Grupoide de mentiras

En matemáticas , un grupoide de Lie es un grupoide donde el conjunto de objetos y el conjunto de morfismos son ambos variedades , todas las operaciones de categoría (origen y destino, composición, mapa de asignación de identidad e inversión) son suaves y las operaciones de origen y destino ${\displaystyle \operatorname {Ob} }$ ${\displaystyle \operatorname {Mor} }$

${\displaystyle s,t:\operatorname {Mor} \to \operatorname {Ob} }$

son inmersiones .

Por lo tanto, un grupoide de Lie puede considerarse como una "generalización de muchos objetos" de un grupo de Lie , de la misma manera que un grupoide es una generalización de muchos objetos de un grupo . En consecuencia, mientras que los grupos de Lie proporcionan un modelo natural para las simetrías continuas (clásicas) , los grupoides de Lie se utilizan a menudo como modelo para (y surgen de) simetrías generalizadas dependientes del punto. ^[1] Extendiendo la correspondencia entre los grupos de Lie y las álgebras de Lie, los grupoides de Lie son las contrapartes globales de los algebroides de Lie .

Los grupoides de Lie fueron introducidos por Charles Ehresmann ^{[2] [3]} bajo el nombre de grupoides diferenciables .

Definición y conceptos básicos

Un grupoide de Lie consta de

• dos colectores lisos y ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• dos inmersiones sobreyectivas (llamadas, respectivamente, proyecciones de origen y de destino ) ${\displaystyle s,t:G\to M}$
• un mapa (llamado mapa de multiplicación o de composición), donde usamos la notación ${\displaystyle m:G^{(2)}:=\{(g,h)\mid s(g)=t(h)\}\to G}$ ${\displaystyle gh:=m(g,h)}$
• un mapa (llamado mapa de unidades o mapa de inclusión de objetos), donde usamos la notación ${\displaystyle u:M\to G}$ ${\displaystyle 1_{x}:=u(x)}$
• un mapa (llamado inversión ), donde usamos la notación ${\displaystyle i:G\to G}$ ${\displaystyle g^{-1}:=i(g)}$

de tal manera que

• La composición satisface y para cada una de las cuales se define la composición. ${\displaystyle s(gh)=s(h)}$ ${\displaystyle t(gh)=t(g)}$ ${\displaystyle g,h\in G}$
• La composición es asociativa , es decir, para cada uno para el cual se define la composición. ${\displaystyle g(hl)=(gh)l}$ ${\displaystyle g,h,l\in G}$
• ${\displaystyle u}$funciona como una identidad , es decir, para cada uno y para cada uno ${\displaystyle s(1_{x})=t(1_{x})=x}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle g1_{s(g)}=g}$ ${\displaystyle 1_{t(g)}g=g}$ ${\displaystyle g\in G}$
• ${\displaystyle i}$funciona como una inversa , es decir y para cada . ${\displaystyle g^{-1}g=1_{s(g)}}$ ${\displaystyle gg^{-1}=1_{t(g)}}$ ${\displaystyle g\in G}$

Utilizando el lenguaje de la teoría de categorías , un grupoide de Lie puede definirse de forma más compacta como un grupoide (es decir, una categoría pequeña donde todos los morfismos son invertibles) tal que los conjuntos de objetos y de morfismos son variedades, las funciones , , , y son suaves y y son inmersiones. Por lo tanto, un grupoide de Lie no es simplemente un objeto grupoide en la categoría de variedades suaves : hay que plantearse la propiedad adicional de que y son inmersiones. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

Los grupoides de Lie suelen denotarse con , donde las dos flechas representan la fuente y el destino. La notación también se utiliza con frecuencia, especialmente cuando se enfatiza la estructura simplicial del nervio asociado . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$

Para incluir más ejemplos naturales, no se requiere en general que la variedad sea de Hausdorff o de segundo orden contable (mientras que y todos los demás espacios lo son). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$

Definiciones alternativas

La definición original de Ehresmann requería que y poseyeran una estructura suave de modo que sólo sea suave y las aplicaciones y sean subimersiones (es decir, tengan rango localmente constante ). Esta definición resultó ser demasiado débil y fue reemplazada por Pradines por la que se utiliza actualmente. ^[4] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle g\mapsto 1_{s(g)}}$ ${\displaystyle g\mapsto 1_{t(g)}}$

Aunque algunos autores ^[5] introdujeron definiciones más débiles que no requerían que fueran sumersiones, estas propiedades son fundamentales para desarrollar toda la teoría de Lie de grupoides y algebroides. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle t}$

Primeras propiedades

El hecho de que el mapa de origen y el de destino de un grupoide de Lie sean inmersiones suaves tiene algunas consecuencias inmediatas: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• las -fibras , las -fibras , y el conjunto de morfismos componibles son subvariedades ; ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{-1}(x)\subseteq G}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t^{-1}(x)\subseteq G}$ ${\displaystyle G^{(2)}\subseteq G\times G}$
• El mapa de inversión es un difeomorfismo ; ${\displaystyle i}$
• El mapa de la unidad es una incrustación suave ; ${\displaystyle u}$
• Los grupos de isotropía son grupos de Lie ; ${\displaystyle G_{x}}$
• las órbitas son subvariedades inmersas ; ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}\subseteq M}$
• La fibra en un punto es un haz principal sobre la órbita en ese punto. ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s^{-1}(x)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{x}}$

