Hidehiko Yamabe (山辺 英彦, Yamabe Hidehiko , 22 de agosto de 1923, en Ashiya, Hyōgo , Japón - 20 de noviembre de 1960, en Evanston, Illinois ) fue un matemático japonés . Sobre todo, es famoso por descubrir [2] que cada clase conforme en una variedad compacta suave está representada por una métrica de Riemann de curvatura escalar constante. Otras contribuciones notables incluyen su solución definitiva del quinto problema de Hilbert . [3]
Hidehiko Yamabe nació el 22 de agosto de 1923 en la ciudad de Ashiya , perteneciente a la prefectura de Hyōgo , sexto hijo de Takehiko y Rei Yamabe. [4] Tras finalizar el bachillerato en septiembre de 1944, se incorporó a la Universidad de Tokio como estudiante del Departamento de Matemáticas y se graduó en septiembre de 1947: su asesor de doctorado fue Shokichi Iyanaga . [1] Luego estuvo asociado al Departamento de Matemáticas de la Universidad de Osaka hasta junio de 1956, incluso mientras trabajaba en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Princeton en Princeton, Nueva Jersey . Poco antes de llegar a los Estados Unidos de América , Yamabe se casó con su esposa Etsuko, y en 1956 tuvieron dos hijas. Yamabe murió repentinamente de un derrame cerebral en noviembre de 1960, [5] apenas unos meses después de aceptar una cátedra de profesor titular en la Universidad Northwestern .
Después de graduarse de la Universidad de Tokio en 1947, Yamabe se convirtió en asistente en la Universidad de Osaka . Desde 1952 hasta 1954 fue asistente en la Universidad de Princeton , recibiendo su doctorado de la Universidad de Osaka mientras estaba en Princeton. Dejó Princeton en 1954 para convertirse en profesor asistente en la Universidad de Minnesota . A excepción de un año como profesor en la Universidad de Osaka, permaneció en Minnesota hasta 1960. Yamabe murió repentinamente de un derrame cerebral en noviembre de 1960, [6] solo unos meses después de aceptar una cátedra completa en la Universidad Northwestern .
Después de regresar a Japón, Etsuko Yamabe y sus hijas vivieron con los beneficios de la seguridad social de Hidehiko y de los fondos recaudados en forma privada por ella y los amigos de su esposo en los Estados Unidos de América. [7] Cuando logró cierta estabilidad financiera, su deseo fue devolver la amabilidad que se le mostró en un momento de gran necesidad estableciendo fondos para una conferencia anual, que se realizaría alternativamente en Northwestern y Minnesota : la Conferencia Memorial Yamabe se estableció de esa manera, y pudo atraer a conferenciantes distinguidos como Eugenio Calabi . [8] La financiación adicional permitió la expansión de la conferencia al actual Simposio Yamabe bianual estatal . [9]
Yamabe publicó dieciocho artículos sobre diversos temas matemáticos: [10] Estos han sido recopilados y publicados como un libro, editado por Ralph Philip Boas, Jr. para Gordon and Breach Science Publishers . [11]
La mitad de los trabajos de Yamabe se refieren a la teoría de los grupos de Lie y temas relacionados. Sin embargo, hoy en día es más conocido por su notable artículo póstumo, "Sobre una deformación de las estructuras de Riemann en variedades compactas", Osaka Math. J. 12 (1960) 21–37. Este artículo pretende demostrar que cualquier métrica de Riemann en cualquier variedad compacta sin borde es conforme a otra métrica para la que la curvatura escalar es constante. Esta afirmación, que naturalmente generaliza la uniformización de las superficies de Riemann a dimensiones arbitrarias, es completamente correcta, como lo es el esquema general de la prueba de Yamabe. Sin embargo, el argumento de Yamabe contiene un sutil error analítico que surge del hecho de que ciertas inclusiones naturales de los espacios de Sobolev no son compactas. Este error fue corregido por etapas, caso por caso, primero por Trudinger ("Observaciones sobre la deformación conforme de las métricas a una curvatura escalar constante", Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa 22 (1968) 265-274), luego por Aubin (Équations Différentielles Non Linéaires et Problème de Yamabe, J. Math. Pures Appl. 9: 55 (1976) 269-296), y finalmente, en general, por Schoen ("Deformación conforme de una métrica riemanniana a una curvatura escalar constante", Journal of Differential Geometry 20 (1984) 478-495). El artículo visionario de Yamabe se convirtió así en una piedra angular de la geometría riemanniana moderna y, por lo tanto, es en gran medida responsable de su fama póstuma. Por ejemplo, a fecha del 16 de enero de 2015, MathSciNet registra 186 citas del artículo de Yamabe de 1960 en el Osaka Journal, en comparación con solo 148 citas de todas sus otras publicaciones combinadas. A fecha del 16 de enero de 2015, MathSciNet también enumera 997 revisiones que contienen la palabra "Yamabe". Esto, por supuesto, es notablemente mayor que el número de artículos que citan explícitamente alguno de los artículos de Yamabe. Sin embargo, la gran mayoría de estas revisiones contienen una de las frases "curvatura escalar" o "ecuación de Yamabe", en referencia a la ecuación de Yamabe que rige el comportamiento de la curvatura escalar bajo reescalamiento conforme. En este sentido, la influencia del artículo de Yamabe de 1960 en el Osaka Journal se ha convertido en un elemento tan universal del pensamiento matemático actual que a menudo se hace referencia a él de manera implícita sin una cita explícita.