Foliación

En matemáticas, un tipo de relación de equivalencia en una n-variedad

Sección bidimensional de la foliación de Reeb.

Modelo tridimensional de la foliación de Reeb.

En matemáticas ( geometría diferencial ), una foliación es una relación de equivalencia en una n -variedad , siendo las clases de equivalencia conectadas, subvariedades inmersas inyectivamente , todas de la misma dimensión p , modeladas sobre la descomposición del espacio de coordenadas real R ⁿ en las clases laterales x + R ^p del subespacio incrustado estándar R ^p . Las clases de equivalencia se denominan hojas de la foliación. ^{[1] Si se} requiere que la variedad y/o las subvariedades tengan una estructura lineal por partes , diferenciable (de clase Cr ) o analítica , entonces se definen foliaciones lineales por partes, diferenciables o analíticas, respectivamente. En el caso más importante de foliación diferenciable de clase C ^r se suele entender que r ≥ 1 (en caso contrario, C ⁰ es una foliación topológica). ^[2] El número p (la dimensión de las hojas) se llama dimensión de la foliación y q = n − p se llama codimensión .

En algunos artículos sobre relatividad general escritos por físicos matemáticos, el término foliación (o corte ) se utiliza para describir una situación en la que la variedad de Lorentz relevante (un espacio-tiempo dimensional ( p +1) ) se ha descompuesto en hipersuperficies de dimensión p , especificada como los conjuntos de niveles de una función suave de valor real ( campo escalar ) cuyo gradiente es distinto de cero en todas partes; Además, generalmente se supone que esta función suave es una función de tiempo, lo que significa que su gradiente es en todas partes similar al tiempo , de modo que sus conjuntos de niveles son todos hipersuperficies similares al espacio. En deferencia a la terminología matemática estándar, estas hipersuperficies a menudo se denominan hojas (o, a veces, rodajas ) de la foliación. ^[3] Tenga en cuenta que si bien esta situación constituye una foliación de codimensión-1 en el sentido matemático estándar, los ejemplos de este tipo son en realidad globalmente triviales; Si bien las hojas de una foliación (matemática) de codimensión 1 son siempre localmente los conjuntos de niveles de una función, generalmente no pueden expresarse de esta manera globalmente, ^{[4] [5]} como una hoja puede pasar a través de un gráfico de trivialización local infinitas veces. veces, y la holonomía alrededor de una hoja también puede obstruir la existencia de funciones definitorias globalmente consistentes para las hojas. Por ejemplo, mientras que la 3-esfera tiene una famosa foliación de codimensión-1 descubierta por Reeb, una foliación de codimensión-1 de una variedad cerrada no puede ser dada por los conjuntos de niveles de una función suave, ya que una función suave en una variedad cerrada necesariamente tiene puntos críticos en sus máximos y mínimos.

Cartas foliadas y atlas.

Para dar una definición más precisa de foliación es necesario definir algunos elementos auxiliares.

Un gráfico foliado tridimensional con n = 3 y q = 1. Las placas son bidimensionales y las transversales son unidimensionales.

Una vecindad rectangular en R ⁿ es un subconjunto abierto de la forma B = J ₁ × ⋅⋅⋅ × J _n , donde J _i es un intervalo relativamente abierto (posiblemente ilimitado) en el i -ésimo eje de coordenadas. Si J ₁ es de la forma ( a ,0], se dice que B tiene frontera ^[6]

${\displaystyle \partial B=\left\{\left(0,x^{2},\ldots ,x^{n}\right)\in B\right\}.}$

En la siguiente definición, se consideran gráficos de coordenadas que tienen valores en R ^p × R ^q , permitiendo la posibilidad de variedades con límites y esquinas ( convexas ).

Un gráfico foliado en la n -variedad M de codimensión q es un par ( U , φ ), donde U ⊆ M es abierto y es un difeomorfismo , siendo una vecindad rectangular en R ^q y una vecindad rectangular en R ^p . El conjunto P _y = φ ⁻¹ ( B _τ × { y }), donde , se llama placa de esta carta foliada. Para cada x ∈ B _τ , el conjunto S _x = φ ⁻¹ ({ x } × ) se llama transversal de la carta foliada. El conjunto ∂ _τ U = φ ⁻¹ ( B _τ × ( ∂ )) se llama límite tangencial de U y = φ ⁻¹ (( ∂B _τ ) × ) se llama límite transversal de U . ^[7] ${\displaystyle \varphi :U\to B_{\tau }\times B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\tau }}$ ${\displaystyle y\in B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

La carta foliada es el modelo básico para todas las foliaciones, siendo las placas las hojas. La notación B _τ se lee como " B -tangencial" y como " B -transversal". También hay varias posibilidades. Si ambos y B _τ tienen un límite vacío, el gráfico foliado modela codimensión- q foliaciones de n -colectores sin límite. Si uno de estos vecindarios rectangulares, pero no ambos, tiene límite, el gráfico foliado modela las diversas posibilidades de foliaciones de n -variedades con límite y sin esquinas. Específicamente, si ∂ ≠ ∅ = ∂B _τ , entonces ∂U = ∂ _τ U es una unión de placas y la foliación por placas es tangente al límite. Si ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ , entonces ∂U = es una unión de transversales y la foliación es transversal al límite. Finalmente, si ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ , este es un modelo de variedad foliada con una esquina que separa el límite tangencial del límite transversal. ^[7] ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle \partial _{\pitchfork }U}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

( a ) Foliación tangente al límite ∂ ≠ ∅ = ∂B _τ ; ( b ) Foliación transversal al límite ∂B _τ ≠ ∅ = ∂ ; ( c ) Foliación con una esquina que separa el límite tangencial del límite transversal ∂ ≠ ∅ ≠ ∂B _τ . ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$ ${\displaystyle B_{\pitchfork }}$

Un atlas foliado de codimensión q y clase C ^r (0 ≤ r ≤ ∞) en la n -colector M es un atlas C ^r de cartas foliadas de codimensión q que están foliadas coherentemente en el sentido de que, siempre que P y Q sean placas en distintos gráficos de , entonces P ∩ Q está abierto tanto en P como en Q . ^[8] ${\displaystyle {\mathcal {U}}=\{(U_{\alpha },\varphi _{\alpha })\mid \alpha \in A\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$

Una forma útil de reformular la noción de gráficos foliados coherentemente es escribir para w ∈ U _α ∩ U _β ^[9]

${\displaystyle \varphi _{\alpha }(w)=\left(x_{\alpha }(w),y_{\alpha }(w)\right)\in B_{\tau }^{\alpha }\times B_{\pitchfork }^{\alpha },}$

