Homeomorfismo local

Función matemática reversible cerca de cada punto.

En matemáticas , más específicamente en topología , un homeomorfismo local es una función entre espacios topológicos que, intuitivamente, preserva la estructura local (aunque no necesariamente global). Si es un homeomorfismo local, se dice que es un espacio étale . Los homeomorfismos locales se utilizan en el estudio de las gavillas . Ejemplos típicos de homeomorfismos locales son los mapas de cobertura . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Un espacio topológico es localmente homeomorfo a si cada punto de tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de Por ejemplo, una variedad de dimensión es localmente homeomorfa a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$

Si hay un homeomorfismo local de a entonces es localmente homeomorfo a pero lo contrario no siempre es cierto. Por ejemplo, la esfera bidimensional , al ser una variedad, es localmente homeomorfa con respecto al plano, pero no existe un homeomorfismo local. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.}$

Definicion formal

Una función entre dos espacios topológicos se llama homeomorfismo local ^[1] si cada punto tiene una vecindad abierta cuya imagen está abierta y la restricción es un homeomorfismo (donde las respectivas topologías subespaciales se usan una y otra vez ). ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to f(U)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle f(U)}$

Ejemplos y condiciones suficientes

Homeomorfismos locales versus homeomorfismos

Todo homeomorfismo es un homeomorfismo local. Pero un homeomorfismo local es un homeomorfismo si y sólo si es biyectivo . Un homeomorfismo local no tiene por qué ser un homeomorfismo. Por ejemplo, la función definida por (de modo que geométricamente, este mapa envuelve la línea real alrededor del círculo ) es un homeomorfismo local pero no un homeomorfismo. El mapa definido por el cual envuelve el círculo alrededor de sí mismo veces (es decir, tiene número de bobinado ), es un homeomorfismo local para todos los distintos de cero , pero es un homeomorfismo solo cuando es biyectivo (es decir, solo cuando o ). ${\displaystyle \mathbb {R} \to S^{1}}$ ${\displaystyle t\mapsto e^{it}}$ ${\displaystyle f:S^{1}\to S^{1}}$ ${\displaystyle f(z)=z^{n},}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle n=-1}$

Generalizando los dos ejemplos anteriores, cada mapa de cobertura es un homeomorfismo local; en particular, la cobertura universal de un espacio es un homeomorfismo local. En determinadas situaciones ocurre lo contrario. Por ejemplo: si hay un homeomorfismo local adecuado entre dos espacios de Hausdorff y si también es localmente compacto , entonces es un mapa de cobertura. ${\displaystyle p:C\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle p}$

Homeomorfismos locales y composición de funciones.

La composición de dos homeomorfismos locales es un homeomorfismo local; explícitamente, si y son homeomorfismos locales, entonces la composición también es un homeomorfismo local. La restricción de un homeomorfismo local a cualquier subconjunto abierto del dominio volverá a ser un homomorfismo local; explícitamente, si es un homeomorfismo local entonces su restricción a cualquier subconjunto abierto de también es un homeomorfismo local. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$

Si es continuo mientras que ambos y son homeomorfismos locales, entonces también es un homeomorfismo local. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle f}$

Mapas de inclusión

Si hay algún subespacio (donde, como es habitual, está equipado con la topología de subespacio inducida por ), entonces el mapa de inclusión es siempre una incrustación topológica . Pero es un homeomorfismo local si y sólo si está abierto en. El hecho de que el subconjunto esté abierto en es esencial para que el mapa de inclusión sea un homeomorfismo local porque el mapa de inclusión de un subconjunto no abierto de nunca produce un homeomorfismo local (ya que no ser un mapa abierto). ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

La restricción de una función a un subconjunto es igual a su composición con el mapa de inclusión explícitamente. Dado que la composición de dos homeomorfismos locales es un homeomorfismo local, si y son homomorfismos locales, entonces también lo es. Por lo tanto, las restricciones de los homeomorfismos locales a subconjuntos abiertos son homeomorfismos locales. . ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle i:U\to X;}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}=f\circ i.}$

Invariancia de dominio

La invariancia del dominio garantiza que if es un mapa inyectivo continuo de un subconjunto abierto de then está abierto en y es un homeomorfismo . En consecuencia, un mapa continuo de un subconjunto abierto será un homeomorfismo local si y sólo si es un mapa localmente inyectivo (lo que significa que cada punto tiene una vecindad tal que la restricción de a es inyectiva). ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f:U\to f(U)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle N}$

Homeomorfismos locales en el análisis.

