subdivisión baricéntrica

Iterar de 1 a 4 subdivisiones baricéntricas de 2 simples

En matemáticas, la subdivisión baricéntrica es una forma estándar de subdividir un simplex determinado en otros más pequeños. Su extensión a complejos simpliciales es un método canónico para refinarlos. Por tanto, la subdivisión baricéntrica es una herramienta importante en topología algebraica.

Motivación

La subdivisión baricéntrica es una operación sobre complejos simpliciales. En topología algebraica a veces es útil reemplazar los espacios originales con complejos simpliciales mediante triangulaciones: la sustitución permite asignar invariantes combinatorios como la característica de Euler a los espacios. Uno puede preguntarse si existe una forma análoga de reemplazar las funciones continuas definidas en los espacios topológicos por funciones que sean lineales en los simples y que sean homotópicas a los mapas originales (ver también aproximación simplicial). En general, tal asignación requiere un refinamiento del complejo dado, es decir, se reemplazan los simples más grandes por una unión de simples más pequeños. Una forma estándar de efectuar tal refinamiento es la subdivisión baricéntrica. Además, la subdivisión baricéntrica induce mapas en grupos de homología y es útil para cuestiones computacionales, consulte Escisión y secuencia de Mayer-Vietoris.

Definición

Subdivisión de complejos simpliciales

Sea un complejo geométrico simplicial. Se dice que un complejo es una subdivisión de si ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• cada simplex de está contenido en un simplex de ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$
• cada simplex de es una unión finita de simples de ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Estas condiciones implican que e iguales como conjuntos y como espacios topológicos, sólo cambia la estructura simplicial. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S'}}}$

Subdivisión baricéntrica de un 2-símplex. Los puntos coloreados agregados a la derecha son los baricentros de los símplex de la izquierda.

Subdivisión baricéntrica de un simplex

Para un simplex abarcado por puntos , el baricentro se define como el punto . Para definir la subdivisión, consideraremos un simplex como un complejo simplicial que contiene sólo un simplex de dimensión máxima, es decir, el simplex mismo. La subdivisión baricéntrica de un simplex se puede definir inductivamente por su dimensión. ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle p_{0},...,p_{n}}$ ${\displaystyle b_{\Delta }={\frac {1}{n+1}}(p_{0}+p_{1}+...+p_{n})}$

Para puntos, es decir, simples de dimensión 0, la subdivisión baricéntrica se define como el punto mismo.

Supongamos entonces que para un símplex de dimensión sus caras de dimensión ya están divididas. Por lo tanto, existen simples que cubren . La subdivisión baricéntrica se define entonces como el complejo simplicial geométrico cuyos simplices máximos de dimensión son cada uno de ellos cascos convexos para un par para algunos , por lo que habrá simplices cubriendo . ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle n-1}$ ${\displaystyle \Delta _{i,1},\;\Delta _{i,2}...,\Delta _{i,n!}}$ ${\displaystyle \Delta _{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta _{i,j}\cup b_{\Delta }}$ ${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle i\in {0,...,n},\;j\in {1,...,n!}}$ ${\displaystyle (n+1)!}$ ${\displaystyle \Delta }$

Se puede generalizar la subdivisión para complejos simpliciales cuyos símplices no están todos contenidos en un simplex único de dimensión máxima, es decir, complejos simpliciales que no corresponden geométricamente a un simplex. Esto se puede hacer realizando los pasos descritos anteriormente simultáneamente para cada símplex de dimensión máxima. La inducción se basará entonces en el -ésimo esqueleto del complejo simplicial. Permite efectuar la subdivisión más de una vez. ^[2] ${\displaystyle n}$

Subdivisión baricéntrica de un politopo convexo

El dodecaedro disdyakis , la subdivisión baricéntrica de un cubo

La operación de subdivisión baricéntrica se puede aplicar a cualquier politopo convexo de cualquier dimensión, produciendo otro politopo convexo de la misma dimensión. ^[3] En esta versión de subdivisión baricéntrica, no es necesario que el politopo forme un complejo simplicial: puede tener caras que no sean simples. Esta es la operación dual de omnitruncamiento . ^[4] Los vértices de la subdivisión baricéntrica corresponden a las caras de todas las dimensiones del politopo original. Dos vértices son adyacentes en la subdivisión baricéntrica cuando corresponden a dos caras de diferentes dimensiones con la cara de dimensiones inferiores incluida en la cara de dimensiones superiores. Las facetas de la subdivisión baricéntrica son simples y corresponden a las banderas del politopo original.

Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica de un cubo , o de un octaedro regular , es el dodecaedro disdyakis . ^[5] Los vértices de grado 6, grado 4 y grado 8 del dodecaedro disdyakis corresponden a los vértices, aristas y facetas cuadradas del cubo, respectivamente.

Propiedades

Malla

Dejemos un simplex y definamos . Una forma de medir la malla de un complejo geométrico simplicial es tomar el diámetro máximo de los simples contenidos en el complejo. Sea un simplex -dimensional que proviene del recubrimiento obtenido por la subdivisión baricéntrica. Entonces, se cumple la siguiente estimación: ${\displaystyle \Delta \subset \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta )=\operatorname {max} {\Bigl \{}\|a-b\|_{\mathbb {R} ^{n}}\;{\Big |}\;a,b\in \Delta {\Bigr \}}}$ ${\displaystyle \Delta '}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle \operatorname {diam} (\Delta ')\leq \left({\frac {n}{n+1}}\right)\;\operatorname {diam} (\Delta )}$. Por lo tanto, aplicando la subdivisión baricéntrica con suficiente frecuencia, el borde más grande puede hacerse tan pequeño como se desee. ^[6]

Homología

Para algunas declaraciones en teoría de la homología, uno desea reemplazar los complejos simpliciales por una subdivisión. En el nivel de grupos de homología simpliciales, se requiere un mapa desde el grupo de homología del complejo simplicial original hasta los grupos del complejo subdividido. De hecho, se puede demostrar que para cualquier subdivisión de un complejo simplicial finito existe una secuencia única de mapas entre los grupos de homología tal que para cada uno de los mapas se cumple y que los mapas inducen endomorfismos de complejos de cadena. Además, el mapa inducido es un isomorfismo: la subdivisión no cambia la homología del complejo. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {K'}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}({\mathcal {K}})\rightarrow C_{n}({\mathcal {K'}})}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle \lambda (\Delta )\subset \Delta }$

Para calcular los grupos de homología singulares de un espacio topológico se consideran funciones continuas donde denota el -dimensional-estándar-símplex. De manera análoga a la descrita para los grupos de homología simplicial, la subdivisión baricéntrica puede interpretarse como un endomorfismo de complejos de cadenas singulares. Aquí nuevamente, existe un operador de subdivisión que envía una cadena a una combinación lineal donde la suma recorre todos los simples que aparecen en la cobertura de la subdivisión baricéntrica, y para todos los mismos . Este mapa también induce un automorfismo de complejos de cadenas. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta ^{n}\rightarrow X}$ ${\displaystyle \Delta ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda _{n}:C_{n}(X)\rightarrow C_{n}(X)}$ ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$ ${\displaystyle \sum \varepsilon _{B_{\Delta }}\sigma \vert _{B_{\Delta }}}$ ${\displaystyle B_{\Delta }}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \varepsilon _{B_{\Delta }}\in \{1,-1\}}$ ${\displaystyle B_{\Delta }}$

Aplicaciones

La subdivisión baricéntrica se puede aplicar a complejos simpliciales completos como en el teorema de aproximación simplicial o se puede utilizar para subdividir simplificaciones geométricas. Por lo tanto, es crucial para declaraciones en la teoría de la homología singular, ver Secuencia y escisión de Mayer-Vietoris.

Aproximación simple

Sean , complejos simpliciales abstractos sobre conjuntos , . Un mapa simplicial es una función que asigna cada simplex a un simplex . Por extensión lineal afín sobre los simples, induce un mapa entre las realizaciones geométricas de los complejos. Cada punto de un complejo geométrico se encuentra en el interior de exactamente un simplex, su soporte. Consideremos ahora un mapa continuo . Se dice que una aplicación simplicial es una aproximación simple de si y sólo si cada uno de ellos se asigna sobre el soporte de in . Si tal aproximación existe, se puede construir una homotopía transformándose en definiéndola en cada simplex; allí siempre existe, porque los simples son contráctiles. ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle V_{K}}$ ${\displaystyle V_{L}}$ ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle g:{\mathcal {K}}\rightarrow {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x\in {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