${\displaystyle \varphi _{\beta }(w)=\left(x_{\beta }(w),y_{\beta }(w)\right)\in B_{\tau }^{\beta }\times B_{\pitchfork }^{\beta }.}$

La notación ( U _α , φ _α ) a menudo se escribe ( U _α , x _α , y _α ), con ^[9]

${\displaystyle x_{\alpha }=\left(x_{\alpha }^{1},\dots ,x_{\alpha }^{p}\right),}$

${\displaystyle y_{\alpha }=\left(y_{\alpha }^{1},\dots ,y_{\alpha }^{q}\right).}$

En φ _β ( U _α ∩ U _β ) la fórmula de coordenadas se puede cambiar como ^[9]

${\displaystyle g_{\alpha \beta }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\varphi _{\alpha }\circ \varphi _{\beta }^{-1}\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)=\left(x_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right),y_{\alpha }\left(x_{\beta },y_{\beta }\right)\right).}$

Cada una de las placas de U _α se encuentra con dos placas de U _β .

La condición de que ( U _α , x _α , y _α ) y ( U _β , x _β , y _β ) estén foliadas coherentemente significa que, si P ⊂ U _α es una placa, los componentes conectados de P ∩ U _β se encuentran en ( posiblemente distintas) placas de U _β . De manera equivalente, dado que las placas de U _α y U _β son conjuntos de niveles de las coordenadas transversales y _α e y _β , respectivamente, cada punto z ∈ U _α ∩ U _β tiene una vecindad en la que se aplica la fórmula

${\displaystyle y_{\alpha }=y_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta })=y_{\alpha }(y_{\beta })}$

es independiente de x _β . ^[9]

El uso principal de los atlas foliados es unir sus placas superpuestas para formar las hojas de una foliación. Para este y otros propósitos, la definición general de atlas foliado anterior es un poco torpe. Un problema es que una placa de ( U _α , φ _α ) puede encontrarse con múltiples placas de ( U _β , φ _β ). Incluso puede suceder que una placa de un mapa se encuentre con infinitas placas de otro mapa. Sin embargo, no se pierde ninguna generalidad al suponer que la situación es mucho más regular, como se muestra a continuación.

Dos atlas foliados y en M de la misma codimensión y clase de suavidad C ^r son coherentes si se trata de un atlas C ^r foliado . La coherencia de los atlas foliados es una relación de equivalencia. ^[9] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle \left({\mathcal {U}}\thickapprox {\mathcal {V}}\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}\cup {\mathcal {V}}}$

Gráficos de muestra en un atlas foliado normal.

También son abiertas las placas y transversales definidas anteriormente en conjuntos abiertos. Pero también se puede hablar de placas cerradas y transversales. Es decir, si ( U , φ ) y ( W , ψ ) son gráficos foliados tales que (el cierre de U ) es un subconjunto de W y φ = ψ | U entonces, si se puede ver que , escrito , lleva difeomorficamente a ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle \varphi (U)=B_{\tau }\times B_{\pitchfork },}$ ${\displaystyle \psi |{\overline {U}}}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}}$ ${\displaystyle {\overline {U}}}$ ${\displaystyle {\overline {B}}_{\tau }\times {\overline {B}}_{\pitchfork }.}$

Se dice que un atlas foliado es regular si

1. para cada α ∈ A , es un subconjunto compacto de un gráfico foliado ( W _α , ψ _α ) y φ _α = ψ _α | Uα ;_​ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$
2. la portada { U _α | α ∈ A } es localmente finito ;
3. si ( U _α , φ _α ) y ( U _β , φ _β ) son elementos del atlas foliado, entonces el interior de cada placa cerrada P ⊂ se encuentra como máximo con una placa en ^[11] ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\beta }.}$

Por la propiedad (1), las coordenadas x _α y y _α se extienden a las coordenadas y así sucesivamente y se escribe la Propiedad (3) equivale a exigir que, si U _α ∩ U _β ≠ ∅, los cambios de coordenadas transversales sean independientes de Es decir ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {U}}_{\alpha }}$ ${\displaystyle {\overline {\varphi }}_{\alpha }=\left({\overline {x}}_{\alpha },{\overline {y}}_{\alpha }\right).}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }={\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}_{\beta }.}$

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }={\overline {\varphi }}_{\alpha }\circ {\overline {\varphi }}_{\beta }^{-1}:{\overline {\varphi }}_{\beta }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)\rightarrow {\overline {\varphi }}_{\alpha }\left({\overline {U}}_{\alpha }\cap {\overline {U}}_{\beta }\right)}$

tiene la fórmula ^[11]

${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)=\left({\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right),{\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)\right).}$

Afirmaciones similares se aplican también a los gráficos abiertos (sin líneas superpuestas). El mapa de coordenadas transversales y _α puede verse como una inmersión.

${\displaystyle y_{\alpha }:U_{\alpha }\rightarrow \mathbb {R} ^{q}}$

y las fórmulas y _α = y _α ( y _β ) pueden verse como difeomorfismos

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }:y_{\beta }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right)\rightarrow y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\cap U_{\beta }\right).}$

Estos satisfacen las condiciones del ciclomotor . Es decir, en y _δ ( U _α ∩ U _β ∩ U _δ ),

${\displaystyle \gamma _{\alpha \delta }=\gamma _{\alpha \beta }\circ \gamma _{\beta \delta }}$

y, en particular, ^[12]

${\displaystyle \gamma _{\alpha \alpha }\equiv y_{\alpha }\left(U_{\alpha }\right),}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=\gamma _{\beta \alpha }^{-1}.}$

Utilizando las definiciones anteriores de coherencia y regularidad, se puede demostrar que cada atlas foliado tiene un refinamiento coherente que es regular. ^[13]

Definiciones de foliación

Existen varias definiciones alternativas de foliación dependiendo de la forma en que se logra la foliación. La forma más común de lograr una foliación es mediante descomposición llegando a lo siguiente

Descomposición a través de la función de coordenadas x  : U → R ⁿ .