Subobjetos y morfismos

Un subgrupoide de Lie de un grupoide de Lie es un subgrupoide (es decir, una subcategoría de la categoría ) con el requisito adicional de que sea una subvariedad inmersa. En cuanto a una subcategoría, un subgrupoide (de Lie) se denomina ancho si . Cualquier grupoide de Lie tiene dos subgrupoides anchos canónicos: ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle N=M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

• el subgrupoide de Lie unidad/identidad ; ${\displaystyle u(M)=\{1_{x}\in G\mid x\in M\}}$
• el subgrupoide interno , es decir, el haz de grupos de isotropía (que, sin embargo, puede no ser suave en general). ${\displaystyle IG:=\{g\in G\mid s(g)=t(g)\}}$

Un subgrupoide de Lie normal es un subgrupoide de Lie ancho en su interior tal que, para cada uno con , se tiene . Los grupos de isotropía de son, por lo tanto, subgrupos normales de los grupos de isotropía de . ${\displaystyle H\subseteq G}$ ${\displaystyle IG}$ ${\displaystyle h\in H,g\in G}$ ${\displaystyle s(h)=t(h)=s(g)}$ ${\displaystyle ghg^{-1}\in H}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$

Un morfismo grupoide de Lie entre dos grupoides de Lie y es un morfismo grupoide (es decir, un funtor entre las categorías y ), donde tanto y son suaves. El núcleo de un morfismo entre grupoides de Lie sobre la misma variedad base es automáticamente un subgrupoide de Lie normal. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle F:G\to H,f:M\to N}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \ker(F):=\{g\in G\mid F(g)=1_{s(g)}\}}$

El cociente tiene una estructura de grupoide natural, de modo que la proyección es un morfismo de grupoide; sin embargo, a diferencia de los cocientes de grupos de Lie , puede no ser un grupoide de Lie en general. En consecuencia, los teoremas de isomorfismo para grupoides no se pueden especializar para toda la categoría de grupoides de Lie, sino solo para clases especiales. ^[6] ${\displaystyle G/\ker(F)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\to G/\ker(F)}$ ${\displaystyle G/\ker(F)}$

Un grupoide de Lie se denomina abeliano si sus grupos de Lie isotrópicos son abelianos . Por razones similares a las anteriores, si bien la definición de abelianización de un grupo se extiende a los grupoides de teoría de conjuntos, en el caso de Lie el análogo del cociente puede no existir o ser suave. ^[7] ${\displaystyle G^{ab}=G/(IG,IG)}$

Bisecciones

Una bisección de un grupoide de Lie es una función suave tal que y es un difeomorfismo de . Para superar la falta de simetría entre la fuente y el destino, una bisección se puede definir de manera equivalente como una subvariedad tal que y son difeomorfismos; la relación entre las dos definiciones está dada por . ^[8] ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle b:M\to G}$ ${\displaystyle s\circ b=id_{M}}$ ${\displaystyle t\circ b}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle B\subseteq G}$ ${\displaystyle s_{\mid B}:B\to M}$ ${\displaystyle t_{\mid B}:B\to M}$ ${\displaystyle B=b(M)}$

El conjunto de bisecciones forma un grupo , con la multiplicación definida como y la inversión definida como Nótese que la definición se da de tal manera que, si y , entonces y . ${\displaystyle b_{1}\cdot b_{2}}$ $${\displaystyle (b_{1}\cdot b_{2})(x):=b_{1}(b_{2}(x))b_{2}(x).}$$ $${\displaystyle b_{1}^{-1}(x):=i\circ b_{1}\left((t\circ b_{2})^{-1}(x)\right)}$$ ${\displaystyle t\circ b_{1}=\phi _{1}}$ ${\displaystyle t\circ b_{2}=\phi _{2}}$ ${\displaystyle t\circ (b_{1}\cdot b_{2})=\phi _{1}\circ \phi _{2}}$ ${\displaystyle t\circ b_{1}^{-1}=\phi _{1}^{-1}}$

Al grupo de bisecciones se le puede dar la topología compacta-abierta , así como una estructura (de dimensión infinita) de variedad de Fréchet compatible con la estructura del grupo, convirtiéndolo en un grupo de Fréchet-Lie.

Una bisección local se define de forma análoga, pero la multiplicación entre bisecciones locales, por supuesto, sólo está definida parcialmente. ${\displaystyle b:U\subseteq M\to G}$

Ejemplos

Casos triviales y extremos

• Los grupoides de Lie con un objeto son lo mismo que los grupos de Lie. ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• Dada cualquier variedad , existe un grupoide de Lie llamado grupoide de pares , con exactamente un morfismo de cualquier objeto a cualquier otro. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• Los dos ejemplos anteriores son casos particulares del grupoide trivial , con mapas de estructura , , , y . ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle s(x,g,y)=y}$ ${\displaystyle t(x,g,y)=x}$ ${\displaystyle m((x,g,y),(y,h,z))=(x,gh,z)}$ ${\displaystyle u(x)=(x,1,x)}$ ${\displaystyle i(x,g,y)=(y,g^{-1},x)}$
• Dada cualquier variedad , existe un grupoide de Lie llamado grupoide unidad , con exactamente un morfismo de un objeto hacia sí mismo, es decir, la identidad, y sin morfismos entre diferentes objetos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle u(M)\rightrightarrows M}$
• En términos más generales, los grupoides de Lie son lo mismo que un fibrado de grupos de Lie (no necesariamente triviales desde el punto de vista local). Por ejemplo, cualquier fibrado vectorial es un fibrado de grupos abelianos, por lo que es en particular un grupoide de Lie abeliano. ${\displaystyle s=t}$

