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Elementos matemáticos

Éléments de mathématique (inglés: Elements of Mathematics ) es una serie de libros de matemáticas escritos por el colectivo francés seudónimo Nicolas Bourbaki . Iniciada en 1939, la serie se ha publicado en varios volúmenes y continúa en progreso. La serie se destaca como un tratamiento formal, autónomo y a gran escala de las matemáticas. [1] [2]

Los miembros del grupo Bourbaki originalmente concibieron la obra como un libro de texto sobre análisis , con el título provisional Traité d'analyse ( Tratado sobre el análisis ). Mientras planificaban la estructura del trabajo, se volvieron más ambiciosos, ampliando su alcance para cubrir varias ramas de las matemáticas modernas. Una vez que se amplió el plan de trabajo para tratar otros campos en profundidad, se adoptó el título Éléments de mathématique . Los temas tratados en la serie incluyen teoría de conjuntos , álgebra abstracta , topología , análisis, grupos de Lie y álgebras de Lie .

El inusual singular "mathématique" (matemático) del título es deliberado y pretende transmitir la creencia de los autores en la unidad de las matemáticas. [3] [4] Un volumen complementario, Éléments d'histoire des mathématiques ( Elementos de la Historia de las Matemáticas ), recopila y reproduce varias de las notas históricas que aparecieron anteriormente en la obra.

Historia

A finales de 1934, un grupo de matemáticos, entre ellos André Weil , resolvió escribir colectivamente un libro de texto sobre análisis. Pensaron que su trabajo sería un reemplazo moderno de textos obsoletos, incluido uno de Édouard Goursat , y también para llenar un vacío en el material educativo causado por la muerte de una generación de estudiantes de matemáticas en la Primera Guerra Mundial . El grupo adoptó el seudónimo colectivo Nicolas Bourbaki, en honor al general francés Charles-Denis Bourbaki . A finales de la década de 1930 y principios de la de 1940, el grupo Bourbaki amplió el plan de su trabajo más allá del análisis y comenzó a publicar textos bajo el título Éléments de mathématique . [5]

Los volúmenes de los Éléments han aparecido periódicamente desde la publicación del primer Fascicule ("Entrega") en 1939 por Éditions Hermann , y varios se publicaron durante las décadas de 1950 y 1960, el período más productivo y de mayor influencia de Bourbaki. [6] A veces han pasado varios años antes de la publicación de un nuevo volumen, y varios factores han contribuido a un ritmo lento de publicación. El estilo de trabajo del grupo es lento y riguroso, y un producto final no se considera aceptable a menos que sea aprobado por unanimidad por el grupo. [7] Además, la Segunda Guerra Mundial interrumpió las actividades de Bourbaki durante sus primeros años. En la década de 1970 surgió una disputa legal con Hermann, el editor original del grupo, sobre derechos de autor y pagos de regalías. El grupo Bourbaki ganó la demanda involucrada, conservando los derechos de autor sobre el trabajo escrito bajo el seudónimo, pero a un precio: la batalla legal había dominado la atención del grupo durante la década de 1970, impidiéndoles realizar un trabajo matemático productivo bajo el nombre Bourbaki. [8] [9] Tras el proceso y durante la década de 1980, se reanudó la publicación de nuevos volúmenes a través de Éditions Masson . Desde la década de 1980 hasta la de 2000, Bourbaki publicó con muy poca frecuencia, por lo que en 1998 Le Monde declaró al colectivo "muerto". [10] Sin embargo, en 2012 Bourbaki reanudó la publicación de los Éléments con una edición revisada y ampliada del octavo capítulo de Álgebra , el primero de nuevos libros sobre topología algebraica (que cubre también material que originalmente se había planeado como el undécimo capítulo del grupo). libro sobre topología general ) [11] y los dos volúmenes del libro significativamente ampliado sobre teoría espectral. Además, se dice que se están preparando dos libros completamente nuevos (sobre teoría de categorías y formas modulares ). [12] [13]

Springer Verlag se convirtió en el editor actual de Bourbaki durante el siglo XXI, reimprimiendo los Éléments y publicando nuevos volúmenes. Algunas de las primeras versiones de los Éléments se pueden ver en un archivo en línea, [14] y la historiadora matemática Liliane Beaulieu ha documentado la secuencia de publicación. [15]