Definición. Una foliación p -dimensional, clase C ^r de una variedad n -dimensional M es una descomposición de M en una unión de subvariedades conectadas disjuntas { L _α } _{α∈ A} , llamadas hojas de la foliación, con la siguiente propiedad: Cada punto en M tiene una vecindad U y un sistema de coordenadas locales de clase C ^r x =( x ¹ , ⋅⋅⋅, x ⁿ ) : U → R ⁿ tal que para cada hoja L _α , las componentes de U ∩ L _α son descrito por las ecuaciones x ^{p +1} =constante, ⋅⋅⋅, x ⁿ =constante. Una foliación se denota por ={ L _α } _{α∈ A} . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La noción de hojas permite una forma intuitiva de pensar en una foliación. Para una definición un poco más geométrica, la foliación p -dimensional de una n -variedad M puede considerarse simplemente como una colección { M _a } de subvariedades p -dimensionales sumergidas, conectadas y separadas por pares (las hojas de la foliación) de M. , de modo que para cada punto x en M , hay un gráfico con U homeomorfo a R ⁿ que contiene x tal que cada hoja, M _a , se encuentra con U ya sea en el conjunto vacío o en una colección contable de subespacios cuyas imágenes debajo son p - subespacios afines dimensionales cuyas primeras coordenadas n - p son constantes. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle (U,\varphi )}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \varphi (M_{a}\cap U)}$

Localmente, cada foliación es una inmersión que permite lo siguiente

Definición. Sean M y Q variedades de dimensión n y q ≤ n respectivamente, y sea f  : M → Q una inmersión, es decir, supongamos que el rango de la función diferencial (la jacobiana ) es q . Del teorema de la función implícita se deduce que ƒ induce una foliación codimensional- q en M donde las hojas se definen como las componentes de f ⁻¹ ( x ) para x ∈ Q . ^[5]

Esta definición describe una foliación de dimensión p de una variedad M de n dimensiones que está cubierta por gráficos U _i junto con mapas ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to \mathbb {R} ^{n}}$

tal que para pares superpuestos U _i , U _j las funciones de transición φ _ij  : R ⁿ → R ⁿ definidas por

${\displaystyle \varphi _{ij}=\varphi _{j}\varphi _{i}^{-1}}$

coje la forma

${\displaystyle \varphi _{ij}(x,y)=(\varphi _{ij}^{1}(x),\varphi _{ij}^{2}(x,y))}$

donde x denota las primeras coordenadas q = n - p , e y denota las últimas coordenadas p . Eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{ij}^{1}:{}&\mathbb {R} ^{q}\to \mathbb {R} ^{q}\\\varphi _{ij}^{2}:{}&\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{p}\end{aligned}}}$

La división de las funciones de transición φ _ij en y como parte de la inmersión es completamente análoga a la división en y como parte de la definición de un atlas foliado regular. Esto hace posible otra definición de foliaciones en términos de atlas foliados regulares. Para ello, primero hay que demostrar que cada atlas foliado regular de codimensión q está asociado a una foliación única de codimensión q . ^[13] ${\displaystyle \varphi _{ij}^{1}(x)}$ ${\displaystyle \varphi _{ij}^{2}(x,y)}$ ${\displaystyle {\overline {g}}_{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle {\overline {y}}_{\alpha }\left({\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\overline {x}}_{\alpha }\left({\overline {x}}_{\beta },{\overline {y}}_{\beta }\right)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Como se muestra en la prueba, las hojas de la foliación son clases de equivalencia de cadenas de placas de longitud ≤ p , que también son subvariedades p -dimensionales de Hausdorff topológicamente inmersas . A continuación, se muestra que la relación de equivalencia de placas en una hoja se expresa en equivalencia de atlas foliados coherentes respecto de su asociación con una foliación. Más específicamente, si y son atlas foliados en M y si está asociado a una foliación entonces y son coherentes si y sólo si también está asociado a . ^[10] ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Ahora es obvio que la correspondencia entre las foliaciones en M y sus atlas foliados asociados induce una correspondencia uno a uno entre el conjunto de foliaciones en M y el conjunto de clases de coherencia de los atlas foliados o, en otras palabras, una foliación de codimensión. q y clase C ^r en M es una clase de coherencia de atlas foliados de codimensión q y clase C ^r en M . ^[14] Según el lema de Zorn , es obvio que cada clase de coherencia de atlas foliados contiene un atlas foliado máximo único. De este modo, ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Definición. Una foliación de codimensión q y clase C ^r en M es un C ^r -atlas foliado máximo de codimensión q en M . ^[14]

En la práctica, generalmente se utiliza un atlas foliado relativamente pequeño para representar una foliación. Por lo general, también se requiere que este atlas sea regular.

En el gráfico U _i , las franjas x = constante coinciden con las franjas de otros gráficos U _j . Estas subvariedades se unen de un cuadro a otro para formar subvariedades máximas conectadas inyectivamente sumergidas llamadas hojas de la foliación.

Si se reduce el gráfico U _i, se puede escribir como U _ix × U _iy , donde U _ix ⊂ R ^{n − p} , U _iy ⊂ R ^p , U _iy es homeomorfo a las placas, y los puntos de U _ix parametrizan las placas. en U _i . Si se elige y ₀ en U _iy , entonces U _ix × { y ₀ } es una subvariedad de U _i que intersecta cada placa exactamente una vez. Esto se llama sección transversal local de la foliación. Tenga en cuenta que debido a la monodromía, es posible que no existan secciones transversales globales de la foliación.

El caso r = 0 es bastante especial. Las foliaciones de C ⁰ que surgen en la práctica suelen ser de "hojas lisas". Más precisamente, son de clase C ^{r ,0} , en el siguiente sentido.

Definición. Una foliación es de clase C ^r,k , r > k ≥ 0, si la clase de coherencia correspondiente de atlas foliados contiene un atlas foliado regular { U _α , x _α , y _α } _{α∈ A} tal que la fórmula de cambio de coordenadas ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle g_{\alpha \beta }(x_{\beta },y_{\beta })=(x_{\alpha }(x_{\beta },y_{\beta }),y_{\alpha }(y_{\beta })).}$

es de clase C ^k , pero x _α es de clase C ^r en las coordenadas x _β y sus parciales  mixtos x _{β de órdenes ≤} r son C ^k en las coordenadas ( x _β , y _β ). ^[14]

