Difeomorfismo local

En matemáticas , más específicamente en topología diferencial , un difeomorfismo local es intuitivamente una función entre variedades suaves que preserva la estructura diferenciable local . La definición formal de un difeomorfismo local se da a continuación.

Definición formal

Sean y variedades diferenciables . Una función es un difeomorfismo local si, para cada punto , existe un conjunto abierto que contiene a tales que la imagen es abierta en y es un difeomorfismo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y}$ $${\displaystyle f\vert _{U}:U\to f(U)}$$

Un difeomorfismo local es un caso especial de inmersión . En este caso, para cada , existe un conjunto abierto que contiene de manera que la imagen es una subvariedad incrustada , y es un difeomorfismo. Aquí y tienen la misma dimensión, que puede ser menor que la dimensión de . ^[1] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle f|_{U}:U\to f(U)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y}$

Caracterizaciones

Un mapa es un difeomorfismo local si y sólo si es una inmersión suave (incrustación local suave) y un mapa abierto .

El teorema de la función inversa implica que una función suave es un difeomorfismo local si y solo si la derivada es un isomorfismo lineal para todos los puntos . Esto implica que y tienen la misma dimensión. ^[2] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Df_{x}:T_{x}X\to T_{f(x)}Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

De ello se deduce que una función entre dos variedades de igual dimensión ( ) es un difeomorfismo local si y solo si es una inmersión suave (incrustación local suave), o equivalentemente, si y solo si es una inmersión suave . Esto se debe a que, para cualquier , tanto y tienen la misma dimensión, por lo que es un isomorfismo lineal si y solo si es inyectivo, o equivalentemente, si y solo si es sobreyectivo. ^[3] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \operatorname {dim} X=\operatorname {dim} Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle T_{x}X}$ ${\displaystyle T_{f(x)}Y}$ ${\displaystyle Df_{x}}$

He aquí un argumento alternativo para el caso de una inmersión: toda inmersión suave es una función inyectiva local , mientras que la invariancia del dominio garantiza que cualquier función inyectiva continua entre variedades de dimensiones iguales es necesariamente una función abierta.

Discusión

Todas las variedades de la misma dimensión son "localmente difeomórficas", en el siguiente sentido: si y tienen la misma dimensión, y y , entonces existen vecindades abiertas de y de y un difeomorfismo . Sin embargo, esta función no necesita extenderse a una función suave definida en todos los , y mucho menos extenderse a un difeomorfismo local. Por lo tanto, la existencia de un difeomorfismo local es una condición más fuerte que "ser localmente difeomófico". De hecho, aunque los difeomorfismos definidos localmente preservan la estructura diferenciable localmente, uno debe ser capaz de "remendar" estos difeomorfismos (locales) para asegurar que el dominio sea la variedad suave completa. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f:U\to V}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$

Por ejemplo, se pueden imponer dos estructuras diferenciables diferentes que cada una de ellas forme una variedad diferenciable, pero ambas estructuras no son localmente difeomorfas (ver Exótica ). ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

Como otro ejemplo, no puede haber difeomorfismo local de la 2-esfera al 2-espacio euclidiano , aunque de hecho tienen la misma estructura diferenciable local. Esto se debe a que todos los difeomorfismos locales son continuos , la imagen continua de un espacio compacto es compacta y la 2-esfera es compacta mientras que el 2-espacio euclidiano no lo es.

Propiedades

Si existe un difeomorfismo local entre dos variedades, entonces sus dimensiones deben ser iguales. Todo difeomorfismo local es también un homeomorfismo local y, por lo tanto, una función abierta localmente inyectiva . Un difeomorfismo local tiene un rango constante de ${\displaystyle n.}$

Ejemplos

• Un difeomorfismo es un difeomorfismo local biyectivo .
• Un mapa de cobertura suave es un difeomorfismo local tal que cada punto en el objetivo tiene un vecindario que está cubierto uniformemente por el mapa.

Difeomorfismos de flujo local

Véase también

• Difeomorfismo  – Isomorfismo de variedades diferenciables
• Homeomorfismo  : Aplicación que preserva todas las propiedades topológicas de un espacio dado
• Invariancia del dominio  – Teorema en topología sobre subconjuntos homeomorfos del espacio euclidiano
• Gran difeomorfismo  – Clase de difeomorfismo
• Homeomorfismo local  – Función matemática reversible cerca de cada punto
• Simetrías del espacio-tiempo  : características del espacio-tiempo que representan simetríasPages displaying wikidata descriptions as a fallback

Notas

1. Lee, Introducción a las variedades suaves , Proposición 5.22
2. Lee, Introducción a las variedades suaves , Proposición 4.8
3. Axler, Álgebra lineal bien hecha , Teorema 3.21

Referencias

• Michor, Peter W. (2008), Temas de geometría diferencial , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 93, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2003-2, Sr.  2428390.
• Lee, John M. (2013), Introducción a las variedades suaves , Graduate Texts in Mathematics, vol. 218 (segunda ed.), Nueva York, NY.: Springer, ISBN 978-1-4419-9981-8, Sr.  2954043
• Axler, Sheldon (2024), Álgebra lineal bien hecha , Textos de pregrado en matemáticas (cuarta edición), Springer, Cham, doi : 10.1007/978-3-031-41026-0 , ISBN 978-3-031-41026-0, Sr.  4696768