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Richard Schoen

Richard Melvin Schoen (nacido el 23 de octubre de 1950) es un matemático estadounidense conocido por su trabajo en geometría diferencial y análisis geométrico . Es mejor conocido por la resolución del problema de Yamabe en 1984.

Carrera

Nacido en Celina, Ohio, y graduado en 1968 de Fort Recovery High School, recibió su licenciatura en matemáticas de la Universidad de Dayton . Luego recibió su doctorado en 1977 en la Universidad de Stanford . Después de ocupar puestos docentes en el Instituto Courant, NYU , la Universidad de California, Berkeley y la Universidad de California, San Diego , fue profesor en la Universidad de Stanford de 1987 a 2014, como profesor bajo de Humanidades y Ciencias desde 1992. [16] Actualmente Profesor Distinguido y Cátedra de Excelencia en Docencia en la Universidad de California, Irvine . [17] Su apellido se pronuncia "Shane".

Schoen recibió una beca de investigación para graduados de la NSF en 1972 y una beca de investigación Sloan en 1979. [1] Schoen es becario MacArthur en 1983 . [2] Ha sido invitado a hablar en el Congreso Internacional de Matemáticos (ICM) tres veces, incluidas dos veces como orador plenario . [18] En 1983 fue orador invitado en la ICM en Varsovia , en 1986 fue orador plenario en la ICM en Berkeley , y en 2010 fue orador plenario en la ICM en Hyderabad . Por su trabajo sobre el problema de Yamabe , Schoen recibió el premio Bôcher Memorial en 1989. [4] Fue elegido miembro de la Academia Estadounidense de Artes y Ciencias en 1988 y de la Academia Nacional de Ciencias en 1991, y se convirtió en miembro de la Asociación Estadounidense. para el Avance de la Ciencia en 1995 y ganó una beca Guggenheim en 1996. [3] [5] [6] En 2012 se convirtió en miembro de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas . [7] Recibió el Premio del Decano 2014-2015 por su trayectoria en la enseñanza de la Universidad de Stanford. [8] En 2015, fue elegido vicepresidente de la Sociedad Matemática Estadounidense . [19] Fue galardonado con un Doctorado Honoris Causa en Ciencias de la Universidad de Warwick en 2015. [20] Recibió el Premio Wolf en Matemáticas de 2017, compartido con Charles Fefferman . [21] Ese mismo año, recibió el premio Heinz Hopf , la medalla y el premio Lobachevsky de la Universidad Federal de Kazán y el premio Rolf Schock . [22] [23] [24]

Ha tenido más de 44 estudiantes de doctorado, entre ellos Hubert Bray , José F. Escobar , Ailana Fraser , Chikako Mese , William Minicozzi y André Neves . [25]

trabajo matematico

Schoen ha investigado el uso de técnicas analíticas en geometría diferencial global , con una serie de contribuciones fundamentales a la teoría de la regularidad de superficies mínimas y mapas armónicos.

Mapas armónicos

En 1976, Schoen y Shing-Tung Yau utilizaron los primeros teoremas de Liouville de Yau para extender los fenómenos de rigidez descubiertos anteriormente por James Eells y Joseph Sampson a entornos no compactos. [26] [27] Al identificar una cierta interacción de la identidad de Bochner para mapas armónicos junto con la segunda variación de la fórmula de área para hipersuperficies mínimas, también identificaron algunas condiciones novedosas en el dominio que conducen a la misma conclusión. Estos teoremas de rigidez se complementan con su teorema de existencia para aplicaciones armónicas en dominios no compactos, como un simple corolario de la resolución de Richard Hamilton del problema de valores en la frontera de Dirichlet. [28] Como consecuencia, encontraron algunos resultados geométricos sorprendentes, como que ciertas variedades no compactas no admiten ninguna métrica completa de curvatura de Ricci no negativa.

En dos artículos de la década de 1980, Schoen y Karen Uhlenbeck hicieron una contribución fundamental a la teoría de la regularidad de los mapas armónicos que minimizan la energía . Las técnicas que desarrollaron, haciendo uso extensivo de fórmulas de monotonicidad, han sido muy influyentes en el campo del análisis geométrico y se han adaptado a una serie de otros problemas. Sus conclusiones fundamentales incluyen teoremas de compacidad para conjuntos de mapas armónicos y control sobre el tamaño de los conjuntos singulares correspondientes. Leon Simon aplicó estos resultados para obtener una imagen clara de la geometría a pequeña escala de los mapas armónicos que minimizan la energía. [29]

Más tarde, Mikhael Gromov tuvo la idea de que una extensión de la teoría de aplicaciones armónicas, para permitir valores en espacios métricos en lugar de variedades de Riemann , tendría una serie de aplicaciones importantes, con análogos del teorema de rigidez clásico de Eells-Sampson que darían teoremas de rigidez novedosos. para celosías . Schoen desarrolló los intensos detalles analíticos de tal teoría. Schoen y Nicholas Korevaar establecieron más fundamentos de este nuevo contexto para los mapas armónicos.

