Invariancia de dominio

Teorema en topología sobre subconjuntos homeomorfos del espacio euclidiano

La invariancia del dominio es un teorema de topología sobre los subconjuntos homeomorfos del espacio euclidiano . Afirma: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Si es un subconjunto abierto de y es una función continua inyectiva , entonces es abierto en y es un homeomorfismo entre y . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V:=f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$

El teorema y su demostración se deben a LEJ Brouwer , publicado en 1912. ^[1] La demostración utiliza herramientas de la topología algebraica , en particular el teorema del punto fijo de Brouwer .

Notas

La conclusión del teorema puede formularse de manera equivalente como: " es una función abierta ". ${\displaystyle f}$

Normalmente, para comprobar que es un homeomorfismo, habría que verificar que tanto y como su función inversa son continuas; el teorema dice que si el dominio es un subconjunto abierto de y la imagen también está en entonces la continuidad de es automática. Además, el teorema dice que si dos subconjuntos y de son homeomorfos, y es abierto, entonces debe ser abierto también. (Obsérvese que es abierto como subconjunto de y no sólo en la topología del subespacio. La apertura de en la topología del subespacio es automática). Ambas afirmaciones no son en absoluto obvias y no son generalmente verdaderas si uno sale del espacio euclidiano. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle V}$

Un mapa que no es un homeomorfismo sobre su imagen: con ${\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right).}$

Es de importancia crucial que tanto el dominio como la imagen de estén contenidos en el espacio euclidiano de la misma dimensión . Consideremos, por ejemplo, la función definida por Esta función es inyectiva y continua, el dominio es un subconjunto abierto de , pero la imagen no es abierta en Un ejemplo más extremo es la función definida por porque aquí es inyectiva y continua pero ni siquiera produce un homeomorfismo sobre su imagen. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:(0,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(t)=(t,0).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$ ${\displaystyle g:(-1.1,1)\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle g(t)=\left(t^{2}-1,t^{3}-t\right)}$ ${\displaystyle g}$

El teorema tampoco es generalmente cierto en infinitas dimensiones. Consideremos, por ejemplo, el espacio L p de Banach de todas las sucesiones reales acotadas . Definamos como el desplazamiento Entonces es inyectivo y continuo, el dominio es abierto en , pero la imagen no lo es. ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle f:\ell ^{\infty }\to \ell ^{\infty }}$ ${\displaystyle f\left(x_{1},x_{2},\ldots \right)=\left(0,x_{1},x_{2},\ldots \right).}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

Consecuencias

Una consecuencia importante del teorema de invariancia del dominio es que no puede ser homeomorfo a si De hecho, ningún subconjunto abierto no vacío de puede ser homeomorfo a ningún subconjunto abierto de en este caso. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle m\neq n.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Generalizaciones

El teorema de invariancia del dominio se puede generalizar a variedades : si y son n -variedades topológicas sin límite y es una función continua que es localmente biunívoca (lo que significa que cada punto en tiene un vecindario tal que restringido a este vecindario es inyectivo), entonces es una función abierta (lo que significa que está abierta en siempre que sea un subconjunto abierto de ) y un homeomorfismo local . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f:M\to N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle M}$

También hay generalizaciones para ciertos tipos de mapas continuos de un espacio de Banach a sí mismo. ^[2]

Véase también

• Teorema de aplicación abierta para otras condiciones que garantizan que una aplicación continua dada sea abierta.

Notas

1. Brouwer LEJ Beweis der Invarianz des -dimensionalen Gebiets, Mathematische Annalen 71 (1912), páginas 305–315; ver también 72 (1912), páginas 55–56 ${\displaystyle n}$
2. Leray J. Topología de los espacios abstractos de M. Banach. CR Acad. Ciencia. París , 200 (1935) páginas 1083-1093

Referencias

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• Cartan, Henri (1945). "Métodos modernos en topología algébrique". Comentario. Matemáticas. Helv. (en francés). 18 : 1–15. doi :10.1007/BF02568096. SEÑOR  0013313. S2CID  124671921.
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• Hirsch, Morris W. (1988). Topología diferencial . Nueva York: Springer. ISBN 978-0-387-90148-0.(ver pág. 72-73 para la prueba de Hirsch que utiliza la no existencia de una retracción diferenciable)
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• Tao, Terence (2011). "Teoremas de punto fijo e invariancia de dominio de Brouwer y quinto problema de Hilbert". terrytao.wordpress.com . Consultado el 2 de febrero de 2022 .

Enlaces externos

• Mill, J. van (2001) [1994], "Invariancia de dominio", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press