Los Éléments han tenido una historia de publicaciones compleja. Desde la década de 1940 hasta la de 1960, Bourbaki publicó los Éléments en forma de folleto como pequeñas entregas de capítulos individuales, conocidos en francés como fascículos . [15] A pesar de haberse decidido por una secuencia lógica para la obra (ver más abajo), Bourbaki no publicó los Éléments en el orden de su estructura lógica. [3] Más bien, el grupo planeó el arco del trabajo a grandes rasgos y publicó capítulos dispares dondequiera que pudieran ponerse de acuerdo sobre un producto final, en el entendimiento de que (lógicamente) los capítulos posteriores publicados (cronológicamente) primero tendrían que basarse en última instancia en la publicación posterior de capítulos lógicamente anteriores. La primera entrega de los Éléments que se publicó fue el Resumen de resultados de la teoría de conjuntos en 1939; El primer capítulo adecuado de contenido sobre teoría de conjuntos, con pruebas y teoremas, no apareció hasta 1954. Independientemente de la estructura lógica de la obra, el editor Hermann asignó numeraciones cronológicas a los primeros fascículos como referencia histórica. [15] Poco a poco, los pequeños fascículos fueron recopilados y reimpresos en volúmenes más grandes, formando la base de la edición moderna de la obra.

La gran mayoría de los Éléments ha sido traducida a una edición en inglés, aunque esta traducción está incompleta. Actualmente la edición francesa completa de la obra consta de 12 libros impresos en 29 volúmenes, con 73 capítulos. La edición en inglés reproduce completamente siete libros y reproduce parcialmente dos, y tres no están disponibles; Consta de 14 volúmenes y reproduce 58 de los 73 capítulos del original. [16] [17] [18] [un]

Estructura

Éléments de mathématique se divide en libros , volúmenes y capítulos . Un libro hace referencia a un área amplia de investigación o rama de las matemáticas ( Álgebra , Integración ); un libro determinado a veces se publica en varios volúmenes (libros físicos) o en un solo volumen. La obra se subdivide además en capítulos y algunos volúmenes constan de un solo capítulo.

Como es típico en los libros de texto de matemáticas, los capítulos de Éléments presentan definiciones, notación matemática, pruebas de teoremas y ejercicios, formando el contenido matemático central del trabajo. Los capítulos se complementan con notas históricas y resúmenes de resultados. Los primeros suelen aparecer después de un capítulo determinado para contextualizar el desarrollo de sus temas, y los segundos se utilizan ocasionalmente como secciones en las que se recogen y exponen los principales resultados de un libro sin pruebas. Eléments d'histoire des mathématiques es un volumen recopilatorio de varias de las secciones de notas históricas publicadas previamente en los Éléments propiamente dichos, a través del libro sobre grupos de Lie y álgebras de Lie .

Cuando los fundadores de Bourbaki planearon originalmente el Tratado de análisis , concibieron una sección introductoria y fundamental del texto, que describiría todos los conceptos previos desde cero. Esta área propuesta del texto se denominó "Paquete abstracto" (Paquet Abstrait). Durante las primeras etapas de planificación, los fundadores ampliaron enormemente el alcance del paquete de resúmenes, con el resultado de que requeriría varios volúmenes para su expresión en lugar de una sección o capítulo en un solo volumen. Esta parte de los Éléments se desarrolló gradualmente como sus primeros tres libros, que tratan sobre teoría de conjuntos, álgebra abstracta y topología general. [5] [19]

Hoy, los Éléments se dividen en dos partes. Bourbaki estructuró la primera parte de la obra en seis libros numerados secuencialmente: I. Teoría de Conjuntos , II. Álgebra , III. Topología General , IV. Funciones de una Variable Real , V. Espacios vectoriales topológicos , y VI. Integración . Los primeros seis libros reciben el subtítulo unificador Les Structures fondamentales de l'analyse ( Estructuras fundamentales del análisis ), [15] [20] cumpliendo la intención original de Bourbaki de escribir un tratado riguroso sobre análisis, junto con una presentación exhaustiva de la teoría de conjuntos. Álgebra y topología general.

