grupo de mentiras

Grupo que también es una variedad diferenciable con operaciones de grupo que son fluidas.

En matemáticas , un grupo de Lie (pronunciado / l iː / LEE ) es un grupo que también es una variedad diferenciable , de modo que la multiplicación de grupos y la toma de inversas son diferenciables.

Una variedad es un espacio que localmente se parece al espacio euclidiano , mientras que los grupos definen el concepto abstracto de una operación binaria junto con las propiedades adicionales que debe tener para ser considerada como una "transformación" en el sentido abstracto, por ejemplo, la multiplicación y la toma de inversos (división), o equivalentemente, el concepto de suma y obtención de inversos (resta). Combinando estas dos ideas, se obtiene un grupo continuo donde los puntos de multiplicación y sus inversas son continuos. Si la multiplicación y la toma de inversas también son suaves (diferenciables), se obtiene un grupo de Lie.

Los grupos de mentira proporcionan un modelo natural para el concepto de simetría continua , un ejemplo célebre del cual es el grupo circular . Girar un círculo es un ejemplo de simetría continua. Para cualquier rotación del círculo, existe la misma simetría, ^[1] y la concatenación de tales rotaciones las convierte en el grupo del círculo, un ejemplo arquetípico de un grupo de Lie. Los grupos de mentiras se utilizan ampliamente en muchas partes de las matemáticas y la física modernas .

Los grupos de mentiras se encontraron por primera vez estudiando los subgrupos de matrices contenidos en o , los grupos de matrices invertibles sobre o . Estos ahora se denominan grupos clásicos , ya que el concepto se ha extendido mucho más allá de estos orígenes. Los grupos de Lie llevan el nombre del matemático noruego Sophus Lie (1842-1899), quien sentó las bases de la teoría de los grupos de transformación continua . La motivación original de Lie para introducir grupos de Lie fue modelar las simetrías continuas de ecuaciones diferenciales , de forma muy similar a como se utilizan los grupos finitos en la teoría de Galois para modelar las simetrías discretas de ecuaciones algebraicas . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Historia

Según la fuente más autorizada sobre la historia temprana de los grupos de Lie, ^{[2] el propio} Sophus Lie consideró el invierno de 1873-1874 como la fecha de nacimiento de su teoría de los grupos continuos. Hawkins, sin embargo, sugiere que fue "la prodigiosa actividad de investigación de Lie durante el período de cuatro años comprendido entre el otoño de 1869 y el otoño de 1873" lo que condujo a la creación de la teoría. ^[2] Algunas de las primeras ideas de Lie se desarrollaron en estrecha colaboración con Felix Klein . Lie se reunió con Klein todos los días desde octubre de 1869 hasta 1872: en Berlín desde finales de octubre de 1869 hasta finales de febrero de 1870, y en París, Göttingen y Erlangen en los dos años siguientes. ^[3] Lie afirmó que todos los resultados principales se obtuvieron en 1884. Pero durante la década de 1870 todos sus artículos (excepto la primera nota) se publicaron en revistas noruegas, lo que impidió el reconocimiento del trabajo en el resto de Europa. ^[4] En 1884 un joven matemático alemán, Friedrich Engel , vino a trabajar con Lie en un tratado sistemático para exponer su teoría de los grupos continuos. De este esfuerzo resultó la Theorie der Transformationsgruppen en tres volúmenes , publicada en 1888, 1890 y 1893. El término groupes de Lie apareció por primera vez en francés en 1893 en la tesis del alumno de Lie, Arthur Tresse. ^[5]

Las ideas de Lie no estaban aisladas del resto de las matemáticas. De hecho, su interés por la geometría de las ecuaciones diferenciales estuvo motivado primero por los trabajos de Carl Gustav Jacobi , sobre la teoría de las ecuaciones diferenciales parciales de primer orden y sobre las ecuaciones de la mecánica clásica . Gran parte del trabajo de Jacobi se publicó póstumamente en la década de 1860, generando un enorme interés en Francia y Alemania. ^[6] La idea fija de Lie era desarrollar una teoría de las simetrías de las ecuaciones diferenciales que lograra para ellas lo que Évariste Galois había hecho para las ecuaciones algebraicas: es decir, clasificarlas en términos de teoría de grupos. Lie y otros matemáticos demostraron que las ecuaciones más importantes para funciones especiales y polinomios ortogonales tienden a surgir de simetrías teóricas de grupos. En los primeros trabajos de Lie, la idea era construir una teoría de grupos continuos , para complementar la teoría de grupos discretos que se había desarrollado en la teoría de las formas modulares , en manos de Felix Klein y Henri Poincaré . La aplicación inicial que Lie tenía en mente era la teoría de ecuaciones diferenciales . Sobre el modelo de la teoría de Galois y las ecuaciones polinómicas , la concepción impulsora era la de una teoría capaz de unificar, mediante el estudio de la simetría , todo el área de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Sin embargo, la esperanza de que la teoría de Lie unificara todo el campo de las ecuaciones diferenciales ordinarias no se cumplió. Se siguen estudiando los métodos de simetría para las EDO, pero no dominan el tema. Existe una teoría diferencial de Galois , pero fue desarrollada por otros, como Picard y Vessiot, y proporciona una teoría de cuadraturas , las integrales indefinidas necesarias para expresar soluciones.

Un impulso adicional para considerar grupos continuos provino de las ideas de Bernhard Riemann sobre los fundamentos de la geometría y su desarrollo posterior en manos de Klein. Así, Lie combinó tres temas principales de las matemáticas del siglo XIX al crear su nueva teoría:

• La idea de simetría, ejemplificada por Galois a través de la noción algebraica de grupo ;
• Teoría geométrica y soluciones explícitas de ecuaciones diferenciales de mecánica, elaboradas por Poisson y Jacobi;
• La nueva comprensión de la geometría que surgió en las obras de Plücker , Möbius , Grassmann y otros, y culminó en la visión revolucionaria de Riemann sobre el tema.

Aunque hoy en día se reconoce legítimamente a Sophus Lie como el creador de la teoría de los grupos continuos, Wilhelm Killing dio un paso importante en el desarrollo de su teoría estructural, que tendría una profunda influencia en el desarrollo posterior de las matemáticas, quien en 1888 publicó el primer artículo de una serie titulada Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen ( La composición de grupos de transformación finitos continuos ). ^[7] El trabajo de Killing, posteriormente refinado y generalizado por Élie Cartan , condujo a la clasificación de álgebras de Lie semisimples , la teoría de los espacios simétricos de Cartan y la descripción de Hermann Weyl de representaciones de grupos de Lie compactos y semisimples utilizando pesos más altos .

En 1900 , David Hilbert desafió a los teóricos de la mentira con su Quinto Problema presentado en el Congreso Internacional de Matemáticos en París.

