O( n ) se puede identificar con el grupo de matrices A tal que A T A = I . Dado que ambos miembros de esta ecuación son matrices simétricas , esto proporciona n ( n + 1) / 2 ecuaciones que las entradas de una matriz ortogonal deben satisfacer, y que no todas se satisfacen con las entradas de cualquier matriz no ortogonal.
Esto prueba que O( n ) es un conjunto algebraico . Además, se puede demostrar [ cita necesaria ] que su dimensión es
lo que implica que O( n ) es una intersección completa . Esto implica que todos sus componentes irreductibles tienen la misma dimensión, y que no tiene ningún componente incrustado . De hecho, O( n ) tiene dos componentes irreducibles, que se distinguen por el signo del determinante (es decir, det( A ) = 1 o det( A ) = −1 ). Ambas son variedades algebraicas no singulares de la misma dimensión n ( n − 1) / 2 . El componente con det( A ) = 1 es SO( n ) .
Un toro máximo en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo máximo entre aquellos que son isomorfos a T k para algunos k , donde T = SO(2) es el toro unidimensional estándar. [2]
En O(2 n ) y SO(2 n ) , para cada toro máximo, hay una base sobre la cual el toro consta de matrices diagonales de bloque de la forma
donde cada R j pertenece a SO(2) . En O(2 n + 1) y SO(2 n + 1) , los toros máximos tienen la misma forma, bordeados por una fila y una columna de ceros, y 1 en la diagonal.
El grupo Weyl de SO(2 n + 1) es el producto semidirecto de un 2-subgrupo abeliano elemental normal y un grupo simétrico , donde el elemento no trivial de cada {±1} factor de {±1} n actúa sobre el círculo correspondiente factor de T × {1 } por inversión , y el grupo simétrico S n actúa tanto sobre {±1} n como sobre T × {1 } permutando factores. Los elementos del grupo Weyl están representados por matrices en O(2 n ) × {±1} . El factor S n está representado por matrices de permutación de bloques con bloques de 2 por 2 y un 1 final en la diagonal. El componente {±1} n está representado por matrices diagonales de bloques con bloques de 2 por 2
con el último componente ±1 elegido para hacer el determinante 1 .
El grupo Weyl de SO(2 n ) es el subgrupo del de SO(2 n + 1) , donde H n −1 < {±1} n es el núcleo del homomorfismo del producto {±1} n → {±1 } dada por ; es decir, H n −1 < {±1} n es el subgrupo con un número par de signos menos. El grupo Weyl de SO(2 n ) está representado en SO(2 n ) por las preimágenes bajo la inyección estándar SO(2 n ) → SO(2 n + 1) de los representantes del grupo Weyl de SO(2 n + 1) . A aquellas matrices con un número impar de bloques no les queda ninguna coordenada final −1 para que sus determinantes sean positivos y, por lo tanto, no pueden representarse en SO(2 n ) .
Los grupos ortogonales de baja dimensión (reales) son espacios familiares :
En términos de topología algebraica , para n > 2 el grupo fundamental de SO( n , R ) es cíclico de orden 2 , [4] y el grupo de espín Spin( n ) es su cobertura universal . Para n = 2 , el grupo fundamental es cíclico infinito y la cobertura universal corresponde a la línea real (el grupo Spin(2) es la única cobertura doble conectada ).
Generalmente, los grupos de homotopía π k ( O ) del grupo ortogonal real están relacionados con grupos de homotopía de esferas y, por lo tanto, en general son difíciles de calcular. Sin embargo, se pueden calcular los grupos de homotopía del grupo ortogonal estable (también conocido como grupo ortogonal infinito), definido como el límite directo de la secuencia de inclusiones:
Dado que todas las inclusiones son cerradas, por lo tanto cofibraciones , esto también puede interpretarse como una unión. Por otro lado, S n es un espacio homogéneo para O( n + 1) y se tiene el siguiente haz de fibras :
que puede entenderse como "El grupo ortogonal O( n + 1) actúa transitivamente sobre la esfera unitaria S n , y el estabilizador de un punto (pensado como un vector unitario ) es el grupo ortogonal del complemento perpendicular , que es un grupo ortogonal una dimensión más abajo." Por lo tanto, la inclusión natural O( n ) → O( n + 1) está ( n − 1 ) -conectada , por lo que los grupos de homotopía se estabilizan y π k (O( n + 1)) = π k (O( n )) para n > k + 1 : así, los grupos de homotopía del espacio estable son iguales a los grupos de homotopía inferiores de los espacios inestables.