Superficies mínimas, curvatura escalar positiva y teorema de masa positiva

En 1979, Schoen y su antiguo supervisor doctoral, Shing-Tung Yau , hicieron una serie de contribuciones muy influyentes al estudio de la curvatura escalar positiva . Mediante una combinación elemental pero novedosa de la ecuación de Gauss , la fórmula para la segunda variación del área y el teorema de Gauss-Bonnet , Schoen y Yau pudieron descartar la existencia de varios tipos de superficies mínimas estables en variedades tridimensionales de valores positivos. curvatura escalar. Al contrastar este resultado con un teorema suyo analíticamente profundo que establece la existencia de tales superficies, pudieron lograr restricciones sobre qué variedades pueden admitir una métrica de curvatura escalar positiva. Schoen y Doris Fischer-Colbrie emprendieron posteriormente un estudio más amplio de superficies mínimas estables en variedades tridimensionales, utilizando en su lugar un análisis del operador de estabilidad y sus propiedades espectrales.

Un argumento inductivo basado en la existencia de hipersuperficies mínimas estables les permitió extender sus resultados a dimensiones superiores. Otras técnicas analíticas facilitaron la aplicación de cirugías topológicas en variedades que admiten métricas de curvatura escalar positiva, lo que demuestra que la clase de tales variedades es topológicamente rica. Mikhael Gromov y H. Blaine Lawson obtuvieron resultados similares mediante otros métodos, realizando también un análisis más profundo de las consecuencias topológicas. [30] [31]

Mediante una extensión de sus técnicas a variedades no compactas, Schoen y Yau pudieron resolver el importante caso riemanniano del teorema de masa positiva en la relatividad general , que puede verse como una afirmación sobre el comportamiento geométrico cerca del infinito de variedades no compactas con curvatura escalar positiva. . Al igual que sus resultados originales, el argumento se basa en una contradicción. Edward Witten encontró más tarde un argumento más constructivo, que utilizaba la teoría de los espinores armónicos en lugar de las hipersuperficies mínimas . [32] [33] [34]

Schoen, Yau y Leon Simon identificaron una combinación simple de la fórmula de Simons con la fórmula para la segunda variación del área que produce importantes estimaciones de curvatura para hipersuperficies mínimas estables de pequeñas dimensiones. En 1983, Schoen obtuvo estimaciones similares en el caso especial de superficies bidimensionales, haciendo uso de la existencia de coordenadas isotérmicas . Schoen y Simon obtuvieron estimaciones ligeramente más débiles, aunque sin ninguna restricción dimensional. Las consecuencias fundamentales de las estimaciones de Schoen-Simon incluyen teoremas de compacidad para hipersuperficies mínimas estables, así como el control sobre el tamaño de "conjuntos singulares". En particular, las estimaciones de Schoen-Simon son una herramienta importante en la teoría mín-máx de Almgren-Pitts , que ha encontrado varias aplicaciones.

La posible presencia de conjuntos singulares restringe las dimensiones en las que se pueden llevar a cabo fácilmente los argumentos inductivos de Schoen y Yau. Mientras tanto, el uso esencial de espinores por parte de Witten restringe sus resultados a casos topológicamente especiales. Así, el caso general del teorema de la masa positiva en dimensiones superiores quedó como un importante problema abierto en el trabajo de Schoen y Yau de 1979. En 1988, resolvieron el problema en dimensión arbitraria en el caso especial de que el tensor de Weyl sea cero; esto ha sido significativo en geometría conforme. En 2017, publicaron una preimpresión reivindicando el caso general, en el que tratan directamente con conjuntos singulares de hipersuperficies mínimas.

Problema de Yamabe y geometría conforme.