La definición anterior sugiere el concepto más general de espacio foliado o laminación abstracta . Se relaja la condición de que las transversales sean subconjuntos abiertos y relativamente compactos de R ^q , permitiendo que las coordenadas transversales y _α tomen sus valores en algún espacio topológico más general Z . Las placas aún son subconjuntos abiertos, relativamente compactos de R ^p , el cambio de fórmula de coordenadas transversales y _α ( y _β ) es continuo y x _α ( x _β , y _β ) es de clase C ^r en las coordenadas x _β y su mixto Los parciales x _β de órdenes ≤  r son continuos en las coordenadas ( x _β , y _β ). Por lo general, se requiere que M y Z sean localmente compactos, contables en segundo lugar y metrizables. Esto puede parecer una generalización bastante descabellada, pero hay contextos en los que resulta útil. ^[15]

holonomía

Sea ( M , ) una variedad foliada. Si L es una hoja de y s es un camino en L , uno está interesado en el comportamiento de la foliación en una vecindad de s en M. Intuitivamente, un habitante de la hoja camina por los senderos , vigilando todas las hojas cercanas. A medida que avanzan (denotadas en adelante por s ( t )), algunas de estas hojas pueden "desprenderse", saliendo del alcance visual, otras pueden entrar repentinamente en el alcance y aproximarse a L asintóticamente, otras pueden seguir en un sentido más o menos paralelo. moda o viento alrededor de L lateralmente, etc. Si s es un bucle, entonces s ( t ) regresa repetidamente al mismo punto s ( t ₀ ) cuando t va al infinito y cada vez es posible que más y más hojas hayan aparecido en espiral a la vista o fuera de la vista , etc. Este comportamiento, cuando se formaliza adecuadamente, se denomina holonomía de la foliación. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La holonomía se implementa en variedades foliadas de varias maneras específicas: el grupo de holonomía total de haces foliados, el pseudogrupo de holonomía de variedades foliadas generales, el grupo de holonomía germinal de variedades foliadas generales, el grupo de holonomía germinal de una hoja y el grupo de holonomía infinitesimal de una hoja.

haces foliados

El caso de holonomía más fácil de entender es el de la holonomía total de un haz foliado. Ésta es una generalización de la noción de mapa de Poincaré .

Una sección transversal N y el primer mapa de retorno f donde M = S ¹ × D ² y N = D ² .

El término "mapa de primer retorno (recurrencia)" proviene de la teoría de sistemas dinámicos. Sea Φ _t un flujo C ^r no singular ( r  ≥ 1 ) en la variedad n compacta M . En las aplicaciones, se puede imaginar que M es un ciclotrón o algún circuito cerrado con flujo de fluido. Si M tiene un límite, se supone que el flujo es tangente al límite. El flujo genera una foliación unidimensional . Si se recuerda la dirección positiva del flujo, pero se olvida la parametrización (forma de la trayectoria, velocidad, etc. ), se dice que la foliación subyacente está orientada. Supongamos que el flujo admite una sección transversal global N. Es decir, N es una subvariedad C ^r compacta y correctamente incrustada de M de dimensión n  – 1, la foliación es transversal a N y cada línea de flujo se encuentra con N. Debido a que las dimensiones de N y de las hojas son complementarias, la condición de transversalidad es que ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle T_{y}(M)=T_{y}({\mathcal {F}})\oplus T_{y}(N){\text{ for each }}y\in N.}$

Sea y ∈ N y considere el ω - conjunto límite ω( y ) de todos los puntos de acumulación en M de todas las secuencias , donde t _k va al infinito. Se puede demostrar que ω(y) es compacto, no vacío y una unión de líneas de flujo. Si existe un valor t * ∈ R tal que Φ _{t *} ( z ) ∈ N y se sigue que ${\displaystyle \left\{\Phi _{t_{k}}(y)\right\}_{k=1}^{\infty }}$ ${\displaystyle z=\lim _{k\rightarrow \infty }\Phi _{t_{k}}\in \omega (y),}$

${\displaystyle \lim _{k\to \infty }\Phi _{t_{k}+t^{\ast }}(y)=\Phi _{t^{\ast }}(z)\in N.}$

Dado que N es compacto y transversal a N , se deduce que el conjunto { t > 0 | Φ _t ( y ) ∈ N} es una secuencia monótonamente creciente que diverge hasta el infinito. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \{\tau _{k}(y)\}_{k=1}^{\infty }}$

Como varía y ∈ N , sea τ ( y ) = τ ₁ ( y ), definiendo de esta manera una función positiva τ ∈ C ^r ( N ​​) (el primer tiempo de retorno) tal que, para y ∈ N arbitrario , Φ _t ( y ) ∉ N , 0 < t < τ ( y ) y Φ _{τ ( y )} ( y ) ∈ N .

Defina f  : N → N mediante la fórmula f ( y ) = Φ _{τ ( y )} ( y ). Este es un mapa C ^{r .} Si el flujo se invierte, exactamente la misma construcción proporciona el f ⁻¹ inverso ; entonces f ∈ Diff ^r ( N ​​). Este difeomorfismo es el primer mapa de retorno y τ se llama primer tiempo de retorno . Si bien el tiempo del primer retorno depende de la parametrización del flujo, debe ser evidente que f depende únicamente de la foliación orientada . Es posible repararmetrizar el flujo Φ _t , manteniéndolo no singular, de clase C ^r , y no invirtiendo su dirección, de modo que  τ  ≡ 1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

La suposición de que existe una sección transversal N para el flujo es muy restrictiva, lo que implica que M es el espacio total de un haz de fibras sobre S ¹ . De hecho, en R × N , defina ~ _f como la relación de equivalencia generada por

${\displaystyle (t,y)\sim _{f}(t-1,f(y)).}$

De manera equivalente, esta es la equivalencia de órbita para la acción del grupo aditivo Z sobre R × N definida por

${\displaystyle k\cdot (t,y)=(t-k,f^{k}(y)),}$

para cada k ∈ Z y para cada ( t , y ) ∈ R × N . El cilindro de mapeo de f se define como la variedad C ^r

${\displaystyle M_{f}=(\mathbb {R} \times N)/{\sim _{f}}.}$

Por la definición del primer mapa de retorno f y el supuesto de que el primer tiempo de retorno es τ ≡ 1, es inmediato que el mapa

${\displaystyle \Phi :\mathbb {R} \times N\rightarrow M.}$

definido por el flujo, induce un difeomorfismo canónico C ^r

${\displaystyle \varphi :M_{f}\rightarrow M.}$

Si hacemos la identificación M _f = M , entonces la proyección de R × N sobre R induce un mapa C ^r

${\displaystyle \pi :M\rightarrow \mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}}$

eso convierte a M en el espacio total de un haz de fibras sobre el círculo. Esta es solo la proyección de S ¹ × D ² sobre S ¹ . La foliación es transversal a las fibras de este haz y la proyección del haz  π , restringida a cada hoja L , es un mapa de cobertura π  : L → S ¹ . Esto se llama haz foliado . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Tomar como punto base x ₀ ∈ S ¹ la clase de equivalencia 0 + Z ; entonces π ⁻¹ ( x ₀ ) es la sección transversal original N . Para cada bucle s en S ¹ , basado en x ₀ , la clase de homotopía [ s ] ∈ π ₁ ( S ¹ , x ₀ ) se caracteriza únicamente por grados s ∈ Z . El bucle s se eleva hacia una trayectoria en cada línea de flujo y debe quedar claro que el ascenso s _y que comienza en y ∈ N termina en f ^k ( y ) ∈ N , donde k = grados s . El difeomorfismo f ^k ∈ Diff ^r ( N ​​) también se denota por h _s y se llama holonomía total del bucle s . Dado que esto depende sólo de [ s ], esta es una definición de homomorfismo

${\displaystyle h:\pi _{1}(S^{1},x_{0})\rightarrow \operatorname {Diff} ^{\,r}(N),}$

llamado homomorfismo de holonomía total para el haz foliado.