De la periodicidad de Bott obtenemos Ω 8 O ≅ O , por lo tanto los grupos de homotopía de O son 8 veces periódicos, lo que significa π k + 8 ( O ) = π k ( O ) , y solo es necesario enumerar los 8 grupos de homotopía inferiores:
A través de la construcción de embrague , los grupos de homotopía del espacio estable O se identifican con haces de vectores estables en esferas ( hasta el isomorfismo ), con un cambio de dimensión de 1: π k ( O ) = π k + 1 ( BO ) . Configurando KO = BO × Z = Ω −1 O × Z (para hacer que π 0 encaje en la periodicidad), se obtiene:
Los primeros grupos de homotopía se pueden calcular utilizando descripciones concretas de grupos de baja dimensión.
A partir de datos generales sobre los grupos de Lie , π 2 ( G ) siempre desaparece y π 3 ( G ) es libre ( abeliano libre ).
π 0 ( K O ) es un paquete de vectores sobre S 0 , que consta de dos puntos. Por lo tanto, sobre cada punto, el paquete es trivial, y la no trivialidad del paquete es la diferencia entre las dimensiones de los espacios vectoriales sobre los dos puntos, por lo que π 0 ( KO ) = Z es la dimensión .
Usando descripciones concretas de los espacios de bucle en la periodicidad de Bott , se pueden interpretar las homotopías superiores de O en términos de homotopías de orden inferior más simples de analizar. Usando π 0 , O y O /U tienen dos componentes, K O = B O × Z y K Sp = B Sp × Z tienen un número contable de componentes y el resto están conectados.
En pocas palabras: [5]
Sea R cualquiera de las cuatro álgebras de división R , C , H , O , y sea L R el paquete de líneas tautológicas sobre la línea proyectiva R P 1 , y [ LR ] su clase en la teoría K. Observando que R P 1 = S 1 , C P 1 = S 2 , H P 1 = S 4 , O P 1 = S 8 , estos producen paquetes de vectores sobre las esferas correspondientes, y
Desde el punto de vista de la geometría simpléctica , π 0 ( K O) ≅ π 8 ( K O) = Z puede interpretarse como el índice de Maslov , pensándolo como el grupo fundamental π 1 (U/O) del lagrangiano estable. Grassmanniano como U/O ≅ Ω 7 ( K O ) , entonces π 1 (U/O) = π 1+7 ( K O ) .
El grupo ortogonal ancla una torre Whitehead :
que se obtiene eliminando (matando) sucesivamente grupos de homotopía de orden creciente. Esto se hace mediante la construcción de secuencias exactas cortas que comienzan con un espacio de Eilenberg-MacLane para eliminar el grupo de homotopía. Las primeras entradas en la torre son el grupo de espín y el grupo de cuerdas , y están precedidas por el grupo de cinco branas . Los grupos de homotopía que se eliminan son a su vez π 0 ( O ) para obtener SO de O , π 1 ( O ) para obtener Spin de SO , π 3 ( O ) para obtener String de Spin , y luego π 7 ( O ) y así sucesivamente para obtener las branas de orden superior .
Sobre los números reales, las formas cuadráticas no degeneradas se clasifican según la ley de inercia de Sylvester , que afirma que, en un espacio vectorial de dimensión n , dicha forma se puede escribir como la diferencia de una suma de p cuadrados y una suma de q cuadrados, con p + q = norte . En otras palabras, existe una base sobre la cual la matriz de forma cuadrática es una matriz diagonal , con p entradas iguales a 1 y q entradas iguales a −1 . El par ( p , q ) llamado inercia , es un invariante de la forma cuadrática, en el sentido de que no depende de la forma de calcular la matriz diagonal.
El grupo ortogonal de una forma cuadrática depende sólo de la inercia y, por lo tanto, generalmente se denota O ( p , q ) . Además, como una forma cuadrática y su opuesta tienen el mismo grupo ortogonal, se tiene O( p , q ) = O( q , p ) .
El grupo ortogonal estándar es O( n ) = O( n , 0) = O(0, n ) . Entonces, en el resto de esta sección se supone que ni p ni q son cero.