Construcciones a partir de otros grupoides de Lie

• Dado cualquier grupoide de Lie y una inmersión sobreyectiva , existe un grupoide de Lie , llamado su grupoide de pullback o grupoide inducido , donde contiene ternas tales que y , y la multiplicación se define utilizando la multiplicación de . Por ejemplo, el pullback del grupoide de pares de es el grupoide de pares de . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu :N\to M}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\subseteq N\times G\times N}$ ${\displaystyle (x,g,y)}$ ${\displaystyle s(g)=\mu (y)}$ ${\displaystyle t(g)=\mu (x)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
• Dados dos grupoides de Lie y , existe un grupoide de Lie , llamado su producto directo , tal que los morfismos del grupoide y son inmersiones sobreyectivas. ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows M_{1}}$ ${\displaystyle G_{2}\rightrightarrows M_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\rightrightarrows M_{1}\times M_{2}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{1}}^{*}G_{1}}$ ${\displaystyle G_{1}\times G_{2}\to \mathrm {pr} _{M_{2}}^{*}G_{2}}$
• Dado cualquier grupoide de Lie , existe un grupoide de Lie , llamado su grupoide tangente , obtenido al considerar el fibrado tangente de y y la diferencial de los mapas de estructura. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle TG\rightrightarrows TM}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• Dado cualquier grupoide de Lie , existe un grupoide de Lie , llamado su grupoide cotangente obtenido al considerar el fibrado cotangente de , el dual del algebroide de Lie (ver más abajo) y mapas de estructura adecuados que involucran las diferenciales de las traslaciones izquierda y derecha. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle T^{*}G\rightrightarrows A^{*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• Dado cualquier grupoide de Lie , existe un grupoide de Lie , llamado su grupoide de chorros , obtenido al considerar los k-chorros de las bisecciones locales de (con estructura suave heredada del fibrado de chorros de ) y estableciendo , , , y . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle J^{k}G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle s(j_{x}^{k}b)=x}$ ${\displaystyle t(j_{x}^{k}b)=t(b(x))}$ ${\displaystyle m(j_{t(b(x))}^{k}b_{1},j_{x}^{k}b_{2})=j_{x}^{k}(b_{1}\cdot b_{2})}$ ${\displaystyle u(x)=j_{x}^{k}u}$ ${\displaystyle i(j_{x}^{k}b)=j_{t(b(x))}^{k}b^{-1}}$

Ejemplos de geometría diferencial

• Dada una inmersión , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide de inmersión o grupoide de pares fibrosos , cuyos mapas de estructura se inducen a partir del grupoide de pares (la condición de que haya una inmersión asegura la suavidad de ). Si es un punto, se recupera el grupoide de pares. ${\displaystyle \mu :M\to N}$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M:=\{(x,y)\in M\times M\mid \mu (x)=\mu (y)\}\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M}$ ${\displaystyle N}$
• Dado un grupo de Lie que actúa sobre una variedad , existe un grupooide de Lie , llamado grupooide de acción o grupooide de traslación , con un morfismo para cada triple con . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle g\in G,x,y\in M}$ ${\displaystyle gx=y}$
• Dado cualquier fibrado vectorial , existe un grupoide de Lie , llamado grupoide lineal general , con morfismos entre que son isomorfismos lineales entre las fibras y . Por ejemplo, si es el fibrado vectorial trivial de rango , entonces es el grupoide de acción. ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle E_{y}}$ ${\displaystyle E=M\times \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle GL(E)\rightrightarrows M}$
• Cualquier fibrado principal con estructura de grupo define un grupoide de Lie , donde actúa sobre los pares componente por componente, llamado grupoide de calibración . La multiplicación se define a través de representantes compatibles como en el grupoide de pares. ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (P\times P)/G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (p,q)\in P\times P}$
• Toda foliación sobre una variedad define dos grupoides de Lie, (o ) y , llamados respectivamente grupoide de monodromía/homotopía/fundamental y grupoide de holonomía de , cuyos morfismos consisten en la homotopía , respectivamente holonomía , clases de equivalencia de caminos que yacen enteramente en una hoja de . Por ejemplo, cuando es la foliación trivial con una sola hoja, se recupera, respectivamente, el grupoide fundamental y el grupoide de pares de . Por otra parte, cuando es una foliación simple, es decir, la foliación por fibras (conectadas) de una inmersión , su grupoide de holonomía es precisamente el grupoide de inmersión pero su grupoide de monodromía puede incluso no ser de Hausdorff, debido a un criterio general en términos de ciclos evanescentes. ^[9] En general, muchas foliaciones elementales dan lugar a grupoides de monodromía y holonomía que no son de Hausdorff. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \mu :M\to N}$ ${\displaystyle M\times _{\mu }M}$
• Dado cualquier pseudogrupo , existe un grupoide de Lie , llamado su grupoide germen , dotado de la topología de haz y con funciones de estructura análogas a las del grupoide jet. Este es otro ejemplo natural de grupoide de Lie cuyo espacio de flechas no es numerable en Hausdorff ni en segundo lugar. ${\displaystyle \Gamma \subseteq \mathrm {Diff} _{loc}(M)}$ ${\displaystyle G=\mathrm {Germ} (\Gamma )\rightrightarrows M}$

Clases importantes de grupoides de Lie

Tenga en cuenta que algunas de las siguientes clases ya tienen sentido en la categoría de grupoides teóricos de conjuntos o topológicos .