Weyl hizo realidad el período inicial del desarrollo de la teoría de los grupos de Lie, ya que no sólo clasificó representaciones irreducibles de grupos de Lie semisimples y relacionó la teoría de grupos con la mecánica cuántica, sino que también puso la propia teoría de Lie sobre una base más firme al enunciando claramente la distinción entre los grupos infinitesimales de Lie (es decir, álgebras de Lie) y los grupos de Lie propiamente dichos, y comenzó investigaciones de topología de los grupos de Lie. ^[8] La teoría de los grupos de Lie fue reelaborada sistemáticamente en lenguaje matemático moderno en una monografía de Claude Chevalley .

Descripción general

El conjunto de todos los números complejos con valor absoluto 1 (correspondientes a puntos en el círculo de centro 0 y radio 1 en el plano complejo ) es un grupo de Lie bajo multiplicación compleja: el grupo de círculos .

Los grupos de mentira son variedades diferenciables suaves y como tales pueden estudiarse mediante cálculo diferencial , en contraste con el caso de grupos topológicos más generales . Una de las ideas clave de la teoría de los grupos de Lie es sustituir el objeto global , el grupo, por su versión local o linealizada, que el propio Lie llamó su "grupo infinitesimal" y que desde entonces se conoce como su álgebra de Lie .

Los grupos de mentiras juegan un papel enorme en la geometría moderna , en varios niveles diferentes. Felix Klein argumentó en su programa de Erlangen que se pueden considerar varias "geometrías" especificando un grupo de transformación apropiado que deje invariantes ciertas propiedades geométricas . Así, la geometría euclidiana corresponde a la elección del grupo E(3) de transformaciones del espacio euclidiano que preservan la distancia , la geometría conforme corresponde a ampliar el grupo al grupo conforme , mientras que en la geometría proyectiva uno está interesado en las propiedades invariantes bajo el proyectivo . grupo . Esta idea condujo más tarde a la noción de una estructura G , donde G es un grupo de Lie de simetrías "locales" de una variedad. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Los grupos de Lie (y sus álgebras de Lie asociadas) desempeñan un papel importante en la física moderna, y el grupo de Lie suele desempeñar el papel de simetría de un sistema físico. Aquí, las representaciones del grupo de Lie (o de su álgebra de Lie ) son especialmente importantes. La teoría de la representación se utiliza ampliamente en la física de partículas . Los grupos cuyas representaciones son de particular importancia incluyen el grupo de rotación SO(3) (o su doble cobertura SU(2) ), el grupo unitario especial SU(3) y el grupo de Poincaré .

A nivel "global", siempre que un grupo de Lie actúa sobre un objeto geométrico, como un riemanniano o una variedad simpléctica , esta acción proporciona una medida de rigidez y produce una rica estructura algebraica. La presencia de simetrías continuas expresadas a través de la acción de un grupo de Lie en una variedad impone fuertes restricciones a su geometría y facilita el análisis de la variedad. Las acciones lineales de los grupos de Lie son especialmente importantes y se estudian en la teoría de la representación .

En las décadas de 1940 y 1950, Ellis Kolchin , Armand Borel y Claude Chevalley se dieron cuenta de que muchos resultados fundamentales relacionados con los grupos de Lie pueden desarrollarse completamente algebraicamente, dando lugar a la teoría de los grupos algebraicos definidos sobre un campo arbitrario . Esta idea abrió nuevas posibilidades en álgebra pura, al proporcionar una construcción uniforme para la mayoría de los grupos simples finitos , así como en geometría algebraica . La teoría de las formas automórficas , una rama importante de la teoría de números moderna , se ocupa ampliamente de los análogos de los grupos de Lie sobre los anillos de Adele ; Los grupos p -ádicos de Lie juegan un papel importante, a través de sus conexiones con las representaciones de Galois en la teoría de números.

Definiciones y ejemplos

Un grupo de Lie real es un grupo que también es una variedad suave real de dimensión finita , en la que las operaciones grupales de multiplicación e inversión son aplicaciones suaves . Suavidad de la multiplicación de grupos.

${\displaystyle \mu :G\times G\to G\quad \mu (x,y)=xy}$

significa que μ es un mapeo suave de la variedad de productos G × G en G. Los dos requisitos se pueden combinar con el único requisito de que el mapeo

${\displaystyle (x,y)\mapsto x^{-1}y}$

ser un mapeo suave del colector de producto en G .

Primeros ejemplos

• Las matrices invertibles reales de 2 × 2 forman un grupo bajo la multiplicación, denotado por GL(2, R ) o por GL ₂ ( R ):

${\displaystyle \operatorname {GL} (2,\mathbf {R} )=\left\{A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}:\,\det A=ad-bc\neq 0\right\}.}$

Este es un grupo de Lie real no compacto de cuatro dimensiones ; es un subconjunto abierto de . Este grupo está desconectado ; tiene dos componentes conectados correspondientes a los valores positivos y negativos del determinante . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$

• Las matrices de rotación forman un subgrupo de GL(2, R ) , denotado por SO(2, R ) . Es un grupo de Lie por derecho propio: específicamente, un grupo de Lie conectado compacto unidimensional que es difeomorfo al círculo . Utilizando el ángulo de rotación como parámetro, este grupo se puede parametrizar de la siguiente manera: ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )=\left\{{\begin{pmatrix}\cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \varphi &\cos \varphi \end{pmatrix}}:\,\varphi \in \mathbf {R} /2\pi \mathbf {Z} \right\}.}$

La suma de los ángulos corresponde a la multiplicación de los elementos de SO(2, R ) , y la toma del ángulo opuesto corresponde a la inversión. Por tanto, tanto la multiplicación como la inversión son aplicaciones diferenciables.

• El grupo afín de una dimensión es un grupo de Lie de matriz bidimensional, que consta de matrices triangulares superiores reales, siendo la primera entrada diagonal positiva y la segunda entrada diagonal 1. Por lo tanto, el grupo consta de matrices de la forma ${\displaystyle 2\times 2}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right),\quad a>0,\,b\in \mathbb {R} .}$

Sin ejemplo

Ahora presentamos un ejemplo de un grupo con una cantidad incontable de elementos que no es un grupo de Lie bajo una determinada topología. El grupo dado por

${\displaystyle H=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi ia\theta }\end{matrix}}\right):\,\theta \in \mathbb {R} \right\}\subset \mathbb {T} ^{2}=\left\{\left({\begin{matrix}e^{2\pi i\theta }&0\\0&e^{2\pi i\phi }\end{matrix}}\right):\,\theta ,\phi \in \mathbb {R} \right\},}$

con un número irracional fijo , es un subgrupo del toroide que no es un grupo de Lie cuando se le da la topología subespacial . ^[9] Si tomamos cualquier vecindad pequeña de un punto en , por ejemplo, la porción de in está desconectada. El grupo gira repetidamente alrededor del toro sin llegar nunca a un punto anterior de la espiral y forma así un subgrupo denso de . ${\displaystyle a\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$