Usando haces de fibras de una manera más directa, sea ( M , ) una variedad n foliada de codimensión q . Sea π  : M → B un haz de fibras con fibra q -dimensional F y un espacio base conectado B . Supongamos que todas estas estructuras son de clase C ^r , 0 ≤ r ≤ ∞, con la condición de que, si r = 0, B soporta una estructura C ^{1 .} Dado que cada atlas C ^{1 máximo en} B contiene un subatlas C ^∞ , no se pierde generalidad al suponer que B es tan suave como se desea. Finalmente, para cada x ∈ B , supongamos que hay una vecindad abierta y conectada U ⊆ B de x y una trivialización local ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi ^{-1}(U)&{\xrightarrow {\varphi }}&U\times {F}\\\scriptstyle {\pi }{\Bigg \downarrow }&{\qquad }&{\Bigg \downarrow }{\scriptstyle {p}}\\U&{\xrightarrow {\text{id}}}&U\end{matrix}}}$

donde φ es un difeomorfismo C ^r (un homeomorfismo, si r = 0) que lleva al producto foliación { U × { y }} _{y  ∈  F} . Aquí, la foliación con hojas es los componentes conectados de L ∩ π ⁻¹ ( U ), donde L abarca las hojas de . Esta es la definición general del término "haz foliado" ( M , ,π ) de clase C ^r . ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ ${\textstyle {\mathcal {F}}\mid \pi ^{-1}(U)}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es transversal a las fibras de π (se dice que es transversal a la fibración) y que la restricción de π a cada hoja L de es un mapa de cobertura π : L → B . En particular, cada fibra F _x = π ⁻¹ ( x ) se encuentra con cada hoja de . La fibra es una sección transversal en completa analogía con la noción de sección transversal de un flujo. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

El hecho de que la foliación sea transversal a las fibras no garantiza, por sí sola, que las hojas estén cubriendo espacios de B . Una versión simple del problema es una foliación de R ² , transversal a la fibración. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} ,}$

${\displaystyle \pi (x,y)=x,}$

pero con infinitas hojas faltando el eje y . En la figura respectiva, se pretende que las hojas "flechadas", y todas las que están encima de ellas, sean asintóticas con respecto al eje x = 0. Esta foliación se llama incompleta en relación con la fibración, lo que significa que algunas de las hojas "se escapan hacia infinito" a medida que el parámetro x ∈ B se aproxima a algún x ₀ ∈ B . Más precisamente, puede haber una hoja L y un camino continuo s  : [0, a ) → L tal que lim _{t → a −} π( s ( t )) = x ₀ ∈ B , pero lim _{t → a −} s ( t ) no existe en la topología múltiple de L . Esto es análogo al caso de flujos incompletos, donde algunas líneas de flujo "van al infinito" en un tiempo finito. Aunque dicha hoja L puede encontrarse en otro lugar con π ⁻¹ ( x ₀ ), no puede cubrir uniformemente una vecindad de x ₀ y, por lo tanto, no puede ser un espacio de cobertura de B bajo π . Sin embargo, cuando F es compacto, es cierto que la transversalidad de la fibración garantiza la integridad, por lo que se trata de un paquete foliado. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\textstyle (M,{\mathcal {F}},\pi )}$

Hay un atlas = { U _α , x _α } _α∈A en B , que consta de gráficos de coordenadas abiertos y conectados, junto con trivializaciones φ _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → U _α × F que llevan |π ⁻¹ ( U _α ) a la foliación del producto. Establezca W _α = π ⁻¹ ( U _α ) y escriba φ _α = ( x _α , y _α ) donde (por abuso de notación) x _α representa x _α ∘ π y y _α  : π ⁻¹ ( U _α ) → F es la inmersión obtenida al componer φ _α con la proyección canónica U _α × F → F . ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

El atlas = { W _α , x _α , y _α } _{α ∈ A} desempeña un papel análogo al de un atlas foliado. Las placas de W _α son los conjuntos de niveles de y _α y esta familia de placas es idéntica a F mediante y _α . Dado que se supone que B soporta una estructura C ^∞ , según el teorema de Whitehead se puede fijar una métrica de Riemann en B y elegir que el atlas sea geodésicamente convexo. Por tanto, U _α ∩ U _β siempre está conexo. Si esta intersección no está vacía, cada placa de W _α se encuentra exactamente con una placa de W _β . Luego defina un ciclo de holonomía estableciendo ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle \gamma =\left\{\gamma _{\alpha \beta }\right\}_{\alpha ,\beta \in A}}$

${\displaystyle \gamma _{\alpha \beta }=y_{\alpha }\circ y_{\beta }^{-1}:F\rightarrow F.}$

Ejemplos

espacio plano

Considere un espacio n -dimensional, foliado como producto por subespacios que consisten en puntos cuyas primeras n − p coordenadas son constantes. Esto se puede cubrir con un solo gráfico. La afirmación es esencialmente que R ⁿ = R ^{n − p} × R ^p con las hojas o placas R ^p enumeradas por R ^{n − p} . La analogía se ve directamente en tres dimensiones, tomando n = 3 y p = 2 : las hojas bidimensionales de un libro se enumeran mediante un número de página (unidimensional).

manojos

Un ejemplo bastante trivial de foliaciones son los productos M = B × F , foliados por las hojas F _b = { b } × F , b ∈ B . (Otra foliación de M viene dada por B _f = B × {  f  } ,   f   ∈ F .)

