En las matemáticas de la teoría de Lie , el tercer teorema de Lie establece que toda álgebra de Lie de dimensión finita sobre los números reales está asociada a un grupo de Lie . El teorema es parte de la correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie .
Históricamente, el tercer teorema se refería a un resultado diferente pero relacionado. Los dos teoremas anteriores de Sophus Lie , reformulados en lenguaje moderno, se relacionan con las transformaciones infinitesimales de una acción de grupo en una variedad suave . El tercer teorema de la lista enunciaba la identidad de Jacobi para las transformaciones infinitesimales de un grupo de Lie local . Por el contrario, en presencia de un álgebra de Lie de campos vectoriales , la integración da una acción de grupo de Lie local . El resultado ahora conocido como el tercer teorema proporciona un recíproco intrínseco y global al teorema original.
La equivalencia entre la categoría de grupos de Lie reales simplemente conexos y álgebras de Lie reales de dimensión finita se denomina habitualmente (en la literatura de la segunda mitad del siglo XX) teorema de Cartan o teorema de Cartan-Lie, tal como lo demostró Élie Cartan . Sophus Lie había demostrado previamente la versión infinitesimal: la solubilidad local de la ecuación de Maurer-Cartan , o la equivalencia entre la categoría de álgebras de Lie de dimensión finita y la categoría de grupos de Lie locales.
Lie enumeró sus resultados como tres teoremas directos y tres inversos. La variante infinitesimal del teorema de Cartan era esencialmente el tercer teorema inverso de Lie. En un influyente libro [1] Jean-Pierre Serre lo llamó el tercer teorema de Lie . El nombre es históricamente algo engañoso, pero a menudo se usa en relación con generalizaciones.
Serre proporcionó dos pruebas en su libro: una basada en el teorema de Ado y otra que relata la prueba de Élie Cartan.
Hay varias pruebas del tercer teorema de Lie, cada una de ellas empleando diferentes técnicas algebraicas y/o geométricas.
La prueba clásica es sencilla pero se basa en el teorema de Ado , cuya prueba es algebraica y altamente no trivial. [2] El teorema de Ado establece que cualquier álgebra de Lie de dimensión finita puede representarse mediante matrices . En consecuencia, la integración de dicha álgebra de matrices mediante la exponencial matricial produce un grupo de Lie que integra el álgebra de Lie original.
Una prueba más geométrica se debe a Élie Cartan y fue publicada por Willem van Est . [3] Esta prueba utiliza la inducción sobre la dimensión del centro e involucra el complejo Chevalley-Eilenberg . [4]
En 2000, Duistermaat y Kolk descubrieron una prueba geométrica diferente . [5] A diferencia de las anteriores, se trata de una prueba constructiva : el grupo de Lie integrante se construye como el cociente del grupo de caminos de Banach de Lie (de dimensión infinita) en el álgebra de Lie por un subgrupo adecuado. Esta prueba fue influyente para la teoría de Lie [6], ya que allanó el camino para la generalización del tercer teorema de Lie para los grupoides de Lie y los algebroides de Lie . [7]