Una parte del grupo en el interior . Las pequeñas vecindades del elemento están desconectadas en la topología del subconjunto en ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}}$ ${\displaystyle h\in H}$ ${\displaystyle H}$

Sin embargo, al grupo se le puede dar una topología diferente, en la que la distancia entre dos puntos se define como la longitud del camino más corto en el grupo que se une . En esta topología, se identifica homeomórficamente con la recta real identificando cada elemento con el número en la definición de . Con esta topología, es solo el grupo de números reales bajo suma y, por lo tanto, es un grupo de Lie. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1},h_{2}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle h_{1}}$ ${\displaystyle h_{2}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H}$

El grupo es un ejemplo de un "subgrupo de Lie" de un grupo de Lie que no está cerrado. Consulte la discusión a continuación sobre los subgrupos de Lie en la sección sobre conceptos básicos. ${\displaystyle H}$

Grupos de Matrix Lie

Denotemos el grupo de matrices invertibles con entradas en . Cualquier subgrupo cerrado de es un grupo de Lie; ^[10] Los grupos de Lie de este tipo se denominan grupos de Lie matriciales. Dado que la mayoría de los ejemplos interesantes de grupos de Lie pueden realizarse como grupos de Lie matriciales, algunos libros de texto restringen la atención a esta clase, incluidos los de Hall, ^[11] Rossmann, ^[12] y Stillwell. ^[13] Restringir la atención a los grupos matriciales de Lie simplifica la definición del álgebra de Lie y el mapa exponencial. Los siguientes son ejemplos estándar de grupos de Lie matriciales. ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

• Los grupos lineales especiales sobre y , y , que consisten en matrices con determinante uno y entradas en o ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$
• Los grupos unitarios y grupos unitarios especiales, y , que consisten en matrices complejas que satisfacen (y también en el caso de ) ${\displaystyle {\text{U}}(n)}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle U^{*}=U^{-1}}$ ${\displaystyle \det(U)=1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(n)}$
• Los grupos ortogonales y grupos ortogonales especiales, y , que consisten en matrices reales que satisfacen (y también en el caso de ) ${\displaystyle {\text{O}}(n)}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle R^{\mathrm {T} }=R^{-1}}$ ${\displaystyle \det(R)=1}$ ${\displaystyle {\text{SO}}(n)}$

Todos los ejemplos anteriores caen bajo el título de grupos clásicos .

Conceptos relacionados

Un grupo de Lie complejo se define de la misma manera utilizando variedades complejas en lugar de reales (ejemplo :) y mapas holomórficos. De manera similar, utilizando una finalización métrica alternativa de , se puede definir un grupo de Lie p -ádico sobre los números p -ádicos , un grupo topológico que también es una variedad analítica p -ádica, de modo que las operaciones del grupo son analíticas. En particular, cada punto tiene una vecindad p -ádica. ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

El quinto problema de Hilbert preguntaba si reemplazar variedades diferenciables por variedades topológicas o analíticas puede producir nuevos ejemplos. La respuesta a esta pregunta resultó ser negativa: en 1952, Gleason , Montgomery y Zippin demostraron que si G es una variedad topológica con operaciones de grupo continuas, entonces existe exactamente una estructura analítica en G que lo convierte en un grupo de Lie (ver también conjetura de Hilbert-Smith ). Si se permite que la variedad subyacente sea de dimensión infinita (por ejemplo, una variedad de Hilbert ), entonces se llega a la noción de un grupo de Lie de dimensión infinita. Es posible definir análogos de muchos grupos de Lie sobre campos finitos , y éstos dan la mayoría de los ejemplos de grupos finitos simples .

El lenguaje de la teoría de categorías proporciona una definición concisa de los grupos de Lie: un grupo de Lie es un objeto de grupo en la categoría de variedades suaves. Esto es importante porque permite generalizar la noción de grupo de Lie a supergrupos de Lie . Este punto de vista categórico conduce también a una generalización diferente de los grupos de Lie, a saber, los grupoides de Lie , que son objetos grupoides en la categoría de variedades suaves con un requisito adicional.

Definición topológica

Un grupo de Lie se puede definir como un grupo topológico ( Hausdorff ) que, cerca del elemento de identidad, parece un grupo de transformación, sin referencia a variedades diferenciables. ^[14] Primero, definimos un grupo de Lie inmerso lineal como un subgrupo G del grupo lineal general tal que ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

1. para alguna vecindad V del elemento de identidad e en G , la topología en V es la topología subespacial de y V está cerrado . ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$
2. G tiene como máximo un número contable de componentes conectados.

(Por ejemplo, un subgrupo cerrado de ; es decir, un grupo matricial de Lie satisface las condiciones anteriores). ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$

Entonces, un grupo de Lie se define como un grupo topológico que (1) es localmente isomorfo cerca de las identidades de un grupo de Lie inmersamente lineal y (2) tiene como máximo un número contable de componentes conectados. Mostrar la definición topológica es equivalente a la habitual y es técnico (y los lectores principiantes deben omitir lo siguiente), pero se hace aproximadamente de la siguiente manera:

1. Dado un grupo de Lie G en el sentido múltiple habitual, la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie (o una versión del tercer teorema de Lie ) construye un subgrupo de Lie sumergido tal que comparte el mismo álgebra de Lie; por tanto, son localmente isomórficos. Por tanto, G satisface la definición topológica anterior. ${\displaystyle G'\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G,G'}$
2. Por el contrario, sea G un grupo topológico que sea un grupo de Lie en el sentido topológico anterior y elija un grupo de Lie inmersamente lineal que sea localmente isomorfo a G. Entonces, por una versión del teorema del subgrupo cerrado , es una variedad analítica real y luego, a través del isomorfismo local, G adquiere una estructura de una variedad cerca del elemento identidad. Luego se muestra que la ley de grupo sobre G puede estar dada por series de potencias formales ; ^[a] entonces las operaciones de grupo son analíticas reales y G en sí es una variedad analítica real. ${\displaystyle G'}$ ${\displaystyle G'}$

La definición topológica implica la afirmación de que si dos grupos de Lie son isomorfos como grupos topológicos, entonces son isomorfos como grupos de Lie. De hecho, establece el principio general de que, en gran medida, la topología de un grupo de Lie junto con la ley del grupo determina la geometría del grupo.

Más ejemplos de grupos de mentiras

Los grupos de mentiras se encuentran en abundancia en matemáticas y física. Los grupos matriciales o grupos algebraicos son (aproximadamente) grupos de matrices (por ejemplo, grupos ortogonales y simplécticos ), y estos dan la mayoría de los ejemplos más comunes de grupos de Lie.