El subgrupo de las matrices del determinante 1 en O( p , q ) se denota SO( p , q ) . El grupo O( p , q ) tiene cuatro componentes conectados, dependiendo de si un elemento conserva la orientación en cualquiera de los dos subespacios máximos donde la forma cuadrática es definida positiva o definida negativa. El componente de la identidad, cuyos elementos conservan la orientación en ambos subespacios, se denota SO + ( p , q ) .
El grupo O(3, 1) es el grupo de Lorentz que es fundamental en la teoría de la relatividad . Aquí el 3 corresponde a las coordenadas espaciales y el 1 corresponde a la coordenada temporal.
Sobre el campo C de números complejos , cada forma cuadrática no degenerada en n variables es equivalente a x 1 2 + ... + x n 2 . Por lo tanto, hasta el isomorfismo, solo hay un espacio cuadrático complejo no degenerado de dimensión n y un grupo ortogonal asociado, generalmente denotado O ( n , C ) . Es el grupo de matrices ortogonales complejas , matrices complejas cuyo producto con su transpuesta es la matriz identidad.
Como en el caso real, O( n , C ) tiene dos componentes conectados. El componente de la identidad consta de todas las matrices del determinante 1 en O( n , C ) ; se denota SO( n , C ) .
Los grupos O( n , C ) y SO( n , C ) son grupos de Lie complejos de dimensión n ( n − 1) / 2 sobre C (la dimensión sobre R es el doble). Para n ≥ 2 , estos grupos no son compactos. Como en el caso real, SO( n , C ) no es simplemente conexo: para n > 2 , el grupo fundamental de SO( n , C ) es cíclico de orden 2 , mientras que el grupo fundamental de SO(2, C ) es Z.
Sobre un campo de característica diferente de dos, dos formas cuadráticas son equivalentes si sus matrices son congruentes , es decir si un cambio de base transforma la matriz de la primera forma en la matriz de la segunda forma. Dos formas cuadráticas equivalentes tienen claramente el mismo grupo ortogonal.
Las formas cuadráticas no degeneradas sobre un campo finito de característica diferente de dos se clasifican completamente en clases de congruencia, y de esta clasificación resulta que hay un solo grupo ortogonal en dimensión impar y dos en dimensión par.
Más precisamente, el teorema de descomposición de Witt afirma que (en características diferentes de dos) todo espacio vectorial equipado con una forma cuadrática no degenerada Q puede descomponerse como una suma directa de subespacios ortogonales por pares.
donde cada L i es un plano hiperbólico ( es decir, existe una base tal que la matriz de restricción de Q a Li tiene la forma ), y la restricción de Q a W es anisotrópica (es decir, Q ( w ) ≠ 0 por cada w distinto de cero en W ).
El teorema de Chevalley-Warning afirma que, en un campo finito , la dimensión de W es como máximo dos.
Si la dimensión de V es impar, la dimensión de W es entonces igual a uno y su matriz es congruente con o con donde 𝜑 es un escalar no cuadrado. Resulta que solo hay un grupo ortogonal que se denota O(2 n + 1, q ) , donde q es el número de elementos del campo finito (una potencia de un primo impar). [6]
Si la dimensión de W es dos y −1 no es un cuadrado en el campo terrestre (es decir, si su número de elementos q es congruente con 3 módulo 4), la matriz de la restricción de Q a W es congruente con I o – I , donde I es la matriz identidad 2×2. Si la dimensión de W es dos y −1 es un cuadrado en el campo terrestre (es decir, si q es congruente con 1, módulo 4), la matriz de la restricción de Q a W es congruente con φ es cualquier escalar no cuadrado .
Esto implica que si la dimensión de V es par, sólo existen dos grupos ortogonales, dependiendo de si la dimensión de W es cero o dos. Se denotan respectivamente O + (2 n , q ) y O − (2 n , q ) . [6]
El grupo ortogonal O ε (2, q ) es un grupo diédrico de orden 2 ( q − ε ) , donde ε = ± .
Para estudiar el grupo ortogonal de O ε (2, q ) , se puede suponer que la matriz de forma cuadrática es porque, dada una forma cuadrática, existe una base donde su matriz es diagonalizable. Una matriz pertenece al grupo ortogonal si AQA T = Q , es decir, a 2 – ωb 2 = 1 , ac – ωbd = 0 y c 2 – ωd 2 = – ω . Como a y b no pueden ser ambos cero (debido a la primera ecuación), la segunda ecuación implica la existencia de ε en F q , tal que c = εωb y d = εa . Al reportar estos valores en la tercera ecuación y usar la primera ecuación, se obtiene que ε 2 = 1 y, por lo tanto, el grupo ortogonal consta de las matrices
donde a 2 – ωb 2 = 1 y ε = ±1 . Además, el determinante de la matriz es ε .