Grupoides transitivos

Un grupoide de Lie es transitivo (en la literatura antigua también llamado conexo) si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• Sólo hay una órbita;
• existe al menos un morfismo entre dos objetos cualesquiera;
• El mapa (también conocido como el ancla de ) es sobreyectivo. ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Los grupoides de calibración constituyen los ejemplos prototípicos de grupoides de Lie transitivos: de hecho, cualquier grupoide de Lie transitivo es isomorfo al grupoide de calibración de algún fibrado principal, es decir, el -fibrado , para cualquier punto . Por ejemplo: ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle t:s^{-1}(x)\to M}$ ${\displaystyle x\in M}$

• El grupoide de Lie trivial es transitivo y surge del fibrado principal trivial . Como casos particulares, los grupos de Lie y los grupoides de pares son trivialmente transitivos y surgen, respectivamente, del fibrado principal y del fibrado principal ; ${\displaystyle M\times G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times M\to M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\to {*}}$ ${\displaystyle \{e\}}$ ${\displaystyle M\to M}$
• un grupoide de acción es transitivo si y sólo si la acción del grupo es transitiva , y en tal caso surge del fibrado principal con grupo de estructura el grupo de isotropía (en un punto arbitrario); ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\to M}$
• El grupoide lineal general de es transitivo y surge del fibrado marco ; ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle Fr(E)\to M}$
• Los grupoides de retroceso, los grupoides de chorro y los grupoides tangentes de son transitivos si y solo si son transitivos. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Como un ejemplo menos trivial de la correspondencia entre los grupoides de Lie transitivos y los fibrados principales, considere el grupoide fundamental de una variedad lisa (conexa) . Este es naturalmente un grupoide topológico, que además es transitivo; se puede ver que es isomorfo al grupoide de calibración de la cubierta universal de . En consecuencia, hereda una estructura lisa que lo convierte en un grupoide de Lie. ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

Los grupoides de inmersión son un ejemplo de grupoides de Lie no transitivos, cuyas órbitas son precisamente las fibras de . ${\displaystyle M\times _{\mu }M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu }$

Una noción más fuerte de transitividad requiere que el ancla sea una inmersión sobreyectiva. Esta condición también se llama trivialidad local , porque se vuelve localmente isomorfa (como grupoide de Lie) a un grupoide trivial sobre cualquier abierto (como consecuencia de la trivialidad local de los fibrados principales). ^[6] ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle U\subseteq M}$

Cuando el espacio es numerable en segundo lugar, la transitividad implica trivialidad local. Por consiguiente, estas dos condiciones son equivalentes para muchos ejemplos, pero no para todos: por ejemplo, si es un pseudogrupo transitivo, su grupoide germen es transitivo, pero no trivial localmente. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {Germ} (\Gamma )}$

Grupoides adecuados

Un grupoide de Lie se llama propio si es una función propia . Como consecuencia ${\displaystyle (s,t):G\to M\times M}$

• todos los grupos de isotropía de son compactos ; ${\displaystyle G}$
• todas las órbitas de son subvariedades cerradas; ${\displaystyle G}$
• El espacio de la órbita es Hausdorff . ${\displaystyle M/G}$

Por ejemplo:

• un grupo de Lie es propio si y sólo si es compacto;
• Los grupoides pares son siempre propios;
• Los grupoides unitarios son siempre propios;
• un grupoide de acción es propio si y sólo si la acción es propia ;
• El grupoide fundamental es propio si y sólo si los grupos fundamentales son finitos .

Como se ha visto anteriormente, la propiedad de los grupoides de Lie es el análogo "correcto" de la compacidad de los grupos de Lie. También se podrían considerar condiciones más "naturales", por ejemplo, pedir que la función fuente sea apropiada (en ese caso , se denomina s-propia ), o que todo el espacio sea compacto (en ese caso, se denomina compact ), pero estos requisitos resultan demasiado estrictos para muchos ejemplos y aplicaciones. ^[10] ${\displaystyle s:G\to M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Étala groupoids

Un grupoide de Lie se denomina étale si satisface una de las siguientes condiciones equivalentes:

• las dimensiones de y son iguales; ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$
• ${\displaystyle s}$es un difeomorfismo local ;
• Todas las fibras son discretas. ${\displaystyle s}$

Como consecuencia de ello, también las fibras β, los grupos de isotropía y las órbitas se vuelven discretos. ${\displaystyle t}$

Por ejemplo:

• un grupo de Lie es étale si y sólo si es discreto;
• los grupoides de pares nunca son étale;
• los grupoides unitarios son siempre étale;
• un grupoide de acción es étale si y sólo si es discreto; ${\displaystyle G}$
• Los grupoides germinales de los pseudogrupos son siempre étales.

