Morfismo suave

En geometría algebraica , se dice que un morfismo entre esquemas es suave si ${\displaystyle f:X\to S}$

• (i) es localmente de presentación finita
• (ii) es plana , y
• (iii) para cada punto geométrico la fibra es regular. ${\displaystyle {\overline {s}}\to S}$ ${\displaystyle X_{\overline {s}}=X\times _{S}{\overline {s}}}$

(iii) significa que cada fibra geométrica de f es una variedad no singular (si está separada). Por lo tanto, intuitivamente hablando, un morfismo suave da una familia plana de variedades no singulares.

Si S es el espectro de un campo algebraicamente cerrado y f es de tipo finito, entonces se recupera la definición de variedad no singular.

Una variedad singular se denomina alisable si se puede incluir en una familia plana de modo que las fibras cercanas sean todas lisas. A esta familia se la denomina alisado de la variedad.

Definiciones equivalentes

Existen muchas definiciones equivalentes de un morfismo suave. Sea localmente de presentación finita. Entonces, las siguientes son equivalentes. ${\displaystyle f:X\to S}$

1. f es suave.
2. f es formalmente suave (ver abajo).
3. f es plana y el haz de diferenciales relativos está localmente libre de rango igual a la dimensión relativa de . ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle X/S}$
4. Para cualquier , existe un entorno de x y un entorno de tal que y el ideal generado por los m -por- m menores de es B . ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} B}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} A}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle B=A[t_{1},\dots ,t_{n}]/(P_{1},\dots ,P_{m})}$ ${\displaystyle (\partial P_{i}/\partial t_{j})}$
5. Localmente, f se incluye en donde g es étale. ${\displaystyle X{\overset {g}{\to }}\mathbb {A} _{S}^{n}\to S}$

Un morfismo de tipo finito es étale si y sólo si es suave y cuasi-finito .

Un morfismo suave es estable bajo cambios de base y composición.

Un morfismo suave es universalmente acíclico localmente .

Ejemplos

Se supone que los morfismos suaves corresponden geométricamente a inmersiones suaves en geometría diferencial; es decir, son fibraciones suaves localmente triviales sobre algún espacio base (según el teorema de Ehresmann ).

Morfismo suave hasta un punto

Sea el morfismo de esquemas ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\text{Spec}}_{\mathbb {C} }\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f=y^{2}-x^{3}-x-1)}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

Es suave debido a la condición jacobiana: la matriz jacobiana

${\displaystyle [3x^{2}-1,y]}$

se desvanece en los puntos que tienen una intersección vacía con el polinomio, ya que ${\displaystyle (1/{\sqrt {3}},0),(-1/{\sqrt {3}},0)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f(1/{\sqrt {3}},0)&=1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}-{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}\\f(-1/{\sqrt {3}},0)&={\frac {1}{\sqrt {3}}}+{\frac {1}{3{\sqrt {3}}}}-1\end{aligned}}}$

que ambos son distintos de cero.

Fibraciones triviales

Dado un esquema suave el morfismo de proyección ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\times X\to X}$

Es suave.

Paquetes de vectores

Todo fibrado vectorial sobre un esquema es un morfismo suave. Por ejemplo, se puede demostrar que el fibrado vectorial asociado de sobre es el espacio proyectivo ponderado menos un punto ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle O(k)=\mathbb {P} (1,\ldots ,1,k)-\{[0:\cdots :0:1]\}\to \mathbb {P} ^{n}}$

envío

${\displaystyle [x_{0}:\cdots :x_{n}:x_{n+1}]\to [x_{0}:\cdots :x_{n}]}$

Obsérvese que los paquetes de suma directa se pueden construir utilizando el producto de fibra ${\displaystyle O(k)\oplus O(l)}$

${\displaystyle O(k)\oplus O(l)=O(k)\times _{X}O(l)}$

Extensiones de campo separables

Recuerde que una extensión de campo se llama separable si y solo si, dada una presentación. ${\displaystyle K\to L}$

${\displaystyle L={\frac {K[x]}{(f(x))}}}$

Tenemos que . Podemos reinterpretar esta definición en términos de diferenciales de Kähler de la siguiente manera: la extensión del campo es separable si y solo si ${\displaystyle gcd(f(x),f'(x))=1}$

${\displaystyle \Omega _{L/K}=0}$

Obsérvese que esto incluye todos los campos perfectos: campos finitos y campos de característica 0.