A lo largo de las Estructuras Fundamentales de Análisis , cualquier afirmación o prueba presentada dentro de un capítulo determinado asume como dados los resultados establecidos en capítulos anteriores, o previamente en el mismo capítulo. En detalle, la estructura lógica dentro de los primeros seis libros es la siguiente, y cada sección toma como dado todo el material anterior:

Así, los seis libros también están "ordenados lógicamente", con la salvedad de que parte del material presentado en los últimos capítulos de Álgebra , el segundo libro, invoca resultados de los primeros capítulos de Topología general , el tercer libro. [C]

Siguiendo las Estructuras fundamentales de análisis , la segunda parte de los Éléments consta de libros que tratan temas de investigación más modernos: grupos de Lie y álgebras de Lie , álgebra conmutativa , teoría espectral , variedades diferenciales y analíticas y topología algebraica . Mientras que los primeros seis libros de los Éléments siguieron una estructura lógica secuencial estricta, cada libro de la segunda parte depende de los resultados establecidos en los primeros seis libros, pero no de los de los otros libros de la segunda parte. [3] La segunda parte de la obra también carece de un subtítulo unificador comparable a las Estructuras fundamentales de análisis .

Volúmenes

Los Éléments se publican en volúmenes en francés e inglés, que se detallan a continuación.

Ver también

Notas

  1. ↑ En ambos casos, los recuentos de libros y volúmenes de cada edición incluyen la recopilación histórica Elementos de la Historia de las Matemáticas . Sin embargo, el recuento de capítulos se refiere a los capítulos de contenido matemático en los Éléments propiamente dichos, excluyendo secciones (o capítulos) de notas históricas reproducidas en Elementos de la Historia de las Matemáticas .
  2. ^ Esta estructura lógica precisa se indica en la portada "Para el lector" en una minoría de los volúmenes en inglés. Véanse las págs. v-vi en cualquiera de los cinco volúmenes siguientes: Álgebra II , Funciones de una variable real , Espacios vectoriales topológicos , Integración I e Integración II . Consulte la siguiente tabla para obtener información bibliográfica detallada de cada volumen.
  3. ↑ Un ejemplo de este "orden inverso" entre los primeros capítulos fundamentales de los Éléments es el siguiente. En el cuarto capítulo de Álgebra , un objeto denotado se describe en términos de sus propiedades algebraicas, y se cita una definición dada en el tercer capítulo de (el libro posterior) Topología general para establecer que el objeto también es un anillo topológico . [21]
  4. ^ El Resumen de Resultados era una sección que recogía los principales resultados de la Teoría de Conjuntos , exponiéndolos sin pruebas. Aunque fue el primer artículo publicado en los Éléments , no cuenta para sus capítulos.
  5. ^ Los colectores diferenciales y analíticos aparecieron por primera vez como dos volúmenes de resúmenes de resultados, que luego se compilaron en un solo volumen. No se han publicado capítulos adecuados basados ​​en pruebas asociados con el tema del libro.
  6. ^ Elementos de la Historia de las Matemáticas es un volumen recopilatorio de varias de las secciones de notas históricas publicadas anteriormente en Éléments propiamente dichas. Aunque el volumen está organizado internamente con 26 capítulos, su contenido histórico reproducido no cuenta para los capítulos de contenido matemático dentro de los Éléments .

Referencias

  1. ^ Mashaal, Maurice (2006). Bourbaki: una sociedad secreta de matemáticos . Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 978-0821839676.
  2. ^ Aczel, Amir D. (2006). El artista y el matemático: la historia de Nicolas Bourbaki, el genio matemático que nunca existió . Prensa de boca de trueno. ISBN 978-1560259312.
  3. ^ abc Mashaal, pag. 55.
  4. ^ Aczel, págs. 99-100.
  5. ^ ab Mashaal, pág. 11.
  6. ^ Aczel, pág. 117.
  7. ^ Aczel, pág. 92.
  8. ^ Aczel, págs. 205-206.
  9. ^ Mashaal, págs. 53–54.
  10. ^ Mashal, pág. 146.
  11. ^ Bourbaki 2016, pag. xiv.
  12. ^ Bourbaki 2019, pag. II.299.
  13. ^ Bourbaki 2023b, pag. V.416.
  14. ^ "Archivos de la Asociación de Colaboradores de Nicolas Bourbaki".
  15. ^ abcd "Éléments de Mathématique". Archivos Bourbaki .
  16. ^ Ouvrages de N. Bourbaki en el sitio de Bourbaki
  17. ^ Serie Elementos de Mathématique en Springer
  18. ^ Serie Elementos de matemáticas en Springer
  19. ^ Aczel, pág. 86.
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