Para estudiar más a fondo el grupo ortogonal, es conveniente introducir una raíz cuadrada α de ω . Esta raíz cuadrada pertenece a F q si el grupo ortogonal es O + (2, q ) , y a F q 2 en caso contrario. Si establecemos x = a + αb , y y = a – αb , se tiene
Si y son dos matrices de determinante uno en el grupo ortogonal entonces
Esta es una matriz ortogonal con a = a 1 a 2 + ωb 1 b 2 y b = a 1 b 2 + b 1 a 2 . De este modo
De ello se deduce que el mapa ( a , b ) ↦ a + αb es un homomorfismo del grupo de matrices ortogonales del determinante uno en el grupo multiplicativo de F q 2 .
En el caso de O + (2 n , q ) , la imagen es el grupo multiplicativo de F q , que es un grupo cíclico de orden q .
En el caso de O – (2 n , q ) , los x e y anteriores son conjugados y, por lo tanto, son imagen uno del otro mediante el automorfismo de Frobenius . Esto significaba que y por tanto x q +1 = 1 . Para cada uno de esos x se puede reconstruir una matriz ortogonal correspondiente. De ello se deduce que el mapa es un isomorfismo de grupo de las matrices ortogonales del determinante 1 al grupo de las ( q + 1) - raíces de la unidad . Este grupo es un grupo cíclico de orden q + 1 que consta de las potencias de g q −1 , donde g es un elemento primitivo de F q 2 ,
Para finalizar la demostración, basta con comprobar que el grupo de matrices ortogonales no es abeliano, sino que es el producto semidirecto del grupo {1, −1} y el grupo de matrices ortogonales del determinante uno.
La comparación de esta prueba con el caso real puede resultar esclarecedora.
Aquí están involucrados dos isomorfismos de grupo:
donde g es un elemento primitivo de F q 2 y T es el grupo multiplicativo del elemento de norma uno en F q 2 ;
con y
En el caso real, los isomorfismos correspondientes son:
donde C es la circunferencia de los números complejos de norma uno;
con y
Cuando la característica no es dos, el orden de los grupos ortogonales es [7]
En la característica dos, las fórmulas son las mismas, excepto que el factor 2 de | O(2 norte + 1, q ) | debe ser removido.
Para grupos ortogonales, el invariante de Dickson es un homomorfismo del grupo ortogonal al grupo cociente Z /2 Z (enteros módulo 2), tomando el valor 0 en caso de que el elemento sea producto de un número par de reflexiones, y el valor de 1 en caso contrario. [8]
Algebraicamente, el invariante de Dickson se puede definir como D ( f ) = rango ( I − f ) módulo 2 , donde I es la identidad (Taylor 1992, Teorema 11.43). Sobre campos que no son de característica 2 es equivalente al determinante: el determinante es −1 elevado a la invariante de Dickson. En campos de característica 2, el determinante es siempre 1, por lo que el invariante de Dickson proporciona más información que el determinante.
El grupo ortogonal especial es el núcleo del invariante de Dickson [8] y normalmente tiene índice 2 en O( n , F ) . [9] Cuando la característica de F no es 2, la Invariante de Dickson es 0 siempre que el determinante sea 1 . Por lo tanto, cuando la característica no es 2, SO( n , F ) se define comúnmente como los elementos de O( n , F ) con determinante 1 . Cada elemento en O ( n , F ) tiene determinante ±1 . Así, en la característica 2, el determinante es siempre 1 .
La invariante de Dickson también se puede definir para grupos de Clifford y grupos de pines de manera similar (en todas las dimensiones).
Los campos de 2 grupos ortogonales característicos a menudo exhiben comportamientos especiales, algunos de los cuales se enumeran en esta sección. (Anteriormente estos grupos se conocían como grupos hipoabelianos , pero este término ya no se utiliza).
