Subdivisión baricéntrica

Iterar de 1 a 4 subdivisiones baricéntricas de 2-símplices

En matemáticas, la subdivisión baricéntrica es una forma estándar de subdividir un símplex dado en complejos más pequeños. Su extensión a complejos simpliciales es un método canónico para refinarlos. Por lo tanto, la subdivisión baricéntrica es una herramienta importante en topología algebraica .

Motivación

La subdivisión baricéntrica es una operación sobre complejos simpliciales. En topología algebraica, a veces es útil reemplazar los espacios originales con complejos simpliciales mediante triangulaciones: la sustitución permite asignar invariantes combinatorios como la característica de Euler a los espacios. Uno puede preguntarse si hay una manera análoga de reemplazar las funciones continuas definidas en los espacios topológicos por funciones que son lineales en los símplices y que son homotópicas a las funciones originales (ver también aproximación simplicial). En general, tal asignación requiere un refinamiento del complejo dado, es decir, uno reemplaza símplices más grandes por una unión de símplices más pequeños. Una forma estándar de efectuar tal refinamiento es la subdivisión baricéntrica. Además, la subdivisión baricéntrica induce funciones en grupos de homología y es útil para cuestiones computacionales, ver Escisión y secuencia de Mayer-Vietoris .

Definición

Subdivisión de complejos simpliciales

Sea un complejo geométrico simplicial. Se dice que un complejo es una subdivisión de si ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• cada simplex de está contenido en un simplex de ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• Cada símplex de es una unión finita de símplex de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Estas condiciones implican que , como conjuntos y como espacios topológicos, sólo cambia la estructura simplicial. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Subdivisión baricéntrica de un 2-símplex. Los puntos de color añadidos a la derecha son los baricentros de los símplex de la izquierda.

Subdivisión baricéntrica de un símplex

Para un símplex abarcado por puntos , el baricentro se define como el punto . Para definir la subdivisión, consideraremos un símplex como un complejo simplicial que contiene solo un símplex de dimensión máxima, es decir, el símplex mismo. La subdivisión baricéntrica de un símplex se puede definir inductivamente por su dimensión. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle p_{0},...,p_{n}}$ ${\displaystyle b_{\Delta }={\frac {1}{n+1}}(p_{0}+p_{1}+...+p_{n})}$

Para los puntos, es decir, símplices de dimensión 0, la subdivisión baricéntrica se define como el punto mismo.

Supóngase entonces para un símplice de dimensión que sus caras de dimensión ya están divididas. Por lo tanto, existen símplices que cubren . La subdivisión baricéntrica se define entonces como el complejo simplicial geométrico cuyos símplices máximos de dimensión son cada uno una envoltura convexa de para un par para algún , por lo que habrá símplices que cubran . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \Delta _{i,1},\;\Delta _{i,2}...,\Delta _{i,n!}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{i,j}\cup b_{\Delta }}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle i\in {0,...,n},\;j\in {1,...,n!}}$ ${\displaystyle (n+1)!}$ ${\displaystyle \Delta }$

Se puede generalizar la subdivisión para complejos simpliciales cuyos símplices no están todos contenidos en un único símplex de dimensión máxima, es decir, complejos simpliciales que no corresponden geométricamente a un símplex. Esto se puede hacer efectuando los pasos descritos anteriormente simultáneamente para cada símplex de dimensión máxima. La inducción se basará entonces en el -ésimo esqueleto del complejo simplicial. Esto permite efectuar la subdivisión más de una vez. ^[2] ${\displaystyle n}$

Subdivisión baricéntrica de un politopo convexo

El dodecaedro disdyakis , la subdivisión baricéntrica de un cubo

La operación de subdivisión baricéntrica se puede aplicar a cualquier politopo convexo de cualquier dimensión, produciendo otro politopo convexo de la misma dimensión. ^[3] En esta versión de subdivisión baricéntrica, no es necesario que el politopo forme un complejo simplicial: puede tener caras que no sean símplices. Esta es la operación dual de omnitruncamiento . ^[4] Los vértices de la subdivisión baricéntrica corresponden a las caras de todas las dimensiones del politopo original. Dos vértices son adyacentes en la subdivisión baricéntrica cuando corresponden a dos caras de diferentes dimensiones con la cara de menor dimensión incluida en la cara de mayor dimensión. Las facetas de la subdivisión baricéntrica son símplices, correspondientes a las banderas del politopo original.

Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica de un cubo , o de un octaedro regular , es el disdyakis dodecaedro . ^[5] Los vértices de grado 6, grado 4 y grado 8 del disdyakis dodecaedro corresponden a los vértices, aristas y facetas cuadradas del cubo, respectivamente.

Propiedades

Malla

Sea un símplex y defina . Una forma de medir la malla de un complejo geométrico simplicial es tomar el diámetro máximo de los símplex contenidos en el complejo. Sea un símplex de dimensión - que proviene del recubrimiento de obtenido por la subdivisión baricéntrica. Entonces, se cumple la siguiente estimación: ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta )=\operatorname {max} {\Bigl \{}\|a-b\|_{\mathbb {R} ^{n}}\;{\Big |}\;a,b\in \Delta {\Bigr \}}}$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta ')\leq \left({\frac {n}{n+1}}\right)\;\operatorname {diam} (\Delta )}$Por lo tanto, al aplicar la subdivisión baricéntrica con la suficiente frecuencia, el borde más grande se puede hacer tan pequeño como se desee. ^[6]

Homología

En algunas afirmaciones de la teoría de la homología, se desea reemplazar los complejos simpliciales por una subdivisión. En el nivel de los grupos de homología simpliciales , se requiere una función del grupo de homología del complejo simplicial original a los grupos del complejo subdividido. De hecho, se puede demostrar que para cualquier subdivisión de un complejo simplicial finito existe una secuencia única de funciones entre los grupos de homología tales que para cada una de las funciones se cumple y tales que las funciones inducen endomorfismos de complejos de cadena. Además, la función inducida es un isomorfismo: la subdivisión no cambia la homología del complejo. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}({\mathcal {K}})\rightarrow C_{n}({\mathcal {K'}})}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \lambda (\Delta )\subset \Delta }$

Para calcular los grupos de homología singular de un espacio topológico se consideran funciones continuas donde denota el símplex estándar -dimensional. De manera análoga a la descrita para los grupos de homología simpliciales, la subdivisión baricéntrica puede interpretarse como un endomorfismo de complejos de cadena singulares. Aquí nuevamente, existe un operador de subdivisión que envía una cadena a una combinación lineal donde la suma recorre todos los símplices que aparecen en el recubrimiento de por subdivisión baricéntrica, y para todos los . Esta función también induce un automorfismo de complejos de cadena. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(X)}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$ ${\displaystyle \sum \varepsilon _{B_{\Delta }}\sigma \vert _{B_{\Delta }}}$ ${\displaystyle B_{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{B_{\Delta }}\in \{1,-1\}}$ ${\displaystyle B_{\Delta }}$

Aplicaciones

La subdivisión baricéntrica se puede aplicar a complejos simpliciales completos como en el teorema de aproximación simplicial o se puede utilizar para subdividir símplices geométricos. Por lo tanto, es crucial para los enunciados en la teoría de homología singular, véase secuencia y escisión de Mayer-Vietoris .

Aproximación simple

Sean , complejos simpliciales abstractos sobre conjuntos , . Una función simplicial es una función que aplica cada símplex en a un símplex en . Por extensión afín-lineal sobre los símplices, induce una función entre las realizaciones geométricas de los complejos. Cada punto en un complejo geométrico se encuentra en el interior de exactamente un símplex, su soporte. Consideremos ahora una función continua . Se dice que una función simplicial es una aproximación simplicial de si y solo si cada uno es aplicado por sobre el soporte de en . Si existe tal aproximación, se puede construir una homotopía que transforme en definiéndola sobre cada símplex; allí, siempre existe, porque los símplices son contráctiles. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle V_{K}}$ ${\displaystyle V_{L}}$ ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

El teorema de aproximación simplicial garantiza para cada función continua la existencia de una aproximación simplicial al menos después del refinamiento de , por ejemplo reemplazando por su subdivisión baricéntrica iterada. ^[8] El teorema juega un papel importante para ciertas afirmaciones en topología algebraica con el fin de reducir el comportamiento de los mapas continuos en aquellos de los mapas simpliciales, como por ejemplo en el teorema de punto fijo de Lefschetz. ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Teorema del punto fijo de Lefschetz

