Cobertura (topología)

Subconjuntos cuya unión es igual al conjunto completo

En matemáticas , y más particularmente en teoría de conjuntos , una cubierta (o cubrimiento ) de un conjunto es una familia de subconjuntos de cuya unión son todos los . Más formalmente, si es una familia indexada de subconjuntos (indexada por el conjunto ), entonces es una cubierta de si . Por lo tanto, la colección es una cubierta de si cada elemento de pertenece al menos a uno de los subconjuntos . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle U_{\alpha }\subset X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }\supseteq X}$ ${\displaystyle \lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$

Una subcubierta de una cubierta de un conjunto es un subconjunto de la cubierta que también cubre al conjunto. Una cubierta se denomina cubierta abierta si cada uno de sus elementos es un conjunto abierto .

Cobertura en topología

Las coberturas se utilizan comúnmente en el contexto de la topología . Si el conjunto es un espacio topológico , entonces una cobertura de es una colección de subconjuntos de cuya unión es todo el espacio . En este caso decimos que cubre , o que los conjuntos cubren . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U_{\alpha }}$ ${\displaystyle X}$

Además, si es un subespacio (topológico) de , entonces una cobertura de es una colección de subconjuntos de cuya unión contiene , es decir, es una cobertura de si ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Y\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Es decir, podemos cubrir con conjuntos en sí mismo o con conjuntos en el espacio padre . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Sea C una cubierta de un espacio topológico X. Una subcubierta de C es un subconjunto de C que todavía cubre a X.

Decimos que C es uncubierta abierta si cada uno de sus miembros es unconjunto abierto(es decir, cadaU _α está contenido enT, dondeTes la topología enX).

Se dice que una cobertura de X es localmente finita si cada punto de X tiene un entorno que interseca solo un número finito de conjuntos en la cobertura. Formalmente, C = { U _α } es localmente finito si para cualquier existe algún entorno N ( x ) de x tal que el conjunto ${\displaystyle x\in X,}$

${\displaystyle \left\{\alpha \in A:U_{\alpha }\cap N(x)\neq \varnothing \right\}}$

es finito. Se dice que una cubierta de X es puntualmente finita si cada punto de X está contenido en solo un número finito de conjuntos en la cubierta. Una cubierta es puntualmente finita si es localmente finita, aunque lo inverso no es necesariamente cierto.

Refinamiento

Un refinamiento de una cubierta de un espacio topológico es una nueva cubierta de tal que cada conjunto en está contenido en algún conjunto en . Formalmente, ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}_{\beta \in B}}$es un refinamiento de si para todo existe tal que ${\displaystyle C=\{U_{\alpha }\}_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle \beta \in B}$ ${\displaystyle \alpha \in A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\alpha }.}$

En otras palabras, existe un mapa de refinamiento que satisface cada Este mapa se utiliza, por ejemplo, en la cohomología de Čech de . ^[1] ${\displaystyle \phi :B\to A}$ ${\displaystyle V_{\beta }\subseteq U_{\phi (\beta )}}$ ${\displaystyle \beta \in B.}$ ${\displaystyle X}$

Cada subcubierta es también un refinamiento, pero no siempre ocurre lo contrario. Una subcubierta se crea a partir de los conjuntos que están en la cubierta, pero omitiendo algunos de ellos; mientras que un refinamiento se crea a partir de cualquier conjunto que sea subconjunto de los conjuntos de la cubierta.

La relación de refinamiento en el conjunto de cubiertas de es transitiva y reflexiva , es decir, un Preorden . Nunca es asimétrica para . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X\neq \emptyset }$

En términos generales, un refinamiento de una estructura dada es otro que en algún sentido la contiene. Se pueden encontrar ejemplos al particionar un intervalo (un refinamiento de es ), considerando topologías (la topología estándar en el espacio euclidiano es un refinamiento de la topología trivial ). Al subdividir complejos simpliciales (la primera subdivisión baricéntrica de un complejo simplicial es un refinamiento), la situación es ligeramente diferente: cada símplex en el complejo más fino es una cara de algún símplex en el más grueso, y ambos tienen poliedros subyacentes iguales. ${\displaystyle a_{0}<a_{1}<\cdots <a_{n}}$ ${\displaystyle a_{0}<b_{0}<a_{1}<a_{2}<\cdots <a_{n-1}<b_{1}<a_{n}}$

Otra noción de refinamiento es la de refinamiento estelar .

Subcubierta

Una forma sencilla de obtener una subcobertura es omitir los conjuntos contenidos en otro conjunto en la cobertura. Consideremos específicamente coberturas abiertas. Sea una base topológica de y una cobertura abierta de Primero tomamos Entonces es un refinamiento de . A continuación, para cada seleccionamos un que contiene (requiriendo el axioma de elección). Entonces es una subcobertura de Por lo tanto, la cardinalidad de una subcobertura de una cobertura abierta puede ser tan pequeña como la de cualquier base topológica. Por lo tanto, en particular, la segunda contabilidad implica que un espacio es Lindelöf . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}=\{A\in {\mathcal {B}}:{\text{ there exists }}U\in {\mathcal {O}}{\text{ such that }}A\subseteq U\}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle U_{A}\in {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}=\{U_{A}\in {\mathcal {O}}:A\in {\mathcal {A}}\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}.}$

Compacidad

El lenguaje de las cubiertas se utiliza a menudo para definir varias propiedades topológicas relacionadas con la compacidad . Se dice que un espacio topológico X es

Compacto

si cada cubierta abierta tiene una subcubierta finita (o equivalentemente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento finito);

Lindelof

si cada cubierta abierta tiene una subcubierta contable (o equivalentemente, que cada cubierta abierta tiene un refinamiento contable);

Metacompacto

si cada cubierta abierta tiene un refinamiento abierto punto-finito;

Paracompacto

si cada cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito.

Para conocer más variaciones, consulte los artículos anteriores.

Dimensión de la cubierta

Se dice que un espacio topológico X es de dimensión de cobertura n si cada cobertura abierta de X tiene un refinamiento abierto de punto finito tal que ningún punto de X está incluido en más de n+ 1 conjuntos en el refinamiento y si n es el valor mínimo para el cual esto es verdadero. ^[2] Si no existe tal n mínimo , se dice que el espacio es de dimensión de cobertura infinita.

Véase también

• Atlas (topología)  : conjunto de gráficos que describen una variedad
• Bornología  – Generalización matemática de la acotación
• Espacio de cobertura  – Tipo de mapa continuo en topología
• Topología de Grothendieck  – Estructura sobre una categoría C que hace que los objetos de C actúen como los conjuntos abiertos de un espacio topológico
• Partición de un conjunto  – Formas matemáticas de agrupar elementos de un conjunto
• Problema de cobertura de conjuntos  : problema clásico en combinatoria
• Refinamiento de estrellas  – refinamiento matemáticoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Subpavimento  – Objeto geométrico

Notas

1. Bott, Tu (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . pág. 111.
2. Munkres, James (1999). Topología (2.ª ed.). Prentice Hall . ISBN 0-13-181629-2.

Referencias

1. Introducción a la topología , segunda edición, Theodore W. Gamelin y Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6 
2. Topología general , John L. Kelley , D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, Nueva Jersey, 1955.

Enlaces externos

• "Cobertura (de un conjunto)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]