Ejemplos no convencionales

Variedades singulares

Si consideramos el álgebra subyacente para una variedad proyectiva , llamada cono afín de , entonces el punto en el origen es siempre singular. Por ejemplo, considere el cono afín de un pliegue quíntico dado por ${\displaystyle {\text{Spec}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle x_{0}^{5}+x_{1}^{5}+x_{2}^{5}+x_{3}^{5}+x_{4}^{5}}$

Entonces la matriz jacobiana está dada por

${\displaystyle {\begin{bmatrix}5x_{0}^{4}&5x_{1}^{4}&5x_{2}^{4}&5x_{3}^{4}&5x_{4}^{4}\end{bmatrix}}}$

que se anula en el origen, por lo que el cono es singular. Las hipersuperficies afines como estas son populares en la teoría de la singularidad debido a su álgebra relativamente simple pero a sus ricas estructuras subyacentes.

Otro ejemplo de variedad singular es el cono proyectivo de una variedad suave: dada una variedad suave, su cono proyectivo es la unión de todas las líneas en la intersección de . Por ejemplo, el cono proyectivo de los puntos ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n+1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

¿es el esquema?

${\displaystyle {\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [x,y,z]}{(x^{4}+y^{4})}}\right)}$

Si miramos el gráfico este es el esquema ${\displaystyle z\neq 0}$

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [X,Y]}{(X^{4}+Y^{4})}}\right)}$

y proyectarla hasta la línea afín , ésta es una familia de cuatro puntos que degeneran en el origen. La no singularidad de este esquema también se puede comprobar utilizando la condición jacobiana. ${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{1}}$

Familias en degeneración

Consideremos la familia plana

${\displaystyle {\text{Spec}}\left({\frac {\mathbb {C} [t,x,y]}{(xy-t)}}\right)\to \mathbb {A} _{t}^{1}}$

Entonces, todas las fibras son lisas, excepto el punto en el origen. Como la suavidad es estable ante cambios de base, esta familia no es lisa.

Extensiones de campo no separables

Por ejemplo, el campo no es separable, por lo que el morfismo asociado de los esquemas no es uniforme. Si observamos el polinomio mínimo de la extensión del campo, ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}(t^{p})\to \mathbb {F} _{p}(t)}$

${\displaystyle f(x)=x^{p}-t^{p}}$

entonces , por lo tanto los diferenciales de Kähler serán distintos de cero. ${\displaystyle df=0}$

Morfismo formalmente suave

Se puede definir la suavidad sin referencia a la geometría. Decimos que un S -esquema X es formalmente suave si para cualquier S -esquema afín T y un subesquema de T dado por un ideal nilpotente, es sobreyectivo donde escribimos . Entonces un morfismo localmente de presentación finita es suave si y solo si es formalmente suave. ${\displaystyle T_{0}}$ ${\displaystyle X(T)\to X(T_{0})}$ ${\displaystyle X(T)=\operatorname {Hom} _{S}(T,X)}$

En la definición de "formalmente suave", si reemplazamos sobreyectivo por "biyectivo" (resp. "inyectivo"), entonces obtenemos la definición de formalmente étale (resp. formalmente no ramificado ).

Cambio de base suave

Sea S un esquema y denote la imagen de la función de estructura . El teorema de cambio de base suave establece lo siguiente: sea un morfismo cuasicompacto , un morfismo suave y un haz de torsión en . Si para cada en , es inyectivo, entonces el morfismo de cambio de base es un isomorfismo. ${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$ ${\displaystyle S\to \operatorname {Spec} \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle g:S'\to S}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle X_{\text{et}}}$ ${\displaystyle 0\neq p}$ ${\displaystyle \operatorname {char} (S)}$ ${\displaystyle p:{\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle g^{*}(R^{i}f_{*}{\mathcal {F}})\to R^{i}f'_{*}(g'^{*}{\mathcal {F}})}$

Véase también

• álgebra suave
• incrustación regular
• Mapa formalmente liso

Referencias

• JS Milne (2012). "Conferencias sobre cohomología Étale"
• JS Milne. Étale cohomology , volumen 33 de Princeton Mathematical Series. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1980.