Grupos efectivos

Un grupoide de estrellas se denomina efectivo si, para dos bisecciones locales cualesquiera , la condición implica . Por ejemplo: ${\displaystyle b_{1},b_{2}}$ ${\displaystyle t\circ b_{1}=t\circ b_{2}}$ ${\displaystyle b_{1}=b_{2}}$

• Los grupos de mentiras son efectivos si y sólo si son triviales;
• Los grupoides unitarios siempre son efectivos;
• Un grupoide de acción es efectivo si la -acción es libre y es discreta. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

En general, cualquier grupoide étale efectivo surge como el grupoide germen de algún pseudogrupo. ^[11] Sin embargo, también se puede dar una definición (más compleja) de efectividad, que no asume la propiedad étale.

Grupoides conectados a la fuente

Un grupoide de Lie se llama -conexo si todas sus -fibras están conexas . De manera similar, se habla de grupoides -simplemente conexos (cuando las -fibras están simplemente conexas ) o grupoides source-k-conexos (cuando las -fibras están k-conexas , es decir, los primeros grupos de homotopía son triviales). ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle k}$

Obsérvese que no se exige que todo el espacio de flechas satisfaga ninguna hipótesis de conectividad. Sin embargo, si es un grupoide de Lie conexo con la fuente sobre una variedad conexa, entonces él mismo es automáticamente conexo. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$

Por ejemplo

• Los grupos de Lie están conectados en fuente si y sólo si están conectados; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$
• un grupoide de pares está conectado en la fuente si y solo si está conectado; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle k}$
• Los grupoides unitarios siempre están conectados a la fuente; ${\displaystyle k}$
• Los grupoides de acción están conectados a la fuente si y solo si están conectados; ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle k}$
• Los grupoides monodromía (y por lo tanto también grupoides fundamentales) están simplemente conectados por fuente;
• un grupoide de calibre asociado a un fibrado principal está conectado a una fuente si y solo si el espacio total es. ${\displaystyle P\to M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle P}$

Otros conceptos relacionados

Acciones y paquetes principales

Recordemos que una acción de un grupoide sobre un conjunto a lo largo de una función se define mediante una colección de aplicaciones para cada morfismo entre . En consecuencia, una acción de un grupoide de Lie sobre una variedad a lo largo de una aplicación suave consiste en una acción de grupoide donde las aplicaciones son suaves. Por supuesto, para cada hay una acción suave inducida del grupo de isotropía sobre la fibra . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y),\quad p\mapsto g\cdot p}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle x,y\in M}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mu :P\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)\to \mu ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle x\in M}$ ${\displaystyle G_{x}}$ ${\displaystyle \mu ^{-1}(x)}$

Dado un grupoide de Lie , un fibrado principal consiste en un espacio y una inmersión sobreyectiva invariante tal que es un difeomorfismo. Se pueden dar definiciones equivalentes (pero más complejas) utilizando cociclos con valores o trivializaciones locales. ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \pi :P\to N}$ $${\displaystyle P\times _{N}G\to P\times _{\pi }P,\quad (p,g)\mapsto (p,p\cdot g)}$$ ${\displaystyle G}$

Cuando un grupoide de Lie se encuentra sobre un punto, se recuperan, respectivamente, las acciones estándar del grupo de Lie y los fibrados principales . ${\displaystyle G}$

Representaciones

Una representación de un grupoide de Lie consiste en una acción de grupoide de Lie sobre un fibrado vectorial , de modo que la acción es lineal a lo largo de toda la fibra, es decir, cada biyección es un isomorfismo lineal. De manera equivalente, una representación de sobre puede describirse como un morfismo de grupoide de Lie de al grupoide lineal general . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \pi :E\to M}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(x)\to \pi ^{-1}(y)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle GL(E)}$

Por supuesto, cualquier fibra se convierte en una representación del grupo de isotropía . En términos más generales, las representaciones de los grupoides de Lie transitivos están determinadas únicamente por las representaciones de sus grupos de isotropía, a través de la construcción del fibrado vectorial asociado . ${\displaystyle E_{x}}$ ${\displaystyle G_{x}}$

Algunos ejemplos de representaciones de grupoides de Lie incluyen los siguientes:

• Las representaciones de los grupos de Lie recuperan las representaciones estándar de los grupos de Lie. ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$
• Las representaciones de grupoides de pares son fibrados vectoriales triviales. ${\displaystyle M\times M\rightrightarrows M}$
• Las representaciones de los grupoides unitarios son fibrados vectoriales. ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$
• Las representaciones del grupoide de acción son : fibrados vectoriales equivariantes . ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle G}$
• Las representaciones de los grupoides fundamentales son fibrados vectoriales dotados de conexiones planas. ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$

El conjunto de clases de isomorfismo de representaciones de un grupoide de Lie tiene una estructura natural de semianillo , con sumas directas y productos tensoriales de fibrados vectoriales. ${\displaystyle \mathrm {Rep} (G)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Cohomología diferenciable

La noción de cohomología diferenciable para los grupos de Lie se generaliza naturalmente también a los grupoides de Lie: la definición se basa en la estructura simplicial del nervio de , visto como una categoría. ${\displaystyle N(G)_{n}=G^{(n)}}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$