Una clase más general son los paquetes G planos con G = Homeo( F ) para una variedad F . Dada una representación ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo ( F ) , el paquete Homeo ( F ) plano con monodromía ρ está dado por , donde π ₁ ( B ) actúa sobre la cubierta universal mediante transformaciones de cubierta y sobre F mediante transformaciones de cubierta. de la representación ρ . ${\displaystyle M=\left({\widetilde {B}}\times F\right)/\pi _{1}B}$ ${\displaystyle {\widetilde {B}}}$

Los haces planos encajan en la estructura de haces de fibras . Un mapa π  : M → B entre variedades es un haz de fibras si hay una variedad F tal que cada b ∈ B tiene una vecindad abierta U tal que hay un homeomorfismo con , con p ₁  : U × F → U proyección a la primer factor. El haz de fibras produce una foliación por fibras . Su espacio de hojas L es homeomorfo a B , en particular L es una variedad de Hausdorff. ${\displaystyle \varphi :\pi ^{-1}(U)\to U\times F}$ ${\displaystyle \pi =p_{1}\varphi }$ ${\displaystyle F_{b}:=\pi ^{-1}(\{b\}),b\in B}$

Revestimientos

Si M → N es un mapa de cobertura entre variedades, y F es una foliación en N , entonces regresa a una foliación en M. De manera más general, si el mapa es simplemente una cubierta ramificada , donde el lugar de la rama es transversal a la foliación, entonces la foliación se puede retirar.

Inmersiones

Si M ⁿ → N ^q , ( q ≤ n ) es una inmersión de variedades, se deduce del teorema de la función inversa que los componentes conectados de las fibras de la inmersión definen una codimensión q foliación de M . Los haces de fibras son un ejemplo de este tipo.

Un ejemplo de inmersión, que no es un haz de fibras, viene dado por

${\displaystyle {\begin{cases}f:[-1,1]\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(x,y)=(x^{2}-1)e^{y}\end{cases}}}$

Esta inmersión produce una foliación de [−1, 1] × R que es invariante bajo las acciones Z dadas por

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+n),\quad {\text{or}}\quad z(x,y)=\left((-1)^{n}x,y\right)}$

para ( x , y ) ∈ [−1, 1] × R y n ∈ Z . Las foliaciones inducidas de Z \ ([−1, 1] × R ) se denominan foliación Reeb bidimensional (del anillo) resp. la foliación Reeb bidimensional no orientable (de la banda de Möbius). Sus espacios foliares no son Hausdorff.

Foliaciones de arrecifes

Definir una inmersión

${\displaystyle {\begin{cases}f:D^{n}\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} \\f(r,\theta ,t):=(r^{2}-1)e^{t}\end{cases}}}$

donde ( r , θ ) ∈ [0, 1] × S ^{n −1} son coordenadas cilíndricas en el disco n -dimensional D ⁿ . Esta inmersión produce una foliación de D ⁿ × R que es invariante bajo las acciones Z dadas por

${\displaystyle z(x,y)=(x,y+z)}$

para ( x , y ) ∈ D ^norte × R , z ∈ Z . La foliación inducida de Z \( D ⁿ × R ) se llama foliación Reeb n -dimensional . Su espacio foliar no es Hausdorff.

Para n = 2 , esto da una foliación del toro sólido que puede usarse para definir la foliación Reeb de las 3 esferas pegando dos toros sólidos a lo largo de su límite. También se conocen explícitamente las foliaciones de esferas de dimensiones impares S ^{2 n +1 . [dieciséis]}

grupos de mentiras

Si G es un grupo de Lie y H es un subgrupo de Lie , entonces G está foliado por clases laterales de H. Cuando H está cerrado en G , el espacio cociente G / H es una variedad suave ( Hausdorff ) que convierte a G en un haz de fibras con fibra H y base G / H . Este haz de fibras es en realidad principal , con grupo estructural H.

Acciones del grupo de mentiras.

Sea G un grupo de Lie que actúa suavemente sobre una variedad M. Si la acción es una acción localmente libre o una acción libre , entonces las órbitas de G definen una foliación de M.

Foliaciones lineales y de Kronecker

Si es un campo vectorial no singular ( es decir , en ninguna parte cero), entonces el flujo local definido por parches juntos para definir una foliación de dimensión 1. De hecho, dado un punto arbitrario x ∈ M , el hecho de que sea no singular permite encontrar una coordenada vecindad ( U , x ¹ ,..., x ⁿ ) alrededor de x tal que ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

${\displaystyle -\varepsilon <x^{i}<\varepsilon ,\quad 1\leq i\leq n,}$

y

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{1}}}={\tilde {X}}\mid U.}$

Geométricamente, las líneas de flujo son solo los conjuntos de niveles. ${\displaystyle {\tilde {X}}\mid U}$

${\displaystyle x^{i}=c^{i},\quad 2\leq i\leq n,}$

donde todos Dado que por convención las variedades son contables en segundo lugar, las anomalías de las hojas como la "línea larga" están excluidas por la segunda contabilización de M en sí. La dificultad puede evitarse exigiendo que sea un campo completo ( por ejemplo , que M sea compacto), por lo tanto, que cada hoja sea una línea de flujo. ${\displaystyle |c^{i}|<\varepsilon .}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$

La foliación lineal en R ² pasa a la foliación en T ² . a) la pendiente es racional (foliación lineal); b) la pendiente es irracional (foliación de Kronecker). ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Rotación irracional sobre 2 toros.

Una clase importante de foliaciones unidimensionales en el toro T ² se derivan de la proyección de campos vectoriales constantes en T ² . Un campo vectorial constante

${\displaystyle {\tilde {X}}\equiv {\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}}$

en R ² es invariante para todas las traslaciones en R ^{2 , por lo tanto pasa a un campo vectorial} X bien definido cuando se proyecta sobre el toro T ² = R ² / Z ² . Se supone que a ≠ 0. La foliación sobre R ² producida por tiene como hojas las rectas paralelas de pendiente θ = b / a . Esta foliación también es invariante bajo traslaciones y pasa a la foliación en T ² producida por X . ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Cada hoja de tiene la forma ${\displaystyle {\mathcal {\tilde {F}}}}$

${\displaystyle {\tilde {L}}=\{(x_{0}+ta,y_{0}+tb)\}_{t\in \mathbb {R} }.}$

Si la pendiente es racional entonces todas las hojas son curvas cerradas homeomorfas al círculo . En este caso, se puede tomar a , b ∈ Z . Para t ∈ R fijo , los puntos de correspondientes a valores de t ∈ t ₀ + Z se proyectan todos al mismo punto de T ² ; entonces la hoja correspondiente L de es un círculo incrustado en T ² . Como L es arbitraria, es una foliación de T ² por círculos. Se deduce con bastante facilidad que esta foliación es en realidad un haz de fibras π : T ² → S ¹ . Esto se conoce como foliación lineal . ${\displaystyle {\tilde {L}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Cuando la pendiente θ = b / a es irracional , las hojas no son compactas, homeomorfas a la recta real no compactada y densas en el toro (cf. Rotación irracional ). La trayectoria de cada punto ( x ₀ , y ₀ ) nunca regresa al mismo punto, sino que genera un enrollamiento "en todas partes denso" alrededor del toro, es decir, se acerca arbitrariamente a cualquier punto dado. Por tanto, el cierre de la trayectoria es todo el toro bidimensional. Este caso se denomina foliación de Kronecker , en honor a Leopold Kronecker y su

Teorema de densidad de Kronecker . Si el número real θ es distinto de cada múltiplo racional de π, entonces el conjunto { e ^inθ | n ∈ Z } es denso en el círculo unitario.