Dimensiones uno y dos

Los únicos grupos de Lie conectados con dimensión uno son la recta real (siendo la operación de grupo la suma) y el grupo circular de números complejos con valor absoluto uno (siendo la operación de grupo la multiplicación). El grupo a menudo se denomina grupo de matrices unitarias. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle U(1)}$ ${\displaystyle 1\times 1}$

En dos dimensiones, si restringimos la atención a grupos simplemente conexos, entonces se clasifican según sus álgebras de Lie. Hay (hasta el isomorfismo) sólo dos álgebras de Lie de dimensión dos. Los grupos de Lie asociados simplemente conectados son (siendo la operación de grupo la suma de vectores) y el grupo afín en dimensión uno, descrito en la subsección anterior en "primeros ejemplos". ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Ejemplos adicionales

• El grupo SU(2) es el grupo de matrices unitarias con determinante . Topológicamente, es la -esfera ; como grupo, puede identificarse con el grupo de cuaterniones unitarios . ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\text{SU}}(2)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle S^{3}}$
• El grupo de Heisenberg es un grupo de dimensiones de Lie nilpotente conectado que desempeña un papel clave en la mecánica cuántica . ${\displaystyle 3}$
• El grupo de Lorentz es un grupo de Lie de 6 dimensiones de isometrías lineales del espacio de Minkowski .
• El grupo de Poincaré es un grupo de Lie de 10 dimensiones de isometrías afines del espacio de Minkowski.
• Los grupos de Lie excepcionales de tipos G 2 , F 4 , E 6 , E 7 , E 8 tienen dimensiones 14, 52, 78, 133 y 248. Junto con la serie ABCD de grupos de Lie simples , los grupos excepcionales completan la lista de Grupos de mentiras simples.
• El grupo simpléctico consta de todas las matrices que conservan una forma simpléctica en . Es un grupo de dimensiones de Lie conectado . ${\displaystyle {\text{Sp}}(2n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle 2n\times 2n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$ ${\displaystyle 2n^{2}+n}$

Construcciones

Hay varias formas estándar de formar nuevos grupos de Lie a partir de los antiguos:

• El producto de dos grupos de Lie es un grupo de Lie.
• Cualquier subgrupo topológicamente cerrado de un grupo de Lie es un grupo de Lie. Esto se conoce como teorema del subgrupo cerrado o teorema de Cartan .
• El cociente de un grupo de Lie por un subgrupo normal cerrado es un grupo de Lie.
• La cobertura universal de un grupo Lie conectado es un grupo Lie. Por ejemplo, el grupo es la cobertura universal del grupo circular . De hecho, cualquier cobertura de una variedad diferenciable también es una variedad diferenciable, pero al especificar la cobertura universal , se garantiza una estructura de grupo (compatible con sus otras estructuras). ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1}}$

Nociones relacionadas

Algunos ejemplos de grupos que no son grupos de Lie (excepto en el sentido trivial de que cualquier grupo que tenga como máximo muchos elementos contables puede verse como un grupo de Lie de dimensión 0, con topología discreta ), son:

• Grupos de dimensión infinita, como el grupo aditivo de un espacio vectorial real de dimensión infinita, o el espacio de funciones suaves desde una variedad hasta un grupo de Lie . Estos no son grupos de Lie ya que no son variedades de dimensión finita . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle C^{\infty }(X,G)}$
• Algunos grupos totalmente desconectados , como el grupo de Galois de una extensión infinita de campos, o el grupo aditivo de los números p -ádicos. Estos no son grupos de Lie porque sus espacios subyacentes no son variedades reales. (Algunos de estos grupos son " grupos de Lie p -ádicos".) En general, sólo los grupos topológicos que tienen propiedades locales similares a R ⁿ para algún entero positivo n pueden ser grupos de Lie (por supuesto, también deben tener una estructura diferenciable).

Conceptos básicos

El álgebra de Lie asociada a un grupo de Lie.

A cada grupo de Lie podemos asociar un álgebra de Lie cuyo espacio vectorial subyacente es el espacio tangente del grupo de Lie en el elemento identidad y que captura completamente la estructura local del grupo. Informalmente podemos pensar en los elementos del álgebra de Lie como elementos del grupo que están " infinitamente cerca" de la identidad, y el corchete de Lie del álgebra de Lie está relacionado con el conmutador de dos de esos elementos infinitesimales. Antes de dar la definición abstracta damos algunos ejemplos:

• El álgebra de Lie del espacio vectorial R ⁿ es simplemente R ⁿ con el corchete de Lie dado por
      [ A ,  B ] = 0.
  (En general, el corchete de Lie de un grupo de Lie conectado es siempre 0 si y sólo si el grupo de Lie es abeliano .)
• El álgebra de Lie del grupo lineal general GL( n , C ) de matrices invertibles es el espacio vectorial M( n , C ) de matrices cuadradas con el corchete de Lie dado por
      [ A ,  B ] = AB  −  BA .
• Si G es un subgrupo cerrado de GL( n , C ) entonces el álgebra de Lie de G puede considerarse informalmente como las matrices m de M( n , C ) tales que 1 + ε m está en G , donde ε es un infinitesimal número positivo con ε ²  = 0 (por supuesto, no existe tal número real ε). Por ejemplo, el grupo ortogonal O( n , R ) consta de matrices A con AA ^T  = 1, por lo que el álgebra de Lie consta de matrices m con (1 + ε m )(1 + ε m ) ^T  = 1, que es equivalente a m  +  m ^T  = 0 porque ε ²  = 0.
• La descripción anterior puede hacerse más rigurosa de la siguiente manera. El álgebra de Lie de un subgrupo cerrado G de GL ( n , C ), se puede calcular como

${\displaystyle \operatorname {Lie} (G)=\{X\in M(n;\mathbb {C} )|\operatorname {exp} (tX)\in G{\text{ for all }}t{\text{ in }}\mathbb {\mathbb {R} } \},}$^{[16] [11]} donde exp( tX ) se define usando la matriz exponencial . Entonces se puede demostrar que el álgebra de Lie de G es un espacio vectorial real cerrado bajo la operación entre corchetes, . ^[17] ${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$

Es fácil trabajar con la definición concreta dada anteriormente para grupos de matrices, pero tiene algunos problemas menores: para usarla primero necesitamos representar un grupo de Lie como un grupo de matrices, pero no todos los grupos de Lie se pueden representar de esta manera, y Ni siquiera es obvio que el álgebra de Lie sea independiente de la representación que utilicemos. ^[18] Para solucionar estos problemas damos la definición general del álgebra de Lie de un grupo de Lie (en 4 pasos):

