Homeomorfismo local

Función matemática reversible cerca de cada punto

En matemáticas , más específicamente en topología , un homeomorfismo local es una función entre espacios topológicos que, intuitivamente, preserva la estructura local (aunque no necesariamente global). Si es un homeomorfismo local, se dice que es un espacio étale sobre Los homeomorfismos locales se utilizan en el estudio de haces . Ejemplos típicos de homeomorfismos locales son los mapas de recubrimiento . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Un espacio topológico es localmente homeomorfo a si cada punto de tiene un vecindario que es homeomorfo a un subconjunto abierto de Por ejemplo, una variedad de dimensión es localmente homeomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Si hay un homeomorfismo local de a entonces es localmente homeomorfo a pero lo inverso no siempre es cierto. Por ejemplo, la esfera bidimensional , al ser una variedad, es localmente homeomorfa al plano pero no hay homeomorfismo local ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

Definición formal

Una función entre dos espacios topológicos se denomina homeomorfismo local ^[1] si cada punto tiene un vecindario abierto cuya imagen está abierta en y la restricción es un homeomorfismo (donde las respectivas topologías de subespacios se utilizan en y en ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U)}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Homeomorfismos locales versus homeomorfismos

Todo homeomorfismo es un homeomorfismo local. Pero un homeomorfismo local es un homeomorfismo si y solo si es biyectivo . Un homeomorfismo local no necesita ser un homeomorfismo. Por ejemplo, la función definida por (de modo que geométricamente, esta función envuelve la línea real alrededor del círculo ) es un homeomorfismo local pero no un homeomorfismo. La función definida por que envuelve el círculo alrededor de sí mismo veces (es decir, tiene número de vueltas ), es un homeomorfismo local para todo distinto de cero pero es un homeomorfismo solo cuando es biyectivo (es decir, solo cuando o ). ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=-1}$

Generalizando los dos ejemplos anteriores, toda función cubriente es un homeomorfismo local; en particular, la función cubriente universal de un espacio es un homeomorfismo local. En ciertas situaciones, se cumple lo contrario. Por ejemplo: si es un homeomorfismo local propio entre dos espacios de Hausdorff y si también es localmente compacto , entonces es una función cubriente. ${\displaystyle p:C\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$

Homeomorfismos locales y composición de funciones

La composición de dos homeomorfismos locales es un homeomorfismo local; explícitamente, si y son homeomorfismos locales, entonces la composición también es un homeomorfismo local. La restricción de un homeomorfismo local a cualquier subconjunto abierto del dominio será nuevamente un homomorfismo local; explícitamente, si es un homeomorfismo local, entonces su restricción a cualquier subconjunto abierto de también es un homeomorfismo local. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Si es continua mientras que y son homeomorfismos locales, entonces es también un homeomorfismo local. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle f}$

Mapas de inclusión

Si es cualquier subespacio (donde como es habitual, está equipado con la topología de subespacio inducida por ), entonces el mapa de inclusión es siempre una incrustación topológica . Pero es un homeomorfismo local si y solo si es abierto en El hecho de que el subconjunto esté abierto en es esencial para que el mapa de inclusión sea un homeomorfismo local porque el mapa de inclusión de un subconjunto no abierto de nunca produce un homeomorfismo local (ya que no será un mapa abierto). ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La restricción de una función a un subconjunto es igual a su composición con el mapa de inclusión explícitamente. Dado que la composición de dos homeomorfismos locales es un homeomorfismo local, si y son homomorfismos locales, entonces también lo es. Por lo tanto, las restricciones de homeomorfismos locales a subconjuntos abiertos son homeomorfismos locales. ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle i:U\to X;}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$

Invariancia de dominio

La invariancia del dominio garantiza que si es una función inyectiva continua de un subconjunto abierto de entonces es abierta en y es un homeomorfismo . En consecuencia, una función continua de un subconjunto abierto será un homeomorfismo local si y solo si es una función inyectiva local (es decir, cada punto en tiene un entorno tal que la restricción de a es inyectiva). ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to f(U)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$

Homeomorfismos locales en el análisis

Se demuestra en el análisis complejo que una función analítica compleja (donde es un subconjunto abierto del plano complejo ) es un homeomorfismo local precisamente cuando la derivada es distinta de cero para todo La función en un disco abierto alrededor no es un homeomorfismo local en cuando En ese caso es un punto de " ramificación " (intuitivamente, las láminas se juntan allí). ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f^{\prime }(z)}$ ${\displaystyle z\in U.}$ ${\displaystyle f(x)=z^{n}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$

Utilizando el teorema de la función inversa se puede demostrar que una función continuamente diferenciable (donde es un subconjunto abierto de ) es un homeomorfismo local si la derivada es una función lineal invertible (matriz cuadrada invertible) para cada (La inversa es falsa, como lo demuestra el homeomorfismo local con ). Se puede formular una condición análoga para funciones entre variedades diferenciables . ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D_{x}f}$ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Homeomorfismos y fibras locales