El número de Lefschetz es una herramienta útil para averiguar si una función continua admite puntos fijos. Estos datos se calculan de la siguiente manera: Supongamos que y son espacios topológicos que admiten triangulaciones finitas. Una función continua induce homomorfismos entre sus grupos de homología simpliciales con coeficientes en un cuerpo . Estas son funciones lineales entre espacios vectoriales - , por lo que se puede determinar su traza y su suma alternada. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

se llama número de Lefschetz de . Si , este número es la característica de Euler de . El teorema del punto fijo establece que siempre que , tiene un punto fijo. En la prueba, esto se muestra primero solo para funciones simples y luego se generaliza para cualquier función continua mediante el teorema de aproximación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=id}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Ahora bien, el teorema del punto fijo de Brouwer es un caso especial de esta afirmación. Sea un endomorfismo de la bola unitaria. Como todos sus grupos de homología se anulan, y es siempre la identidad, entonces , por lo tanto tiene un punto fijo. ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Secuencia de Mayer-Vietoris

La secuencia de Mayer-Vietoris se utiliza a menudo para calcular grupos de homología singulares y da lugar a argumentos inductivos en topología. La afirmación relacionada puede formularse de la siguiente manera:

Sea una cubierta abierta del espacio topológico . ${\displaystyle X=A\cup B}$ ${\displaystyle X}$

Hay una secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

donde consideramos grupos de homología singulares, son incrustaciones y denota la suma directa de grupos abelianos. ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,\;j:A\cap B\hookrightarrow B,\;k:A\hookrightarrow X,\;l:B\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \oplus }$

Para la construcción de grupos de homología singulares se consideran aplicaciones continuas definidas en el símplex estándar . Un obstáculo en la demostración del teorema son las aplicaciones tales que su imagen no está contenida en ni en . Esto se puede solucionar utilizando el operador de subdivisión: Al considerar las imágenes de dichas aplicaciones como la suma de imágenes de símplex más pequeños, que se encuentran en o , se puede demostrar que la inclusión induce un isomorfismo en la homología que es necesario para comparar los grupos de homología. ^[10] ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\hookrightarrow C_{n}(X)}$

Excisión

La escisión se puede utilizar para determinar grupos de homología relativa. En ciertos casos, permite olvidarse de los subconjuntos de espacios topológicos para sus grupos de homología y, por lo tanto, simplifica su cálculo:

Sea un espacio topológico y sean subconjuntos, donde es cerrado tal que . Entonces la inclusión induce un isomorfismo para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset A\subset X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\subset A^{\circ }}$ ${\displaystyle i:(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)}$ ${\displaystyle H_{k}(X\setminus Z,A\setminus Z)\rightarrow H_{k}(X,A)}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$

De nuevo, en homología singular, pueden aparecer aplicaciones tales que su imagen no forme parte de los subconjuntos mencionados en el teorema. Análogamente, pueden entenderse como una suma de imágenes de símplices más pequeños obtenidos por la subdivisión baricéntrica. ^[11] ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$

Referencias

1. James R. Munkres, Elementos de topología algebraica (en alemán), Menlo Park, California, pág. 96, ISBN 0-201-04586-9
2. James R. Munkres, Elementos de topología algebraica (en alemán), Menlo Park, California, págs. 85 y siguientes, ISBN 0-201-04586-9
3. Ewald, G.; Shephard, GC (1974), "Subdivisiones estelares de complejos límite de politopos convexos", Mathematische Annalen , 210 : 7–16, doi :10.1007/BF01344542, MR  0350623
4. Matteo, Nicholas (2015), Politopos convexos y teselados con pocas órbitas de bandera (tesis doctoral), Northeastern University, ProQuest  1680014879Consulte la página 22, donde el truncamiento omnidireccional se describe como un "gráfico de bandera".
5. Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflexiones sobre la lemniscata de Bernoulli: las cuarenta y ocho caras de una joya matemática", Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi :10.1007/s00032-010-0124-5, MR  2781856
6. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica (PDF) , pág. 120
7. Hatcher (2001), págs. 122 y sig.
8. Ralph Stöcker, Heiner Zieschang, Algebraische Topologie (en alemán) (2. überarbeitete ed.), Stuttgart: BG Teubner, p. 81, ISBN 3-519-12226-X
9. Bredon, Glen E., Springer Verlag (ed.), Topología y geometría (en alemán), Berlín/ Heidelberg/ Nueva York, págs. 254 y siguientes, ISBN 3-540-97926-3
10. Hatcher (2001), pág. 149.
11. Hatcher (2001), pág. 119.