Más precisamente, recordemos que el espacio consiste en cadenas de morfismos componibles, es decir ${\displaystyle G^{(n)}}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle G^{(n)}:=\{(g_{1},\ldots ,g_{n})\in G\times \ldots \times G\mid s(g_{i})=t(g_{i+1})\quad \forall i=1,\ldots ,n-1\},}$

y considere el mapa . ${\displaystyle t^{(n)}=t\circ \mathrm {pr} _{1}:G^{(n)}\to M,(g_{1},\ldots ,g_{n})\mapsto t(g_{1})}$

Una cocadena diferenciable ${\displaystyle n}$ de con coeficientes en alguna representación es una sección suave del fibrado vectorial de pullback . Se denota por el espacio de tales cocadenas y se considera el diferencial , definido como ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle (t^{(n)})^{*}E\to G^{(n)}}$ ${\displaystyle C^{n}(G,E)}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d_{n}:C^{n}(G,E)\to C^{n+1}(G,E)}$

${\displaystyle d_{n}(c)(g_{1},\ldots ,g_{n+1}):=g_{1}\cdot c(g_{2},\ldots ,g_{n+1})+\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i}c(g_{1},\ldots ,g_{i}g_{i+1},\ldots ,g_{n+1})+(-1)^{n+1}c(g_{1},\ldots ,g_{n}).}$

Entonces se convierte en un complejo de cocadena y su cohomología, denotada por , se llama cohomología diferenciable de con coeficientes en . Nótese que, dado que la diferencial en grado cero es , uno siempre tiene . ${\displaystyle (C^{n}(G,E),d^{n})}$ ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle E\to M}$ ${\displaystyle d_{0}(c)(g)=g\cdot c(s(g))-c(t(g))}$ ${\displaystyle H_{d}^{0}(G,E)=\ker(d_{0})=\Gamma (E)^{G}}$

Por supuesto, la cohomología diferenciable de como grupoide de Lie coincide con la cohomología diferenciable estándar de como grupo de Lie (en particular, para grupos discretos se recupera la cohomología de grupo habitual ). Por otra parte, para cualquier grupoide de Lie propio , se puede demostrar que para cada . ^[12] ${\displaystyle G\rightrightarrows {*}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle H_{d}^{n}(G,E)=0}$ ${\displaystyle n>0}$

El algebroide de Lie de un grupoide de Lie

Cualquier grupoide de Lie tiene asociado un álgebroide de Lie , obtenido con una construcción similar a la que asocia un álgebra de Lie a cualquier grupo de Lieː ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle A\to M}$

• El fibrado vectorial es el fibrado vertical con respecto al mapa fuente, restringido a los elementos tangentes a las identidades, es decir ; ${\displaystyle A\to M}$ ${\displaystyle A:=\ker(ds)_{\mid M}}$
• El corchete de Lie se obtiene identificándose con los campos vectoriales invariantes por la izquierda en , y transportando su corchete de Lie a ; ${\displaystyle \Gamma (A)}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle A}$
• El mapa de anclaje es el diferencial del mapa de destino restringido a . ${\displaystyle A\to TM}$ ${\displaystyle t:G\to M}$ ${\displaystyle A}$

La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie se generaliza hasta cierto punto también a los grupoides de Lie: los dos primeros teoremas de Lie (también conocidos como el teorema de subgrupos-subálgebras y el teorema de homomorfismos) se pueden adaptar fácilmente a este contexto.

En particular, como en la teoría de Lie estándar, para cualquier grupoide de Lie s-conexo existe un único grupoide de Lie s-simplemente conexo (salvo isomorfismo) con el mismo algebroide de Lie de , y un difeomorfismo local que es un morfismo de grupoide. Por ejemplo, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\tilde {G}}\to G}$

• dada cualquier variedad conexa, su grupoide de pares es s-conexo pero no s-simplemente conexo, mientras que su grupoide fundamental sí lo es. Ambos tienen el mismo algebroide de Lie, es decir, el fibrado tangente , y el difeomorfismo local está dado por . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M\times M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)}$ ${\displaystyle TM\to M}$ ${\displaystyle \Pi _{1}(M)\to M\times M}$ ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto (\gamma (0),\gamma (1))}$
• dada cualquier foliación en , su grupoide de holonomía es s-conexo pero no s-simplemente conexo, mientras que su grupoide de monodromía lo es. Ambos tienen el mismo algebroide de Lie, es decir, el algebroide de foliación , y el difeomorfismo local está dado por (ya que las clases de homotopía son más pequeñas que las de holonomía). ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to M}$ ${\displaystyle \mathrm {Mon} ({\mathcal {F}})\to \mathrm {Hol} ({\mathcal {F}})}$ ${\displaystyle [\gamma ]\mapsto [\gamma ]}$

Sin embargo, no existe un análogo del tercer teorema de Lie ː mientras que varias clases de álgebroides de Lie son integrables, hay ejemplos de álgebroides de Lie, por ejemplo relacionados con la teoría de foliación , que no admiten un grupoide de Lie integrante. ^[13] Las obstrucciones generales a la existencia de tal integración dependen de la topología de . ^[14] ${\displaystyle G}$

Equivalencia de Morita

Como se ha comentado anteriormente, la noción estándar de (iso)morfismo de los grupoides (considerados como funtores entre categorías ) se limita naturalmente a los grupoides de Lie. Sin embargo, existe una noción más burda de equivalencia, denominada equivalencia de Morita, que es más flexible y útil en las aplicaciones.