En 1960, Hidehiko Yamabe introdujo el "funcional Yamabe" en una clase conforme de métricas de Riemann y demostró que un punto crítico tendría una curvatura escalar constante . [35] Hizo avances parciales hacia la demostración de que deben existir puntos críticos, lo que fue llevado más allá por Neil Trudinger y Thierry Aubin . [36] [37] El trabajo de Aubin, en particular, resolvió los casos de alta dimensión o cuando existe un punto donde el tensor de Weyl es distinto de cero. En 1984, Schoen resolvió los casos dejados abiertos por el trabajo de Aubin, cuyo punto decisivo reescaló la métrica mediante la función de Green del operador de Laplace-Beltrami . Esto permitió una aplicación del teorema de masa positiva de Schoen y Yau a la métrica resultante, brindando información asintótica importante sobre la métrica original. Los trabajos de Yamabe, Trudinger, Aubin y Schoen juntos comprenden la solución del problema de Yamabe , que afirma que existe una métrica de curvatura escalar constante en cada clase conforme.

En 1989, Schoen también pudo adaptar el análisis de burbujeo de Karen Uhlenbeck , desarrollado para otros problemas analíticos geométricos, al establecimiento de una curvatura escalar constante. [38] [39] La unicidad de los puntos críticos del funcional Yamabe, y más generalmente la compacidad del conjunto de todos los puntos críticos, es una cuestión sutil investigada por primera vez por Schoen en 1991. Posteriormente, Simon Brendle y Marcus obtuvieron resultados más completos. Khuri, Fernando Codá Marques y Schoen.

Teorema de la esfera diferenciable

En la década de 1980, Richard Hamilton introdujo el flujo de Ricci y demostró varios resultados de convergencia, sobre todo para espacios bidimensionales y tridimensionales. [40] [41] Aunque él y otros encontraron resultados parciales en dimensiones altas, el progreso se vio obstaculizado por la dificultad de comprender el complicado tensor de curvatura de Riemann . [42] Simon Brendle y Schoen pudieron demostrar que la positividad de la "curvatura isotrópica" de Mario Micallef y John Moore es preservada por el flujo de Ricci en cualquier dimensión, un hecho probado independientemente por Huy Nguyen. [43] [44] Brendle y Schoen pudieron además relacionar su condición de positividad con la positividad de la curvatura seccional y del operador de curvatura , lo que les permitió explotar las entonces recientes ideas algebraicas de Christoph Böhm y Burkhard Wilking, obteniendo así una nueva convergencia. Teorema del flujo de Ricci. [45] Un caso especial de su teorema de convergencia tiene el teorema de la esfera diferenciable como corolario simple, que había sido una conjetura bien conocida en el estudio de la curvatura seccional positiva durante los últimos cincuenta años.

Publicaciones Seleccionadas

Libros de texto

Ver también

Referencias

  1. ^ ab "Base de datos de becarios | Fundación Alfred P. Sloan". sloan.org .
  2. ^ ab "Richard M. Schoen". www.macfound.org .
  3. ^ ab "Richard Melvin Schoen". Academia Estadounidense de Artes y Ciencias .
  4. ^ ab "Buscar premios y reconocimientos". Sociedad Matemática Estadounidense .
  5. ^ ab "Richard M. Schoen". www.nasonline.org .
  6. ^ ab "Richard M. Schoen". Fundación en Memoria de John Simon Guggenheim .
  7. ^ ab Lista de miembros de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas, consultado el 14 de julio de 2013.
  8. ^ ab "Premios a la enseñanza del decano de H&S | Humanidades y ciencias de Stanford". humsci.stanford.edu .
  9. ^ "Warwick en honor a los premios Nobel, destacado director de cine, periodista, directores de CBI y TUC, autor indonesio, gurú de viajes y jefe de la Biblioteca Británica". warwick.ac.uk .
  10. ^ "Lista de todos los graduados honorarios y medallistas del canciller". warwick.ac.uk .
  11. ^ "Richard Schoen". 12 de diciembre de 2018.
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  13. ^ "Richard Schoen anunciado como ganador de la medalla y el premio Lobachevsky 2017".
  14. ^ "Rolf Schockprisen". kungl. Vetenskapsakademien .
  15. ^ "Richard Melvin Schoen". Escuela de Matemáticas y Estadística Universidad de St Andrews, Escocia . Consultado el 6 de enero de 2017 .
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  17. ^ "Richard Schoen | Matemáticas UCI". www.math.uci.edu .
  18. ^ "Plenaria de la ICM y oradores invitados | Unión Matemática Internacional (IMU)". www.mathunion.org .
  19. ^ "Comités AMS". Sociedad Matemática Estadounidense .
  20. ^ "Graduados honorarios y discursos - Verano de 2015". warwick.ac.uk .
  21. ^ "The Wolf Foundation -" Richard Schoen Ganador del Premio Wolf en Matemáticas - 2017"".
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enlaces externos