1. Los campos vectoriales en cualquier variedad suave M pueden considerarse como derivaciones X del anillo de funciones suaves en la variedad y, por lo tanto, forman un álgebra de Lie bajo el corchete de Lie [ X ,  Y ] =  XY  −  YX , porque el corchete de Lie de cualquier dos derivaciones es una derivación.
2. Si G es cualquier grupo que actúa suavemente sobre la variedad M , entonces actúa sobre los campos vectoriales, y el espacio vectorial de los campos vectoriales fijado por el grupo está cerrado bajo el corchete de Lie y, por lo tanto, también forma un álgebra de Lie.
3. Aplicamos esta construcción al caso en el que la variedad M es el espacio subyacente de un grupo de Lie  G , con G actuando sobre G  =  M mediante traslaciones hacia la izquierda L _g ( h ) =  gh . Esto muestra que el espacio de campos vectoriales invariantes por la izquierda (campos vectoriales que satisfacen L _{g *} X _h =  X _gh para cada h en G , donde L _{g *} denota el diferencial de L _g ) en un grupo de Lie es un álgebra de Lie bajo el método de Lie. corchete de campos vectoriales.
4. Cualquier vector tangente en la identidad de un grupo de Lie se puede extender a un campo vectorial invariante a la izquierda trasladando a la izquierda el vector tangente a otros puntos de la variedad. Específicamente, la extensión invariante izquierda de un elemento v del espacio tangente en la identidad es el campo vectorial definido por v ^ _g  =  L _{g *} v . Esto identifica el espacio tangente T _e G en la identidad con el espacio de campos vectoriales invariantes izquierdos y, por lo tanto, convierte el espacio tangente en la identidad en un álgebra de Lie, llamada álgebra de Lie de G , generalmente denotada por una Fraktur. De ahí el corchete de Lie. on viene dado explícitamente por [ v ,  w ] = [ v ^,  w ^] _e . ${\displaystyle {\mathfrak {g}}.}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Este álgebra de Lie es de dimensión finita y tiene la misma dimensión que la variedad G. El álgebra de Lie de G determina G hasta el "isomorfismo local", donde dos grupos de Lie se denominan localmente isomórficos si tienen el mismo aspecto cerca del elemento de identidad. Los problemas sobre grupos de Lie a menudo se resuelven resolviendo primero el problema correspondiente a las álgebras de Lie, y luego el resultado para los grupos suele seguirse fácilmente. Por ejemplo, los grupos de Lie simples generalmente se clasifican clasificando primero las álgebras de Lie correspondientes. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

También podríamos definir una estructura de álgebra de Lie en T _e usando campos vectoriales invariantes a la derecha en lugar de campos vectoriales invariantes a la izquierda. Esto conduce a la misma álgebra de Lie, porque el mapa inverso en G se puede usar para identificar campos vectoriales invariantes a la izquierda con campos vectoriales invariantes a la derecha, y actúa como −1 en el espacio tangente T _e .

La estructura del álgebra de Lie en T _e también se puede describir de la siguiente manera: la operación del conmutador

( x , y ) → xyx ⁻¹ y ⁻¹

en G × G envía ( e ,  e ) a e , por lo que su derivada produce una operación bilineal en T _e G . Esta operación bilineal es en realidad el mapa cero, pero la segunda derivada, bajo la identificación adecuada de espacios tangentes, produce una operación que satisface los axiomas de un corchete de Lie , y es igual al doble del definido a través de campos vectoriales invariantes a la izquierda.

Homomorfismos e isomorfismos.

Si G y H son grupos de Lie, entonces un homomorfismo de grupo de Lie f  : G → H es un homomorfismo de grupo suave . En el caso de grupos de Lie complejos, se requiere que dicho homomorfismo sea un mapa holomórfico . Sin embargo, estos requisitos son un poco estrictos; Todo homomorfismo continuo entre grupos de Lie reales resulta ser analítico (real) . ^{[19] [b]}

La composición de dos homomorfismos de Lie es nuevamente un homomorfismo, y la clase de todos los grupos de Lie, junto con estos morfismos, forma una categoría . Además, cada homomorfismo de grupo de Lie induce un homomorfismo entre las álgebras de Lie correspondientes. Sea un homomorfismo de grupo de Lie y sea su derivada en la identidad. Si identificamos las álgebras de Lie de G y H con sus espacios tangentes en los elementos identidad, entonces hay una aplicación entre las álgebras de Lie correspondientes: ${\displaystyle \phi \colon G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$

${\displaystyle \phi _{*}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},}$

lo que resulta ser un homomorfismo del álgebra de Lie (lo que significa que es un mapa lineal que conserva el corchete de Lie ). En el lenguaje de la teoría de categorías , entonces tenemos un functor covariante de la categoría de grupos de Lie a la categoría de álgebras de Lie que envía un grupo de Lie a su álgebra de Lie y un homomorfismo de grupo de Lie a su derivada en la identidad.

Dos grupos de Lie se llaman isomorfos si existe un homomorfismo biyectivo entre ellos cuyo inverso es también un homomorfismo de grupo de Lie. De manera equivalente, es un difeomorfismo que también es un homomorfismo de grupo. Observe que, por lo anterior, un homomorfismo continuo de un grupo de Lie a un grupo de Lie es un isomorfismo de grupos de Lie si y sólo si es biyectivo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$

Grupo de mentiras versus isomorfismos del álgebra de mentiras

Los grupos de Lie isomórficos necesariamente tienen álgebras de Lie isomórficas; Entonces es razonable preguntar cómo se relacionan las clases de isomorfismo de los grupos de Lie con las clases de isomorfismo de las álgebras de Lie.

El primer resultado en esta dirección es el tercer teorema de Lie , que establece que todo álgebra de Lie real y de dimensión finita es el álgebra de Lie de algún grupo de Lie (lineal). Una forma de demostrar el tercer teorema de Lie es utilizar el teorema de Ado , que dice que todo álgebra de Lie real de dimensión finita es isomorfa a un álgebra de Lie matricial. Mientras tanto, para cada álgebra de Lie de matriz de dimensión finita, hay un grupo lineal (grupo de Lie de matriz) con esta álgebra como su álgebra de Lie. ^[20]

Por otro lado, los grupos de Lie con álgebras de Lie isomórficas no necesitan ser isomórficos. Además, este resultado sigue siendo cierto incluso si asumimos que los grupos están conectados. Para decirlo de otra manera, la estructura global de un grupo de Lie no está determinada por su álgebra de Lie; por ejemplo, si Z es cualquier subgrupo discreto del centro de G , entonces G y G / Z tienen la misma álgebra de Lie (consulte la tabla de grupos de Lie para ver ejemplos). Un ejemplo de importancia en física son los grupos SU(2) y SO(3) . Estos dos grupos tienen álgebras de Lie isomorfas, ^[21] pero los grupos en sí no son isomorfos, porque SU(2) es simplemente conexo pero SO(3) no. ^[22]

Por otro lado, si requerimos que el grupo de Lie sea simplemente conexo , entonces la estructura global está determinada por su álgebra de Lie: dos grupos de Lie simplemente conexos con álgebras de Lie isomórficas son isomórficos. ^[23] (Consulte la siguiente subsección para obtener más información sobre grupos de Lie simplemente conectados). A la luz del tercer teorema de Lie, podemos decir, por lo tanto, que existe una correspondencia uno a uno entre las clases de isomorfismo de álgebras de Lie reales de dimensión finita y clases de isomorfismo de grupos de Lie simplemente conectados.