En primer lugar, una función Morita (también conocida como equivalencia débil o equivalencia esencial) entre dos grupoides de Lie y consiste en un morfismo de grupoide de Lie de G a H que además es completamente fiel y esencialmente sobreyectivo (adaptando estas nociones categóricas al contexto suave). Decimos que dos grupoides de Lie y son equivalentes a Morita si y solo si existe un tercer grupoide de Lie junto con dos funciones Morita de G a K y de H a K . ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$ ${\displaystyle K_{1}\rightrightarrows K_{0}}$

Una descripción más explícita de la equivalencia de Morita (por ejemplo, útil para comprobar que se trata de una relación de equivalencia ) requiere la existencia de dos inmersiones sobreyectivas y, junto con una acción izquierda y una acción derecha, conmutando entre sí y formando un bifibrado principal. ^[15] ${\displaystyle P\to G_{0}}$ ${\displaystyle P\to H_{0}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle P}$

Invariancia de Morita

Muchas propiedades de los grupoides de Lie, por ejemplo, ser propio, ser Hausdorff o ser transitivo, son invariantes de Morita. Por otro lado, ser étale no es invariante de Morita.

Además, una equivalencia de Morita entre y conserva su geometría transversal , es decir, induce: ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle H_{1}\rightrightarrows H_{0}}$

• un homeomorfismo entre los espacios de órbitas y ; ${\displaystyle G_{0}/G_{1}}$ ${\displaystyle H_{0}/H_{1}}$
• un isomorfismo entre los grupos de isotropía en los puntos correspondientes y ; ${\displaystyle G_{x}\cong H_{y}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle y\in H_{0}}$
• un isomorfismo entre las representaciones normales de los grupos de isotropía en los puntos correspondientes y . ${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}\cong {\mathcal {N}}_{y}}$ ${\displaystyle x\in G_{0}}$ ${\displaystyle y\in H_{0}}$

Por último, las cohomologías diferenciables de dos grupoides de Lie equivalentes de Morita son isomorfas. ^[12]

Ejemplos

• Los grupoides de Lie isomorfos son trivialmente equivalentes a Morita.
• Dos grupos de Lie son equivalentes de Morita si y solo si son isomorfos como grupos de Lie.
• Dos grupoides unitarios son equivalentes de Morita si y solo si las variedades base son difeomórficas.
• Cualquier grupoide de Lie transitivo es equivalente de Morita a sus grupos de isotropía.
• Dado un grupoide de Lie y una inmersión sobreyectiva , el grupoide de retroceso es equivalente a Morita a . ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle \mu :N\to M}$ ${\displaystyle \mu ^{*}G\rightrightarrows N}$ ${\displaystyle G\rightrightarrows M}$
• Dado un grupo de Lie libre y propio de acción de en (por lo tanto, el cociente es una variedad), el grupoide de acción es equivalente de Morita al grupoide unidad . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M/G}$ ${\displaystyle G\times M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle u(M/G)\rightrightarrows M/G}$
• Un grupoide de Lie es equivalente de Morita a un grupoide de étale si y solo si todos los grupos de isotropía son discretos. ^[16] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Un ejemplo concreto del último ejemplo es el siguiente. Sea M una variedad suave y una cubierta abierta de . Su grupoide de Čech está definido por las uniones disjuntas y , donde . La función fuente y la función destino se definen como las incrustaciones y , y la multiplicación es la obvia si leemos los como subconjuntos de M (los puntos compatibles en y en realidad son los mismos en y también se encuentran en ). El grupoide de Čech es, de hecho, el grupoide de pullback, bajo la inmersión obvia , del grupoide unidad . Como tal, los grupoides de Čech asociados a diferentes cubiertas abiertas de son equivalentes de Morita. ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G_{1}\rightrightarrows G_{0}}$ ${\displaystyle G_{0}:=\bigsqcup _{\alpha }U_{\alpha }}$ ${\displaystyle G_{1}:=\bigsqcup _{\alpha ,\beta }U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }=U_{\alpha }\cap U_{\beta }\subset M}$ ${\displaystyle s:U_{\alpha \beta }\to U_{\alpha }}$ ${\displaystyle t:U_{\alpha \beta }\to U_{\beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle U_{\beta \gamma }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{\alpha \gamma }}$ ${\displaystyle p:G_{0}\to M}$ ${\displaystyle M\rightrightarrows M}$ ${\displaystyle M}$

Pilas lisas

La investigación de la estructura del espacio de órbitas de un grupoide de Lie conduce a la noción de una pila lisa. Por ejemplo, el espacio de órbitas es una variedad lisa si los grupos de isotropía son triviales (como en el ejemplo del grupoide de Čech), pero no es lisa en general. La solución es invertir el problema y definir una pila lisa como una clase de equivalencia de Morita de grupoides de Lie. Los objetos geométricos naturales que viven en la pila son los objetos geométricos de los grupoides de Lie invariantes bajo la equivalencia de Morita: un ejemplo es la cohomología de grupoides de Lie.

Dado que el concepto de pila lisa es bastante general, obviamente todas las variedades lisas son pilas lisas. Otras clases de ejemplos incluyen orbifolds , que son (clases de equivalencia de) grupoides de Lie étale propios, y espacios de órbitas de foliaciones.

