Geometría algebraica
En álgebra conmutativa y geometría algebraica , un morfismo se denomina formalmente étale si tiene una propiedad de elevación que es análoga a ser un difeomorfismo local .
Homomorfismos formalmente étale de anillos.
Sea A un anillo topológico y sea B una A -álgebra topológica . Entonces B es formalmente étale si para todas las A -álgebras discretas C , todos los ideales nilpotentes J de C , y todos los A - homomorfismos continuos u : B → C / J , existe una única función de A -álgebra continua v : B → C tal que u = pv , donde p : C → C / J es la proyección canónica. [1]
Formalmente étale es equivalente a formalmente liso más formalmente no ramificado . [2]
Morfismos formalmente étale de esquemas.
Como el haz de estructura de un esquema naturalmente lleva sólo la topología discreta, la noción de formalmente étale para esquemas es análoga a formalmente étale para la topología discreta para anillos. Es decir, un morfismo de esquemas f : X → Y es formalmente étale si para cada Y -esquema afín Z , cada haz nilpotente de ideales J en Z con i : Z 0 → Z sea la inmersión cerrada determinada por J , y cada Y -morfismo g : Z 0 → X , existe un Y -morfismo único s : Z → X tal que g = si . [3]
Es equivalente a dejar que Z sea cualquier esquema Y y que J sea un haz localmente nilpotente de ideales en Z. [4 ]
Propiedades
- Las inmersiones abiertas son formalmente étale. [5]
- La propiedad de ser formalmente étale se conserva en productos compuestos, de cambio de base y fibrosos . [6]
- Si f : X → Y y g : Y → Z son morfismos de esquemas, g está formalmente no ramificado y gf es formalmente étale, entonces f es formalmente étale. En particular, si g es formalmente étale, entonces f es formalmente étale si y sólo si gf lo es. [7]
- La propiedad de ser formalmente étale es local en la fuente y el destino. [8]
- La propiedad de ser formalmente étale se puede comprobar en tallos. Se puede demostrar que un morfismo de anillos f : A → B es formalmente étale si y solo si para cada primo Q de B , la función inducida A → B Q es formalmente étale. [9] En consecuencia, f es formalmente étale si y solo si para cada primo Q de B , la función A P → B Q es formalmente étale, donde P = f −1 ( Q ) .
Ejemplos
- Las localizaciones son formalmente étale.
- Las extensiones de campo finitas separables son formalmente étales. En términos más generales, cualquier A -álgebra B plana separable (conmutativa) es formalmente étal. [10]
Véase también
Notas
- ^ EGA 0IV, Definición 19.10.2.
- ^ EGA 0IV, Definición 19.10.2.
- ^ EGA IV4, Definición 17.1.1.
- ^ EGA IV4, Observaciones 17.1.2 (iv).
- ^ EGA IV4, proposición 17.1.3 (i).
- ^ EGA IV4, proposición 17.1.3 (ii)–(iv).
- ^ EGA IV4, proposición 17.1.4 y corolario 17.1.5.
- ^ EGA IV4, proposición 17.1.6.
- ^ Pregunta de mathoverflow.net
- ^ Ford (2017, Corolario 4.7.3)
Referencias
- Ford, Timothy J. (2017), Álgebras separables , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-3770-1, Sr. 3618889
- Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1964). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Première partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 20 . doi :10.1007/bf02684747. SEÑOR 0173675.
- Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967). "Éléments de géométrie algébrique: IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie". Publicaciones Mathématiques de l'IHÉS . 32 . doi :10.1007/bf02732123. SEÑOR 0238860.