Una construcción similar que utiliza una foliación de R ⁿ por líneas paralelas produce una foliación unidimensional del n -toro R ⁿ / Z ⁿ asociado con el flujo lineal en el toro .

Foliaciones en suspensión

Un haz plano tiene no sólo su foliación por fibras sino también una foliación transversal a las fibras, cuyas hojas son

${\displaystyle L_{f}:=\left\{p\left({\tilde {b}},f\right):{\tilde {b}}\in {\widetilde {B}}\right\},\quad {\mbox{ for }}f\in F,}$

¿ Dónde está la proyección canónica? Esta foliación se llama suspensión de la representación ρ  : π ₁ ( B ) → Homeo( F ) . ${\displaystyle p:{\widetilde {B}}\times F\to M}$

En particular, si B = S ¹ y es un homeomorfismo de F , entonces la foliación en suspensión de se define como la foliación en suspensión de la representación ρ  : Z → Homeo( F ) dada por ρ ( z ) = Φ ^z . Su espacio de hojas es L = /~ , donde x ~ y siempre que y = Φ ⁿ ( x ) para algún n ∈ Z . ${\displaystyle \varphi :F\to F}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

El ejemplo más simple de foliación por suspensión es una variedad X de dimensión q . Sea f  : X → X una biyección. Se define la suspensión M = S ¹ × _f X como el cociente de [0,1] × X por la relación de equivalencia (1, x ) ~ (0, f ( x )).

METRO = S ¹ × _f X = [0,1] × X

Entonces automáticamente M lleva dos foliaciones: ₂ que consta de conjuntos de la forma F _{2, t} = {( t , x ) _~  : x ∈ X } y ₁ que consta de conjuntos de la forma F _{2, x 0} = {( t , x ) : t ∈ [0,1] , x ∈ O _{x 0} }, donde la órbita O _{x 0} se define como ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

O _{x 0} = {..., f ⁻² ( x ₀ ), f ⁻¹ ( x ₀ ), x ₀ , f ( x ₀ ), f ² ( x ₀ ), ...},

donde el exponente se refiere al número de veces que la función f se compone consigo misma. Tenga en cuenta que O _{x 0} = O _{f ( x 0 )} = O _{f ⁻² ( x 0 )} , etc., por lo que lo mismo ocurre con F _{1, x 0} . Comprender la foliación ₁ equivale a comprender la dinámica del mapa f . Si la variedad X ya está foliada, se puede usar la construcción para aumentar la codimensión de la foliación, siempre que f mapee hojas con hojas. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

Las foliaciones de Kronecker del 2-toro son las foliaciones de suspensión de las rotaciones R _α  : S ¹ → S ¹ por el ángulo α ∈ [0, 2 π ).

Suspensión del toroide de 2 agujeros después de cortarlo y volverlo a pegar. a) Toro de dos agujeros con las secciones a cortar; b) la figura geométrica después de cortar con las cuatro caras.

Más específicamente, si Σ = Σ ₂ es el toro de dos agujeros con C ¹ , C ² ∈ Σ los dos círculos incrustados sean el producto de foliación de la variedad de 3 M = Σ × S ¹ con hojas Σ × { y }, y ∈ S ¹ . Tenga en cuenta que N _i = C _i × S ¹ es un toro incrustado y que es transversal a Ni _, i = 1,2. Sea Diff ₊ ( S ¹ ) el grupo de difeomorfismos que preservan la orientación de S ¹ y elija f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( S ¹ ). Corte M a lo largo de N ₁ y N ₂ , dejando y denotando las copias resultantes de N _i , i = 1,2. En este punto se tiene una variedad M' = Σ' × S ₁ con cuatro componentes límite. La foliación ha pasado a una foliación transversal al límite ∂ M' , cada hoja de la cual tiene la forma Σ' × { y }, y ∈ S ¹ . ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle N_{i}^{+}}$ ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ ${\displaystyle \left\{N_{i}^{\pm }\right\}_{i=1,2}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$

Esta hoja se encuentra con ∂ M' en cuatro círculos Si z ∈ C _i , los puntos correspondientes en se denotan por z ^± y se "vuelven a pegar" mediante la identificación ${\displaystyle C_{i}^{\pm }\times \{y\}\subset N_{i}^{\pm }.}$ ${\displaystyle C_{i}^{\pm }}$ ${\displaystyle N_{i}^{-}}$ ${\displaystyle N_{i}^{+}}$

${\displaystyle (z^{-},y)\equiv (z^{+},f_{i}(y)),\quad i=1,2.}$

Dado que f ₁ y f _{2 son difeomorfismos de} S ¹ que conservan la orientación , son isotópicos de la identidad y la variedad obtenida mediante esta operación de reencolado es homeomorfa de M. Las hojas de , sin embargo, se vuelven a ensamblar para producir una nueva foliación ( f ₁ , f ₂ ) de M . Si una hoja L de ( f ₁ , f ₂ ) contiene un trozo Σ' × { y ₀ }, entonces ${\displaystyle {\mathcal {F^{\prime }}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle L=\bigcup _{g\in G}\Sigma ^{\prime }\times \{g(y_{0})\},}$

donde G ⊂ Diff ₊ ( S ¹ ) es el subgrupo generado por { f ₁ , f ₂ }. Estas copias de Σ' están unidas entre sí mediante identificaciones

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₁ ( g ( y ₀ ))) para cada z ∈ C ₁ ,