Grupos de mentiras simplemente conectados

Se dice que un grupo de Lie está simplemente conectado si cada bucle puede reducirse continuamente hasta un punto en . Esta noción es importante debido al siguiente resultado que tiene la conexión simple como hipótesis: ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Teorema : ^[24] Supongamos que y son grupos de Lie con álgebras de Lie y y ese es un homomorfismo de álgebra de Lie. Si es simplemente conexo, entonces existe un homomorfismo de grupo de Lie único tal que , donde es el diferencial de en la identidad. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle f:{\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi :G\rightarrow H}$ ${\displaystyle \phi _{*}=f}$ ${\displaystyle \phi _{*}}$ ${\displaystyle \phi }$

El tercer teorema de Lie dice que todo álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie. Del tercer teorema de Lie y del resultado anterior se deduce que cada álgebra de Lie real de dimensión finita es el álgebra de Lie de un grupo de Lie único y simplemente conexo.

Un ejemplo de un grupo simplemente conexo es el grupo unitario especial SU(2) , que como variedad es la 3-esfera. El grupo de rotación SO(3) , por otro lado, no está simplemente conexo. (Ver Topología de SO(3) .) El hecho de que SO(3) no esté simplemente conectado está íntimamente relacionado con la distinción entre espín entero y espín semientero en la mecánica cuántica. Otros ejemplos de grupos de Lie simplemente conectados incluyen el grupo unitario especial SU(n) , el grupo de espín (doble cobertura del grupo de rotación) Spin(n) para y el grupo simpléctico compacto Sp(n) . ^[25] ${\displaystyle n\geq 3}$

Los métodos para determinar si un grupo de Lie es simplemente conexo o no se analizan en el artículo sobre grupos fundamentales de grupos de Lie .

El mapa exponencial

El mapa exponencial del álgebra de Lie del grupo lineal general está definido por la matriz exponencial , dada por la serie de potencias habitual: ${\displaystyle \mathrm {M} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$

${\displaystyle \exp(X)=1+X+{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{3}}{3!}}+\cdots }$

para matrices . Si es un subgrupo cerrado de , entonces el mapa exponencial toma el álgebra de Lie de ; por tanto, tenemos un mapa exponencial para todos los grupos de matrices. Cada elemento que está suficientemente cerca de la identidad es el exponencial de una matriz en el álgebra de Lie. ^[26] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

La definición anterior es fácil de usar, pero no está definida para grupos de Lie que no son grupos matriciales, y no está claro que el mapa exponencial de un grupo de Lie no dependa de su representación como un grupo matricial. Podemos resolver ambos problemas usando una definición más abstracta del mapa exponencial que funcione para todos los grupos de Lie, de la siguiente manera.

Para cada vector en el álgebra de Lie de (es decir, el espacio tangente a la identidad), se demuestra que existe un subgrupo único de un parámetro tal que . Decir que es un subgrupo de un parámetro significa simplemente que es un mapa fluido y que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle c:\mathbb {R} \rightarrow G}$ ${\displaystyle c'(0)=X}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle c(s+t)=c(s)c(t)\ }$

para todos y . La operación del lado derecho es la multiplicación del grupo en . La similitud formal de esta fórmula con la válida para la función exponencial justifica la definición ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G}$

${\displaystyle \exp(X)=c(1).\ }$

Esto se llama aplicación exponencial y asigna el álgebra de Lie al grupo de Lie . Proporciona un difeomorfismo entre una vecindad de 0 in y una vecindad de in . Este mapa exponencial es una generalización de la función exponencial para números reales (porque es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números reales positivos con multiplicación), para números complejos (porque es el álgebra de Lie del grupo de Lie de números complejos distintos de cero con multiplicación) y para matrices (porque con el conmutador regular es el álgebra de Lie del grupo de Lie de todas las matrices invertibles). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle M(n,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$

Debido a que el mapa exponencial es sobreyectivo en alguna vecindad de , es común llamar a los elementos del álgebra de Lie generadores infinitesimales del grupo . El subgrupo de generado por es el componente de identidad de . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle G}$

El mapa exponencial y el álgebra de Lie determinan la estructura del grupo local de cada grupo de Lie conectado, debido a la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff : existe una vecindad del elemento cero de , tal que para tenemos ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle X,Y\in U}$

${\displaystyle \exp(X)\,\exp(Y)=\exp \left(X+Y+{\tfrac {1}{2}}[X,Y]+{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],Y]-{\tfrac {1}{12}}[\,[X,Y],X]-\cdots \right),}$

donde los términos omitidos son conocidos e involucran paréntesis de cuatro o más elementos. En caso y conmutar, esta fórmula se reduce a la conocida ley exponencial ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)}$

El mapa exponencial relaciona homomorfismos de grupos de Lie. Es decir, si es un homomorfismo de grupo de Lie y el mapa inducido en las álgebras de Lie correspondientes, entonces para todo tenemos ${\displaystyle \phi :G\to H}$ ${\displaystyle \phi _{*}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \phi (\exp(x))=\exp(\phi _{*}(x)).\,}$

En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta , ^[27]

(En resumen, exp es una transformación natural del funtor Lie al funtor identidad en la categoría de grupos de Lie).

La aplicación exponencial del álgebra de Lie al grupo de Lie no siempre es sobre , incluso si el grupo está conexo (aunque sí se asigna al grupo de Lie para grupos conectados que son compactos o nilpotentes). Por ejemplo, el mapa exponencial de SL(2, R ) no es sobreyectivo. Además, el mapa exponencial no es sobreyectivo ni inyectivo para grupos de Lie de dimensión infinita (ver más abajo) modelados en el espacio C ∞ Fréchet , incluso desde una pequeña vecindad arbitraria de 0 hasta la correspondiente vecindad de 1.

subgrupo de mentiras

Un subgrupo de Lie de un grupo de Lie es un grupo de Lie que es un subconjunto de y tal que el mapa de inclusión de a es una inmersión inyectiva y un homomorfismo de grupo . Según el teorema de Cartan , un subgrupo cerrado de admite una estructura suave única que lo convierte en un subgrupo de Lie incrustado , es decir, un subgrupo de Lie tal que el mapa de inclusión es una incrustación suave. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Abundan los ejemplos de subgrupos no cerrados; por ejemplo, tomemos como un toro de dimensión 2 o mayor, y sea un subgrupo de un parámetro de pendiente irracional , es decir, uno que gira en G. Entonces hay un homomorfismo de grupo de Lie con . El cierre de será un subtoro en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \varphi :\mathbb {R} \to G}$ ${\displaystyle \mathrm {im} (\varphi )=H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