La norma espinor es un homomorfismo de un grupo ortogonal sobre un campo F al grupo cociente F × / ( F × ) 2 (el grupo multiplicativo del campo F hasta la multiplicación por elementos cuadrados ), que se refleja en un vector de norma. n a la imagen de n en F × / ( F × ) 2 . [11]
Para el grupo ortogonal habitual sobre los reales, es trivial, pero a menudo no lo es con respecto a otros campos, o para el grupo ortogonal de forma cuadrática sobre los reales que no es definido positivo.
En la teoría de la cohomología de Galois de grupos algebraicos , se introducen algunos puntos de vista adicionales. Tienen valor explicativo, en particular en relación con la teoría de las formas cuadráticas; pero fueron en su mayor parte post hoc , en lo que respecta al descubrimiento del fenómeno. El primer punto es que las formas cuadráticas sobre un campo pueden identificarse como un Galois H 1 o formas retorcidas ( torsores ) de un grupo ortogonal. Como grupo algebraico, un grupo ortogonal en general no es conexo ni simplemente conexo; el último punto trae consigo los fenómenos de espín, mientras que el primero está relacionado con el determinante .
El nombre de "espín" de la norma de espín puede explicarse por una conexión con el grupo de espín (más exactamente, un grupo de pines ). Esto ahora puede explicarse rápidamente mediante la cohomología de Galois (que, sin embargo, es posterior a la introducción del término mediante el uso más directo de las álgebras de Clifford ). La cobertura de espín del grupo ortogonal proporciona una secuencia corta y exacta de grupos algebraicos .
Aquí μ 2 es el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 ; sobre un campo de característica no 2, es aproximadamente lo mismo que un grupo de dos elementos con acción trivial de Galois. El homomorfismo conector de H 0 (O V ) , que es simplemente el grupo O V ( F ) de puntos con valores F , a H 1 ( μ 2 ) , es esencialmente la norma del espinor, porque H 1 (μ 2 ) es isomorfo a el grupo multiplicativo de los cuadrados del módulo de campo.
También existe el homomorfismo de conexión de H 1 del grupo ortogonal al H 2 del núcleo de la cubierta de espín. La cohomología no es abeliana, por lo que esto es lo más lejos que podemos llegar, al menos con las definiciones convencionales.
El álgebra de Lie correspondiente a los grupos de Lie O ( n , F ) y SO ( n , F ) consta de matrices simétricas sesgadas n × n , con el corchete de Lie [,] dado por el conmutador . Un álgebra de Lie corresponde a ambos grupos. A menudo se denota por o y se denomina álgebra de Lie ortogonal o álgebra de Lie ortogonal especial . Sobre números reales, estas álgebras de Lie para n diferentes son las formas reales compactas de dos de las cuatro familias de álgebras de Lie semisimples : en dimensión impar B k , donde n = 2 k + 1 , mientras que en dimensión par D r , donde n = 2r .
Dado que el grupo SO ( n ) no es simplemente conexo, la teoría de la representación de las álgebras de Lie ortogonales incluye tanto representaciones correspondientes a representaciones ordinarias de los grupos ortogonales como representaciones correspondientes a representaciones proyectivas de los grupos ortogonales. (Las representaciones proyectivas de SO( n ) son simplemente representaciones lineales de la cobertura universal, el grupo de espín Spin( n ).) Estas últimas son las llamadas representaciones de espín , que son importantes en física.
De manera más general, dado un espacio vectorial V (sobre un campo con característica no igual a 2) con una forma bilineal simétrica no degenerada (⋅, ⋅) , el álgebra de Lie ortogonal especial consiste en endomorfismos sin traza que son asimétricos para esta forma ( ) . Sobre un campo de característica 2 consideramos en cambio los endomorfismos alternos. Concretamente podemos equipararlos con los tensores alternos Λ 2 V . La correspondencia viene dada por:
Esta descripción se aplica igualmente a las álgebras de Lie ortogonales especiales indefinidas para formas bilineales simétricas con firma ( p , q ) .
En números reales, esta caracterización se utiliza para interpretar la curvatura de un campo vectorial (naturalmente un 2 vectores) como una rotación infinitesimal o "curvatura", de ahí el nombre.
Los grupos ortogonales y los grupos ortogonales especiales tienen varios subgrupos, supergrupos, grupos de cocientes y grupos de cobertura importantes. Estos se enumeran a continuación.