Referencias

1. Weinstein, Alan (3 de febrero de 1996). "Grupoides: unificación de la simetría interna y externa" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 43 : 744–752. arXiv : math/9602220 .
2. Ehresmann, Charles (1959). "Catégories topologiques et groups différentiables" [Categorías topológicas y categorías diferenciables] (PDF) . Colloque de Géométrie différentielle globale (en francés). CBRM, Bruselas: 137-150.
3. Ehresmann, Charles (1963). "Catégories structurées" [Categorías estructuradas]. Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure (en francés). 80 (4): 349–426. doi : 10.24033/asens.1125 .
4. Pradines, Jean (1966). "Théorie de Lie pour les groupoïdes dif́férentiables. Relations entre propriétés locales et globales" [Teoría de la mentira para grupoides diferenciables. Relaciones entre propiedades locales y globales. CR Acad. Ciencia. París (en francés). 263 : 907–910 - vía Gallica .
5. Kumpera, Antonio; Spencer, Donald Clayton (2 de marzo de 2016). Ecuaciones de Lie, vol. I. Princeton University Press. doi :10.1515/9781400881734. ISBN 978-1-4008-8173-4.
6. Mackenzie, K. (1987). Grupoides de Lie y álgebroides de Lie en geometría diferencial. Serie de notas de conferencias de la London Mathematical Society. Cambridge: Cambridge University Press. doi :10.1017/cbo9780511661839. ISBN 978-0-521-34882-9.
7. Contreras, Ivan; Fernandes, Rui Loja (28 de junio de 2021). "Integración de géneros, abelianización y monodromía extendida". International Mathematics Research Notices . 2021 (14): 10798–10840. arXiv : 1805.12043 . doi : 10.1093/imrn/rnz133 . ISSN  1073-7928.
8. Albert, Claude; Dazord, Pierre; Weinstein, Alan (1987). "Groupoïdes Symplectiques" [Grupoides simplécticos]. Pub. Dept. Math. Lyon (en francés) (2A): 1–62 – vía NUMDAM  [fr] .
9. Cuesta, F. Alcalde; Héctor, G. (1 de septiembre de 1997). "Feuilletages en Surfaces, Cycles évanouissants et variétés de Poisson" [Foliaciones sobre superficies, ciclos de fuga y variedades de Poisson]. Monatshefte für Mathematik (en francés). 124 (3): 191–213. doi :10.1007/BF01298244. ISSN  1436-5081. S2CID  119369484.
10. Craínico, Marius ; Loja Fernández, Rui ; Martínez Torres, David (01-11-2019). "Múltiples Poisson de tipos compactos (PMCT 1)". Journal für die reine und angewandte Mathematik (Diario de Crelle) . 2019 (756): 101–149. arXiv : 1510.07108 . doi :10.1515/crelle-2017-0006. ISSN  1435-5345. S2CID  7668127.
11. Haefliger, André (1 de diciembre de 1958). "Structures feuilletées et cohomologie à valeur dans un faisceau de groupoïdes" [Estructuras foliadas y cohomología tomando valores en un haz de grupoides]. Commentarii Mathematici Helvetici (en francés). 32 (1): 248–329. doi :10.1007/BF02564582. ISSN  1420-8946. S2CID  121138118.
12. Crainic, Marius (31 de diciembre de 2003). "Cohomología diferenciable y algebroide, isomorfismos de Van Est y clases características". Comentarios Mathematici Helvetici . 78 (4): 681–721. arXiv : matemáticas/0008064 . doi : 10.1007/s00014-001-0766-9 . ISSN  0010-2571.
13. Almeida, Rui; Molino, Pierre (1985). "Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complets" [Secuencias de Atiyah y foliaciones transversalmente completas]. Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I (en francés). 300 : 13-15 - vía Gallica .
14. Crainic, Marius ; Fernandes, Rui (1 de marzo de 2003). "Integrabilidad de los corchetes de Lie". Anales de Matemáticas . 157 (2): 575–620. arXiv : math/0105033 . doi : 10.4007/annals.2003.157.575 . ISSN  0003-486X.
15. del Hoyo, Matias (2013). "Grupoides de Lie y sus orbispacios". Portugaliae Mathematica . 70 (2): 161–209. arXiv : 1212.6714 . doi :10.4171/PM/1930. ISSN  0032-5155.
16. Crainic, Marius ; Moerdijk, Ieke (10 de febrero de 2001). "Grupoides de foliación y su homología cíclica". Avances en Matemáticas . 157 (2): 177–197. arXiv : math/0003119 . doi : 10.1006/aima.2000.1944 . ISSN  0001-8708.

Libros

• Weinstein, A. (1996). "Grupoides: unificación de la simetría interna y externa" (PDF) . Avisos de la American Mathematical Society . 43 : 744–752. arXiv : math/9602220 .
• MacKenzie, K. (1987). Grupoides de Lie y álgebroides de Lie en geometría diferencial . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511661839. ISBN . 9780521348829.
• MacKenzie, KCH (2005). Teoría general de los grupoides de Lie y los álgebroides de Lie . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781107325883. ISBN . 9781107325883.
• Crainic, M.; Fernandes, RL (2011). "Conferencias sobre integrabilidad de corchetes de Lie" (PDF) . Monografías de geometría y topología . 17 : 1–107. arXiv : math/0611259 .
• Moerdijk, I.; Mrcun, J. (2003). Introducción a las foliaciones y los grupoides de Lie . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511615450. ISBN 9780521831970.