En el análisis complejo se muestra que una función analítica compleja (donde hay un subconjunto abierto del plano complejo ) es un homeomorfismo local precisamente cuando la derivada es distinta de cero para todos. La función en un disco abierto alrededor no es un homeomorfismo local en cuando En ese caso se trata de un punto de “ ramificación ” (intuitivamente, ahí se unen las hojas). ${\displaystyle f:U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f^{\prime }(z)}$ ${\displaystyle z\in U.}$ ${\displaystyle f(x)=z^{n}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n\geq 2.}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle n}$

Usando el teorema de la función inversa se puede demostrar que una función continuamente diferenciable (donde es un subconjunto abierto de ) es un homeomorfismo local si la derivada es una aplicación lineal invertible (matriz cuadrada invertible) para cada (lo contrario es falso, como lo muestra el homeomorfismo local con ). Se puede formular una condición análoga para mapas entre variedades diferenciables . ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle D_{x}f}$ ${\displaystyle x\in U.}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x^{3}}$

Homeomorfismos locales y fibras.

Supongamos que es una sobreyección abierta continua entre dos espacios contables en segundos de Hausdorff donde es un espacio de Baire y es un espacio normal . Si cada fibra de es un subespacio discreto de (que es una condición necesaria para que sea un homeomorfismo local), entonces es un homeomorfismo local valorado en un subconjunto abierto denso de Para aclarar la conclusión de esta afirmación, sea el subconjunto abierto más grande (único) de tal que es un homeomorfismo local. ^{[nota 1]} Si cada fibra de es un subespacio discreto de entonces este conjunto abierto es necesariamente un subconjunto denso de En particular, si entonces una conclusión puede ser falsa sin el supuesto de que las fibras de son discretas (ver esta nota al pie ^{[nota 2 ]} para un ejemplo). Un corolario es que cada sobreyección abierta continua entre segundos espacios contables completamente metrizables que tiene fibras discretas es "casi en todas partes" un homeomorfismo local (en el sentido topológico, es un subconjunto abierto denso de su dominio). Por ejemplo, el mapa definido por el polinomio es una sobreyección abierta continua con fibras discretas, por lo que este resultado garantiza que el subconjunto abierto máximo es denso. Con un esfuerzo adicional (usando el teorema de la función inversa, por ejemplo), se puede demostrar que lo que confirma que este conjunto es de hecho denso en Este ejemplo también muestra que es posible que sea un subconjunto denso adecuado del dominio de '. Debido a que cada fibra de cada polinomio no constante es finita (y por lo tanto un subespacio discreto e incluso compacto), este ejemplo se generaliza a tales polinomios siempre que el mapeo inducido por él sea un mapeo abierto. ^{[nota 3]} ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{O}:O\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X\neq \varnothing }$ ${\displaystyle O\neq \varnothing ;}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to [0,\infty )}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ;}$ ${\displaystyle O_{f}=\mathbb {R} \setminus \{0\},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle O_{f}}$ ${\displaystyle f}$

Homeomorfismos locales y Hausdorffness.

Existen homeomorfismos locales donde hay un espacio de Hausdorff pero no lo es. Considere, por ejemplo, el espacio cociente donde la relación de equivalencia en la unión disjunta de dos copias de reales identifica cada real negativo de la primera copia con el real negativo correspondiente de la segunda copia. Las dos copias de no están identificadas y no tienen vecindarios separados, por lo que no es Hausdorff. Se comprueba fácilmente que el mapa natural es un homeomorfismo local. La fibra tiene dos elementos si y un elemento si De manera similar, es posible construir homeomorfismos locales donde es Hausdorff y no es: elija el mapa natural de a con la misma relación de equivalencia que arriba. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim ,}$ ${\displaystyle \sim }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$ ${\displaystyle y\geq 0}$ ${\displaystyle y<0.}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} }$ ${\displaystyle Y=\left(\mathbb {R} \sqcup \mathbb {R} \right)/\sim }$ ${\displaystyle \sim }$

Propiedades

Un mapa es un homeomorfismo local si y sólo si es continuo , abierto y localmente inyectivo . En particular, cada homeomorfismo local es un mapa continuo y abierto . Por tanto, un homeomorfismo local biyectivo es un homeomorfismo.

