El quinto problema de Hilbert es el quinto problema matemático de la lista de problemas publicada en 1900 por el matemático David Hilbert , y se refiere a la caracterización de los grupos de Lie .
La teoría de los grupos de Lie describe la simetría continua en matemáticas; su importancia en este campo y en la física teórica (por ejemplo , la teoría de quarks ) creció de forma sostenida durante el siglo XX. En términos generales, la teoría de grupos de Lie es el punto en común de la teoría de grupos y la teoría de variedades topológicas . La pregunta que Hilbert se planteó fue la de precisar: ¿existe alguna diferencia si se impone una restricción a las variedades suaves ?
La respuesta esperada fue negativa (los grupos clásicos , los ejemplos más centrales en la teoría de grupos de Lie, son variedades suaves). Esto se confirmó finalmente a principios de la década de 1950. Dado que Hilbert no disponía de la noción precisa de "variedad", hay lugar para cierto debate sobre la formulación del problema en el lenguaje matemático contemporáneo.
Una formulación moderna del problema (en su interpretación más simple) es la siguiente: [1]
Una formulación equivalente de este problema más cercana a la de Hilbert, en términos de leyes de composición, es la siguiente: [2]
De esta forma el problema fue resuelto por Montgomery-Zippin y Gleason.
Una interpretación más fuerte (considerando a G como un grupo de transformación en lugar de un grupo abstracto) da como resultado la conjetura de Hilbert-Smith sobre las acciones de grupo en variedades, que en su generalidad total aún está abierta. Se conoce clásicamente para acciones en variedades bidimensionales y recientemente ha sido resuelta para tres dimensiones por John Pardon .
El primer resultado importante fue el de John von Neumann en 1933, [3] dando una respuesta afirmativa para los grupos compactos . El caso del grupo abeliano localmente compacto fue resuelto en 1934 por Lev Pontryagin . La resolución final, al menos en la interpretación de lo que Hilbert quiso decir dada anteriormente, llegó con el trabajo de Andrew Gleason , Deane Montgomery y Leo Zippin en la década de 1950.
En 1953, Hidehiko Yamabe obtuvo más resultados sobre grupos topológicos que pueden no ser variedades: [a]
De ello se deduce que todo grupo localmente compacto contiene un subgrupo abierto que es un límite proyectivo de los grupos de Lie, según el teorema de van Dantzig (esta última afirmación se denomina Teorema de Gleason-Yamabe en Tao (2014, Teorema 1.1.17)).
Una condición importante en la teoría es que no haya subgrupos pequeños . Se dice que un grupo topológico G , o una parte parcial de un grupo como F arriba, no tiene subgrupos pequeños si hay un entorno N de e que no contiene ningún subgrupo mayor que { e } . Por ejemplo, el grupo del círculo satisface la condición, mientras que los enteros p -ádicos Z p como grupo aditivo no, porque N contendrá los subgrupos: p k Z p , para todos los enteros grandes k . Esto da una idea de cómo es la dificultad del problema. En el caso de la conjetura de Hilbert-Smith se trata de una reducción conocida a si Z p puede actuar fielmente en una variedad cerrada . Gleason, Montgomery y Zippin caracterizaron a los grupos de Lie entre los grupos localmente compactos , como aquellos que no tienen subgrupos pequeños.
Los investigadores también han considerado el quinto problema de Hilbert sin suponer dimensionalidad finita . Este fue el tema de la tesis doctoral de Per Enflo ; su trabajo se analiza en Benyamini & Lindenstrauss (2000, Capítulo 17).