El mapa exponencial proporciona una correspondencia uno a uno entre los subgrupos de Lie conectados de un grupo de Lie conectado y las subálgebras del álgebra de Lie de . ^[28] Normalmente, el subgrupo correspondiente a una subálgebra no es un subgrupo cerrado. No existe un criterio basado únicamente en cuya estructura determine qué subálgebras corresponden a subgrupos cerrados. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Representaciones

Un aspecto importante del estudio de los grupos de Lie son sus representaciones, es decir, la forma en que pueden actuar (linealmente) en espacios vectoriales. En física, los grupos de Lie suelen codificar las simetrías de un sistema físico. La forma en que se utiliza esta simetría para ayudar a analizar el sistema es a menudo a través de la teoría de la representación. Consideremos, por ejemplo, la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo en mecánica cuántica . Supongamos que el sistema en cuestión tiene el grupo de rotación SO(3) como simetría, lo que significa que el operador hamiltoniano conmuta con la acción de SO(3) sobre la función de onda . (Un ejemplo importante de tal sistema es el átomo de hidrógeno , que tiene un único orbital esférico). Esta suposición no significa necesariamente que las soluciones sean funciones rotacionalmente invariantes. Más bien, significa que el espacio de soluciones de es invariante bajo rotaciones (para cada valor fijo de ). Este espacio, por tanto, constituye una representación de SO(3). Estas representaciones han sido clasificadas y la clasificación conduce a una simplificación sustancial del problema , esencialmente convirtiendo una ecuación diferencial parcial tridimensional en una ecuación diferencial ordinaria unidimensional. ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle {\hat {H}}\psi =E\psi }$ ${\displaystyle E}$

El caso de un grupo K de Lie compacto conectado (incluido el caso recién mencionado de SO(3)) es particularmente manejable. ^[29] En ese caso, cada representación de dimensión finita de K se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles. Las representaciones irreductibles, a su vez, fueron clasificadas por Hermann Weyl . La clasificación se realiza en términos del "mayor peso" de la representación. La clasificación está estrechamente relacionada con la clasificación de representaciones de un álgebra de Lie semisimple .

También se pueden estudiar representaciones unitarias (en general de dimensión infinita) de un grupo de Lie arbitrario (no necesariamente compacto). Por ejemplo, es posible dar una descripción explícita relativamente simple de las representaciones del grupo SL(2,R) y las representaciones del grupo de Poincaré .

Clasificación

Los grupos de mentiras pueden considerarse como familias de simetrías que varían suavemente. Ejemplos de simetrías incluyen la rotación alrededor de un eje. Lo que debe entenderse es la naturaleza de las transformaciones "pequeñas", por ejemplo, las rotaciones a través de ángulos diminutos, que vinculan transformaciones cercanas. El objeto matemático que captura esta estructura se llama álgebra de Lie ( el propio Lie los llamó "grupos infinitesimales"). Se puede definir porque los grupos de Lie son variedades suaves, por lo que tienen espacios tangentes en cada punto.

El álgebra de Lie de cualquier grupo de Lie compacto (muy aproximadamente: uno para el cual las simetrías forman un conjunto acotado) se puede descomponer como una suma directa de un álgebra de Lie abeliana y algunos simples . La estructura de un álgebra de Lie abeliana no es matemáticamente interesante (ya que el paréntesis de Lie es idénticamente cero); el interés está en los sumandos simples. De ahí surge la pregunta: ¿cuáles son las álgebras de Lie simples de grupos compactos? Resulta que en su mayoría se dividen en cuatro familias infinitas, las "álgebras de Lie clásicas" An _{, Bn} , _Cn y Dn _, que tienen descripciones simples en términos de simetrías del espacio euclidiano. Pero también hay sólo cinco "álgebras de Lie excepcionales" que no pertenecen a ninguna de estas familias. E ₈ es el más grande de ellos.

Los grupos de mentiras se clasifican según sus propiedades algebraicas ( simples , semisimples , solubles , nilpotentes , abelianos ), su conexidad ( conexa o simplemente conexa ) y su compacidad .

Un primer resultado clave es la descomposición de Levi , que dice que todo grupo de Lie simplemente conexo es el producto semidirecto de un subgrupo normal soluble y un subgrupo semisimple.

• Todos los grupos de Lie compactos conexos son conocidos: son cocientes centrales finitos de un producto de copias del grupo circular S ¹ y grupos de Lie compactos simples (que corresponden a diagramas de Dynkin conexos ).
• Cualquier grupo de Lie que se pueda resolver simplemente conectado es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles de algún rango, y cualquier representación irreducible de dimensión finita de dicho grupo es unidimensional. Los grupos que se pueden resolver son demasiado complicados para clasificarlos, excepto en unas pocas dimensiones pequeñas.
• Cualquier grupo de Lie nilpotente simplemente conectado es isomorfo a un subgrupo cerrado del grupo de matrices triangulares superiores invertibles con unos en la diagonal de algún rango, y cualquier representación irreducible de dimensión finita de dicho grupo es unidimensional. Al igual que los grupos solubles, los grupos nilpotentes son demasiado confusos para clasificarlos excepto en unas pocas dimensiones pequeñas.
• Los grupos de Lie simples a veces se definen como aquellos que son simples como grupos abstractos y, a veces, se definen como grupos de Lie conectados con un álgebra de Lie simple. Por ejemplo, SL(2, R ) es simple según la segunda definición pero no según la primera. Todos han sido clasificados (para cualquiera de las definiciones).
• Los grupos de Lie semisimples son grupos de Lie cuyo álgebra de Lie es un producto de álgebras de Lie simples. ^[30] Son extensiones centrales de productos de grupos de Lie simples.

El componente de identidad de cualquier grupo de Lie es un subgrupo normal abierto y el grupo cociente es un grupo discreto . La cobertura universal de cualquier grupo de Lie conexo es un grupo de Lie simplemente conexo y, a la inversa, cualquier grupo de Lie conexo es un cociente de un grupo de Lie simplemente conexo por un subgrupo normal discreto del centro. Cualquier grupo de Lie G se puede descomponer en grupos discretos, simples y abelianos de forma canónica de la siguiente manera. Escribir

G _con para el componente conectado de la identidad

G _sol para el subgrupo soluble normal conectado más grande

G _nil para el subgrupo nilpotente normal conectado más grande

para que tengamos una secuencia de subgrupos normales

1 ⊆ G _nulo ⊆ G _sol ⊆ G _con ⊆ G .

Entonces

G / G _con es discreto

G _con / G _sol es una extensión central de un producto de grupos de Lie simples conectados .

G _sol / G _nil es abeliano. Un grupo de Lie abeliano conectado es isomorfo a un producto de copias de R y el grupo circular S ¹ .