Si una función es o no un homeomorfismo local depende de su codominio. La imagen de un homeomorfismo local es necesariamente un subconjunto abierto de su codominio y también será un homeomorfismo local (es decir, seguirá siendo un homeomorfismo local cuando se considere como el mapa sobreyectivo sobre su imagen, de donde se ha heredado la topología subespacial) . de ). Sin embargo, en general es posible que sea un homeomorfismo local pero no sea un homeomorfismo local (como es el caso del mapa definido por, por ejemplo). Un mapa es un homomorfismo local si y sólo si es un homeomorfismo local y es un subconjunto abierto de ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(x)=(x,0),}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to f(X)}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle Y.}$

Cada fibra de un homeomorfismo local es un subespacio discreto de su dominio . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X.}$

Un homeomorfismo local transfiere propiedades topológicas "locales" en ambas direcciones: ${\displaystyle f:X\to Y}$

• ${\displaystyle X}$está conectado localmente si y sólo si lo está; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$está conectado localmente a una ruta si y sólo si lo está; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$es localmente compacto si y sólo si es; ${\displaystyle f(X)}$
• ${\displaystyle X}$es primero contable si y solo si es. ${\displaystyle f(X)}$

Como se señaló anteriormente, la propiedad de Hausdorff no es local en este sentido y no necesita ser preservada mediante homeomorfismos locales.

Los homeomorfismos locales con codominio se encuentran en una correspondencia natural uno a uno con los haces de conjuntos; esta correspondencia es, de hecho, una equivalencia de categorías . Además, cada mapa continuo con codominio da lugar a un homeomorfismo local con codominio definido de forma única de forma natural. Todo esto se explica detalladamente en el artículo sobre gavillas . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$

Generalizaciones y conceptos análogos.

La idea de un homeomorfismo local puede formularse en entornos geométricos diferentes al de los espacios topológicos. Para variedades diferenciables , obtenemos los difeomorfismos locales ; para esquemas , tenemos los morfismos formalmente étale y los morfismos étale ; y para toposes , obtenemos los morfismos geométricos étale.

Ver también

• Diffeomorfismo  - Isomorfismo de variedades diferenciables
• Homeomorfismo  : mapeo que preserva todas las propiedades topológicas de un espacio determinado.
• Isomorfismo  : en matemáticas, homomorfismo invertible
• Invariancia de dominio  : teorema de topología sobre subconjuntos homeomórficos del espacio euclidiano
• Difomorfismo local
• Espacio localmente Hausdorff
• Variedad no Hausdorff  - generalización de variedadesPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Los supuestos de que es continuo y abierto implican que el conjunto es igual a la unión de todos los subconjuntos abiertos de tal manera que la restricción es un mapa inyectivo . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to Y}$
2. Considere la sobreyección abierta continua definida por El conjunto de este mapa es el conjunto vacío; es decir, no existe ningún subconjunto abierto no vacío para el cual la restricción sea un mapa inyectivo. ${\displaystyle f:\mathbb {R} \times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x,y)=x.}$ ${\displaystyle O=O_{f}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f{\big \vert }_{U}:U\to \mathbb {R} }$
3. E incluso si la función polinómica no es un mapa abierto, entonces este teorema aún puede aplicarse (posiblemente varias veces) a las restricciones de la función a subconjuntos del dominio elegidos adecuadamente (según la consideración de los mínimos/máximos locales del mapa) .

Citas

1. Munkres, James R. (2000). Topología (2ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

Referencias

• Bourbaki, Nicolás (1989) [1966]. Topología general: capítulos 1 a 4 [ Topologie Générale ]. Elementos matemáticos . Berlín Nueva York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
• Munkres, James R. (2000). Topología (Segunda ed.). Upper Saddle River, Nueva Jersey : Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC  42683260.
• Willard, Stephen (2004) [1970]. Topología general. Mineola, Nueva York : Publicaciones de Dover . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240.