( z ⁻ , g ( y ₀ )) ≡ ( z ⁺ , f ₂ ( g ( y ₀ ))) para cada z ∈ C ₂ ,

donde g oscila sobre G . La hoja está completamente determinada por la órbita G de y ₀ ∈ S ¹ y puede ser simple o inmensamente complicada. Por ejemplo, una hoja será compacta precisamente si la órbita G correspondiente es finita. Como ejemplo extremo, si G es trivial ( f ₁ = f ₂ = id _{S ¹} ), entonces ( f ₁ , f ₂ ) = . Si una órbita es densa en S ¹ , la hoja correspondiente es densa en M . Por ejemplo, si f ₁ y f ₂ son rotaciones a través de múltiplos racionalmente independientes de 2π, cada hoja será densa. En otros ejemplos, alguna hoja L tiene un cierre que cumple con cada factor { w } × S ¹ en un conjunto de Cantor . Se pueden hacer construcciones similares en Σ × I , donde I es un intervalo compacto y no degenerado. Aquí se toma f ₁ , f ₂ ∈ Diff ₊ ( I ) y, dado que ∂ I está fijado puntualmente por todos los difeomorfismos que preservan la orientación, se obtiene una foliación que tiene los dos componentes de ∂ M como hojas. Cuando se forma M' en este caso, se obtiene una variedad foliada con esquinas. En cualquier caso, esta construcción se denomina suspensión de un par de difeomorfismos y es una fuente fértil de ejemplos interesantes de foliaciones de codimensión uno. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\bar {L}}}$

Foliaciones e integrabilidad

Existe una estrecha relación, suponiendo que todo sea fluido , con los campos vectoriales : dado un campo vectorial X sobre M que nunca es cero, sus curvas integrales darán una foliación unidimensional. (es decir, una codimensión n - 1 foliación).

Esta observación se generaliza al teorema de Frobenius , diciendo que las condiciones necesarias y suficientes para que una distribución (es decir, un subconjunto n - p dimensional del haz tangente de una variedad) sea tangente a las hojas de una foliación, es que el conjunto de vectores Los campos tangentes a la distribución están cerrados bajo corchete de Lie . También se puede expresar esto de otra manera, como una cuestión de reducción del grupo estructural del paquete tangente de GL( n ) a un subgrupo reducible.

Las condiciones del teorema de Frobenius aparecen como condiciones de integrabilidad ; y la afirmación es que si se cumplen, la reducción puede tener lugar porque existen funciones de transición locales con la estructura de bloques requerida. Por ejemplo, en el caso de la codimensión 1, podemos definir el paquete tangente de la foliación como ker( α ) , para algún (no canónico) α ∈ Ω ¹ (es decir, un campo covector distinto de cero). Un α dado es integrable si y sólo si α ∧ dα = 0 en todas partes.

Existe una teoría de la foliación global, porque existen restricciones topológicas. Por ejemplo, en el caso de la superficie , un campo vectorial distinto de cero en todas partes puede existir en una superficie compacta orientable solo para el toro . Esto es una consecuencia del teorema del índice de Poincaré-Hopf , que muestra que la característica de Euler tendrá que ser 0. Hay muchas conexiones profundas con la topología de contacto , que es el concepto "opuesto", que requiere que la condición de integrabilidad nunca se cumpla.

Existencia de foliaciones

Haefliger (1970) dio una condición necesaria y suficiente para que una distribución en una variedad conectada no compacta sea homotópica a una distribución integrable. Thurston (1974, 1976) demostró que cualquier variedad compacta con una distribución tiene una foliación de la misma dimensión.

Ver también

• Estructura G  : subpaquete de grupo de estructura en un paquete de marco tangentePages displaying short descriptions of redirect targets
• Estructura de Haefliger  : generalización de una foliación cerrada bajo retrocesos.
• Laminación  : espacio topológico particionado
• Foliación Reeb  - foliación particular de las 3 esferas introducida por el matemático francés Georges Reeb Pages displaying wikidata descriptions as a fallback.
• foliación tensa

Notas

1. Candel y Conlon 2000, pag. 5
2. Añosov 2001
3. Gourgoulhon 2012, pag. 56
4. Reeb, G. (1959). "Remarques sur lesstructures feuilletées" (PDF) . Toro. Soc. Matemáticas. Francia . 87 : 445–450. doi : 10.24033/bsmf.1539 . Zbl  0122.41603.
5. Lawson 1974
6. Candel y Conlon 2000, pag. 19
7. Candel y Conlon 2000, pág. 20
8. Candel y Conlon 2000, pag. 23
9. Candel y Conlon 2000, pag. 25
10. Candel y Conlon 2000, pag. 26
11. Candel y Conlon 2000, pág. 27
12. Candel y Conlon 2000, pag. 28
13. Candel y Conlon 2000, pag. 29
14. Candel y Conlon 2000, pag. 31
15. Candel y Conlon 2000, pag. 32
16. Durfee, AH (1972). "Foliaciones de esferas de dimensiones impares". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 96 (2): 407–411. doi :10.2307/1970795. JSTOR  1970795.

Referencias

• Anosov, DV (2001) [1994], "Foliación", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Candela, Alberto; Conlon, Lawrence (2000). Foliaciones I . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 23. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0809-5.
• Candela, Alberto; Conlon, Lawrence (2003). Foliaciones II . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 60. Providence, Rhode Island: Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-0809-5.
• Gourgoulhon, Éric (2012). Formalismo 3+1 en la Relatividad General. Apuntes de conferencias de física. vol. 846. Heidelberg, Nueva York, Dordrecht, Londres: Springer . doi :10.1007/978-3-642-24525-1. ISBN 978-3-642-24524-4.
• Haefliger, André (1970), "Feuilletages sur les variétés ouvertes", Topología , 9 (2): 183–194, doi :10.1016/0040-9383(70)90040-6, ISSN  0040-9383, SEÑOR  0263104
• Lawson, H. Blaine (1974), "Foliaciones", Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense , 80 (3): 369–418, doi : 10.1090/S0002-9904-1974-13432-4 , ISSN  0002-9904, SEÑOR  0343289
• Moerdijk, Ieke ; Mrčun, J. (2003), Introducción a las foliaciones y los grupoides de Lie , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas, vol. 91, Prensa de la Universidad de Cambridge , ISBN 978-0-521-83197-0, SEÑOR  2012261
• Reeb, Georges (1952), Sur surees propriétés topologiques des variétés feuilletées , Actualités Sci. Indiana, no. 1183, Hermann & Cie., París, MR  0055692
• Thurston, William (1974), "La teoría de las foliaciones de codimensión mayor que uno", Commentarii Mathematici Helvetici , 49 : 214–231, doi :10.1007/BF02566730, ISSN  0010-2571, MR  0370619, S2CID  120603728
• Thurston, William P. (1976), "Existencia de foliaciones de codimensión uno", Annals of Mathematics , segunda serie, 104 (2): 249–268, doi :10.2307/1971047, ISSN  0003-486X, JSTOR  1971047, SEÑOR  0425985

enlaces externos

• Foliaciones en el Atlas múltiple