G _nil /1 es nilpotente y, por tanto, su serie central ascendente tiene todos los cocientes abelianos.

Esto se puede utilizar para reducir algunos problemas sobre grupos de Lie (como encontrar sus representaciones unitarias) a los mismos problemas para grupos simples conectados y subgrupos nilpotentes y resolubles de dimensión más pequeña.

• El grupo de difeomorfismo de un grupo de Lie actúa transitivamente sobre el grupo de Lie.
• Cada grupo de Lie es paralelizable y, por tanto, una variedad orientable (hay un isomorfismo de paquete entre su paquete tangente y el producto de sí mismo con el espacio tangente en la identidad)

Grupos de mentiras de dimensión infinita

Los grupos de Lie a menudo se definen como de dimensión finita, pero hay muchos grupos que se parecen a los grupos de Lie, excepto por ser de dimensión infinita. La forma más sencilla de definir grupos de Lie de dimensión infinita es modelarlos localmente en espacios de Banach (a diferencia del espacio euclidiano en el caso de dimensión finita), y en este caso gran parte de la teoría básica es similar a la de Lie de dimensión finita. grupos. Sin embargo, esto es inadecuado para muchas aplicaciones, porque muchos ejemplos naturales de grupos de Lie de dimensión infinita no son variedades de Banach . En su lugar, es necesario definir grupos de Lie modelados en espacios vectoriales topológicos localmente convexos más generales. En este caso, la relación entre el álgebra de Lie y el grupo de Lie se vuelve bastante sutil y varios resultados sobre grupos de Lie de dimensión finita ya no se mantienen.

La literatura no es del todo uniforme en su terminología en cuanto a exactamente qué propiedades de los grupos de dimensiones infinitas califican al grupo para el prefijo Lie in Lie group . En el lado del álgebra de Lie, las cosas son más simples ya que los criterios de calificación para el prefijo Lie en el álgebra de Lie son puramente algebraicos. Por ejemplo, un álgebra de Lie de dimensión infinita puede tener o no un grupo de Lie correspondiente. Es decir, puede haber un grupo correspondiente al álgebra de Lie, pero puede que no sea lo suficientemente bueno como para llamarlo grupo de Lie, o la conexión entre el grupo y el álgebra de Lie puede no ser lo suficientemente buena (por ejemplo, falla del álgebra de Lie). mapa exponencial para estar en una vecindad de la identidad). Es lo "suficientemente agradable" lo que no está universalmente definido.

Algunos de los ejemplos que se han estudiado incluyen:

• El grupo de difeomorfismos de una variedad. Se sabe bastante sobre el grupo de difeomorfismos del círculo. Su álgebra de Lie es (más o menos) el álgebra de Witt , cuya extensión central el álgebra de Virasoro (ver álgebra de Virasoro del álgebra de Witt para una derivación de este hecho) es el álgebra de simetría de la teoría de campos conforme bidimensional . Los grupos de difeomorfismo de variedades compactas de mayor dimensión son grupos regulares de Fréchet Lie ; Se sabe muy poco sobre su estructura.
• El grupo de difeomorfismo del espacio-tiempo aparece a veces en intentos de cuantificar la gravedad.
• El grupo de mapas suaves desde una variedad hasta un grupo de Lie de dimensión finita es un ejemplo de grupo calibre (con operación de multiplicación puntual ) y se utiliza en la teoría cuántica de campos y la teoría de Donaldson . Si la variedad es un círculo, estos se denominan grupos de bucles y tienen extensiones centrales cuyas álgebras de Lie son (más o menos) álgebras de Kac-Moody .
• Hay análogos de dimensión infinita de grupos lineales generales, grupos ortogonales, etc. ^[31] Un aspecto importante es que estos pueden tener propiedades topológicas más simples : ver, por ejemplo , el teorema de Kuiper . En la teoría M , por ejemplo, una teoría de calibre SU( N ) de 10 dimensiones se convierte en una teoría de 11 dimensiones cuando N se vuelve infinito.

Ver también

• Representación adjunta de un grupo de Lie
• medida de pelo
• Espacio homogéneo
• Lista de temas del grupo Lie
• Representaciones de grupos de mentiras.
• Simetría en mecánica cuántica
• Simetría del punto de Lie , sobre la aplicación de los grupos de Lie al estudio de ecuaciones diferenciales.

Notas

Notas explicatorias

1. Esta es la afirmación de que un grupo de Lie es un grupo de Lie formal . Para conocer este último concepto, consulte Bruhat. ^[15]
2. Hall solo afirma suavidad, pero el mismo argumento muestra analiticidad. ^{[ cita necesaria ]}

Citas

1. "¿Qué es un grupo de mentiras?". aimath.org . Consultado el 1 de marzo de 2024 .
2. Hawkins 2000, pag. 1.
3. Hawkins 2000, pag. 2.
4. Hawkins 2000, pag. 76.
5. Tresse, Arthur (1893). "Sur les invariants différentiels des groupes continus de transforms". Acta Matemática . 18 : 1–88. doi : 10.1007/bf02418270 .
6. Hawkins 2000, pag. 43.
7. Hawkins 2000, pag. 100.
8. Borel 2001.
9. Rossmann 2001, Capítulo 2.
10. Salón 2015 Corolario 3.45
11. Salón 2015.
12. Rossmann 2001
13. Stillwell 2008
14. Kobayashi y Oshima 2005, Definición 5.3.
15. Bruhat, F. (1958). "Conferencias sobre grupos de mentiras y representaciones de grupos compactos localmente" (PDF) . Instituto Tata de Investigaciones Fundamentales, Bombay.
16. Helgason 1978, cap. II, § 2, Proposición 2.7.
17. Teorema 3.20 de Hall 2015
18. Pero consulte Hall 2015, Proposición 3.30 y Ejercicio 8 en el Capítulo 3.
19. Salón 2015 Corolario 3.50.
20. Teorema 5.20 de Hall 2015
21. Salón 2015 Ejemplo 3.27
22. Salón 2015 Sección 1.3.4
23. Salón 2015 Corolario 5.7
24. Teorema 5.6 de Hall 2015
25. Salón 2015 Sección 13.2
26. Teorema 3.42 de Hall 2015
27. "Introducción a las álgebras y grupos de Lie: definiciones, ejemplos y problemas" (PDF) . Universidad Estatal de Nueva York en Stony Brook. 2006. Archivado desde el original (PDF) el 28 de septiembre de 2011 . Consultado el 11 de octubre de 2014 .
28. Teorema 5.20 de Hall 2015
29. Salón 2015 Parte III
30. Helgason 1978, pag. 131.
31. Bäuerle, de Kerf y ten Kroode 1997

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enlaces externos

• Medios relacionados con grupos de mentiras en Wikimedia Commons
• Revista de teoría de la mentira