Supóngase que es una sobreyección abierta continua entre dos espacios de Hausdorff de segundo orden donde es un espacio de Baire y es un espacio normal . Si cada fibra de es un subespacio discreto de (lo cual es una condición necesaria para que sea un homeomorfismo local), entonces es un homeomorfismo local de valor - en un subconjunto abierto denso de Para aclarar la conclusión de este enunciado, sea el (único) mayor subconjunto abierto de tal que es un homeomorfismo local. ^{[nota 1]} Si cada fibra de es un subespacio discreto de entonces este conjunto abierto es necesariamente un subconjunto denso de En particular, si entonces una conclusión que puede ser falsa sin la suposición de que las fibras de son discretas (véase esta nota al pie ^{[nota 2]} para un ejemplo). Un corolario es que cada sobreyección abierta continua entre espacios de segundo orden completamente metrizables que tiene fibras discretas es "casi en todas partes" un homeomorfismo local (en el sentido topológico de que es un subconjunto abierto denso de su dominio). Por ejemplo, la función definida por el polinomio es una sobreyección abierta continua con fibras discretas, por lo que este resultado garantiza que el subconjunto abierto máximo es denso en con un esfuerzo adicional (usando el teorema de la función inversa , por ejemplo), se puede demostrar que lo que confirma que este conjunto es de hecho denso en Este ejemplo también muestra que es posible que sea un subconjunto denso propio del dominio de . Debido a que cada fibra de cada polinomio no constante es finita (y, por lo tanto, un subespacio discreto e incluso compacto), este ejemplo se generaliza a tales polinomios siempre que la función inducida por él sea una función abierta. ^{[nota 3]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{O}:O\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle O\neq \varnothing ;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle O_{f}=\mathbb {R} \setminus \{0\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Homeomorfismos locales y Hausdorffness

Existen homeomorfismos locales donde es un espacio de Hausdorff pero no lo es. Consideremos, por ejemplo, el espacio cociente donde la relación de equivalencia en la unión disjunta de dos copias de los reales identifica cada real negativo de la primera copia con el real negativo correspondiente de la segunda copia. Las dos copias de no están identificadas y no tienen ningún vecindario disjunto, por lo que no es Hausdorff. Se comprueba fácilmente que la función natural es un homeomorfismo local. La fibra tiene dos elementos si y un elemento si De manera similar, es posible construir un homeomorfismo local donde es Hausdorff y no es: elija la función natural de a con la misma relación de equivalencia que la anterior. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle y<0.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim }$ ${\displaystyle \sim }$

Propiedades

Una función es un homeomorfismo local si y solo si es continua , abierta y localmente inyectiva . En particular, todo homeomorfismo local es una función continua y abierta . Por lo tanto, un homeomorfismo local biyectivo es un homeomorfismo.

El que una función sea o no un homeomorfismo local depende de su codominio. La imagen de un homeomorfismo local es necesariamente un subconjunto abierto de su codominio y también será un homeomorfismo local (es decir, seguirá siendo un homeomorfismo local cuando se la considere como la función sobreyectiva sobre su imagen, donde tiene la topología del subespacio heredada de ). Sin embargo, en general es posible que sea un homeomorfismo local pero no sea un homeomorfismo local (como es el caso de la función definida por por ejemplo). Una función es un homomorfismo local si y solo si es un homeomorfismo local y es un subconjunto abierto de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=(x,0),}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Cada fibra de un homeomorfismo local es un subespacio discreto de su dominio ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

Un homeomorfismo local transfiere propiedades topológicas "locales" en ambas direcciones: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle X}$está conectado localmente si y sólo si es; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$está conectado localmente por rutas si y solo si es; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$es localmente compacto si y sólo si es; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$es primer contable si y sólo si es. ${\displaystyle f(X)}$

Como se señaló anteriormente, la propiedad de Hausdorff no es local en este sentido y no necesita ser preservada por homeomorfismos locales.

Los homeomorfismos locales con codominio se corresponden de forma natural biunívoca con los haces de conjuntos, siendo esta correspondencia una equivalencia de categorías . Además, toda función continua con codominio da lugar de forma natural a un homeomorfismo local con codominio definido de forma única. Todo esto se explica en detalle en el artículo sobre haces . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Generalizaciones y conceptos análogos

La idea de un homeomorfismo local puede formularse en contextos geométricos diferentes a los de los espacios topológicos. Para variedades diferenciables , obtenemos los difeomorfismos locales ; para esquemas , tenemos los morfismos formalmente étales y los morfismos étales ; y para topos , obtenemos los morfismos geométricos étales.

Véase también

• Difeomorfismo  – Isomorfismo de variedades diferenciables
• Homeomorfismo  : Aplicación que preserva todas las propiedades topológicas de un espacio dado
• Isomorfismo  – En matemáticas, homomorfismo invertible
• Invariancia del dominio  – Teorema en topología sobre subconjuntos homeomorfos del espacio euclidiano
• Difeomorfismo local
• Espacio Hausdorff local
• Variedad no Hausdorff  – generalización de variedadesPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Los supuestos de que es continuo y abierto implican que el conjunto es igual a la unión de todos los subconjuntos abiertos de tales que la restricción es una función inyectiva . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$
2. Consideremos la sobreyección abierta continua definida por El conjunto para esta función es el conjunto vacío; es decir, no existe ningún subconjunto abierto no vacío de para el cual la restricción sea una función inyectiva. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)=x.}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to \mathbb {R} }$
3. E incluso si la función polinomial no es una función abierta, entonces este teorema puede, no obstante, aplicarse (posiblemente varias veces) a restricciones de la función a subconjuntos apropiadamente elegidos del dominio (basándose en la consideración de los mínimos/máximos locales de la función).

Citas

1. Munkres, James R. (2000). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1.OCLC 18588129  .
• Munkres, James R. (2000). Topología (segunda edición). Upper Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9.OCLC 42683260  .
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, NY : Dover Publications . ISBN 978-0-486-43479-7.OCLC 115240  .