Las inclusiones O( n ) ⊂ U( n ) ⊂ USp(2 n ) y USp( n ) ⊂ U( n ) ⊂ O(2 n ) son parte de una secuencia de 8 inclusiones utilizadas en una prueba geométrica de la periodicidad de Bott. teorema , y los espacios cocientes correspondientes son espacios simétricos de interés independiente; por ejemplo, U( n )/O( n ) es el lagrangiano Grassmanniano .
En física, particularmente en las áreas de compactación de Kaluza-Klein , es importante conocer los subgrupos del grupo ortogonal. Los principales son:
El grupo ortogonal O ( n ) también es un subgrupo importante de varios grupos de Lie:
Al ser isometrías , las transformadas ortogonales reales conservan los ángulos y, por tanto, son aplicaciones conformes , aunque no todas las transformaciones lineales conformes son ortogonales. En términos clásicos, esta es la diferencia entre congruencia y similitud , como lo ejemplifica la congruencia SSS (lado-lado-lado) de triángulos y la similitud AAA (ángulo-ángulo-ángulo) de triángulos . El grupo de aplicaciones lineales conformes de R n se denota CO( n ) para el grupo ortogonal conforme y consiste en el producto del grupo ortogonal por el grupo de dilataciones . Si n es impar, estos dos subgrupos no se cruzan y son un producto directo : CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) × R ∗ , donde R ∗ = R ∖{0 } es el real grupo multiplicativo , mientras que si n es par, estos subgrupos se cruzan en ±1 , por lo que este no es un producto directo, sino que es un producto directo con el subgrupo de dilatación por un escalar positivo: CO(2 k ) = O(2 k )× R + .
De manera similar se puede definir CSO( n ) ; esto es siempre: CSO( n ) = CO( n ) ∩ GL + ( n ) = SO( n ) × R + .
Como el grupo ortogonal es compacto, los subgrupos discretos equivalen a subgrupos finitos. [nota 1] Estos subgrupos se conocen como grupos de puntos y pueden realizarse como grupos de simetría de politopos . Una clase muy importante de ejemplos son los grupos finitos de Coxeter , que incluyen los grupos de simetría de politopos regulares .
La dimensión 3 se estudia particularmente: consulte grupos de puntos en tres dimensiones , grupos poliédricos y lista de grupos de simetría esférica . En 2 dimensiones, los grupos finitos son cíclicos o diédricos; consulte grupos de puntos en dos dimensiones .
Otros subgrupos finitos incluyen:
El grupo ortogonal no es simplemente conexo ni carente de centros y, por tanto, tiene tanto un grupo de cobertura como un grupo de cocientes , respectivamente:
Todas estas son coberturas 2 a 1.
Para el grupo ortogonal especial, los grupos correspondientes son:
Spin es una cobertura de 2 a 1, mientras que en dimensión par, PSO(2 k ) es una cobertura de 2 a 1, y en dimensión impar, PSO(2 k + 1) es una cobertura de 1 a 1; es decir, isomorfo a SO(2 k + 1) . Estos grupos, Spin( n ) , SO( n ) y PSO( n ) son formas de grupo de Lie del álgebra de Lie ortogonal especial compacta . Spin es la forma simplemente conexa, mientras que PSO es la forma sin centros y SO es en general . ni. [nota 3]
En la dimensión 3 y superiores estas son las coberturas y los cocientes, mientras que la dimensión 2 y siguientes están algo degeneradas; consulte artículos específicos para obtener más detalles.
El principal espacio homogéneo para el grupo ortogonal O ( n ) es la variedad de Stiefel Vn ( Rn ) de bases ortonormales ( n -marcos ortonormales ).
En otras palabras, el espacio de bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin elección de punto base: dado un espacio ortogonal, no hay elección natural de base ortonormal, pero una vez que se le da una, hay una relación uno a uno. -una correspondencia entre bases y el grupo ortogonal. Concretamente, una aplicación lineal está determinada por dónde envía una base: así como una aplicación invertible puede llevar cualquier base a cualquier otra base, una aplicación ortogonal puede llevar cualquier base ortogonal a cualquier otra base ortogonal .
Las otras variedades de Stiefel V k ( R n ) para k < n de bases ortonormales incompletas ( k -marcos ortonormales) siguen siendo espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no espacios homogéneos principales : cualquier k -marco se puede llevar a cualquier otro k -encuadre por un mapa ortogonal, pero este mapa no está determinado de forma única.