El teorema de aproximación simple garantiza para cada función continua la existencia de una aproximación simple al menos después del refinamiento de , por ejemplo reemplazando por su subdivisión baricéntrica iterada. ^[8] El teorema juega un papel importante en ciertos enunciados de topología algebraica para reducir el comportamiento de aplicaciones continuas respecto de aplicaciones simpliciales, como por ejemplo en el teorema del punto fijo de Lefschetz. ${\displaystyle f:V_{K}\rightarrow V_{L}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {K}}}$

Teorema del punto fijo de Lefschetz

El número de Lefschetz es una herramienta útil para saber si una función continua admite puntos fijos. Estos datos se calculan de la siguiente manera: Supongamos que y son espacios topológicos que admiten triangulaciones finitas. Un mapa continuo induce homomorfismos entre sus grupos de homología simplicial con coeficientes en un campo . Estos son mapas lineales entre espacios vectoriales, por lo que se puede determinar su traza y su suma alterna. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f_{i}:H_{i}(X,K)\rightarrow H_{i}(Y,K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle tr_{i}}$

${\displaystyle L_{K}(f)=\sum _{i}(-1)^{i}tr_{i}(f)\in K}$

se llama número de Lefschetz . Si , este número es la característica de Euler de . El teorema del punto fijo establece que siempre que , tiene un punto fijo. En la prueba, esto se muestra primero sólo para aplicaciones simpliciales y luego se generaliza para cualquier función continua mediante el teorema de aproximación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f=id}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L_{K}(f)\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Ahora bien, el teorema del punto fijo de Brouwer es un caso especial de este enunciado. Sea un endomorfismo de la bola unitaria. Porque todos sus grupos de homología desaparecen, y siempre es la identidad, por lo que tiene un punto fijo. ^[9] ${\displaystyle f:\mathbb {D} ^{n}\rightarrow \mathbb {D} ^{n}}$ ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {D} ^{n})}$ ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle L_{K}(f)=tr_{0}(f)=1\neq 0}$ ${\displaystyle f}$

Secuencia Mayer-Vietoris

La secuencia de Mayer-Vietoris se utiliza a menudo para calcular grupos de homología singulares y da lugar a argumentos inductivos en topología. La declaración relacionada se puede formular de la siguiente manera:

Dejemos una cubierta abierta del espacio topológico . ${\displaystyle X=A\cup B}$ ${\displaystyle X}$

Hay una secuencia exacta

${\displaystyle \cdots \to H_{n+1}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n}(A\cap B)\,{\xrightarrow {(i_{*},j_{*})}}\,H_{n}(A)\oplus H_{n}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{n}(X)\,{\xrightarrow {\partial _{*}}}\,H_{n-1}(A\cap B)\to \cdots }$

${\displaystyle \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \to H_{0}(A)\oplus H_{0}(B)\,{\xrightarrow {k_{*}-l_{*}}}\,H_{0}(X)\to 0.}$

donde consideramos grupos de homología singulares, son incrustaciones y denota la suma directa de grupos abelianos. ${\displaystyle i:A\cap B\hookrightarrow A,\;j:A\cap B\hookrightarrow B,\;k:A\hookrightarrow X,\;l:B\hookrightarrow X}$ ${\displaystyle \oplus }$

Para la construcción de grupos de homología singulares se consideran mapas continuos definidos en el estándar simplex . Un obstáculo en la demostración del teorema son los mapas tales que su imagen no está ni contenida en ni en . Esto se puede solucionar utilizando el operador de subdivisión: al considerar las imágenes de tales mapas como la suma de imágenes de simples más pequeños, en o se puede demostrar que la inclusión induce un isomorfismo en la homología que es necesario para comparar los grupos de homología. ^[10] ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C_{n}(A)\oplus C_{n}(B)\hookrightarrow C_{n}(X)}$

Excisión

La escisión se puede utilizar para determinar grupos de homología relativa. Permite en ciertos casos olvidarse de subconjuntos de espacios topológicos para sus grupos de homología y por tanto simplifica su cálculo:

Sea un espacio topológico y sean subconjuntos, donde está cerrado tal que . Entonces la inclusión induce un isomorfismo para todos ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z\subset A\subset X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\subset A^{\circ }}$ ${\displaystyle i:(X\setminus Z,A\setminus Z)\hookrightarrow (X,A)}$ ${\displaystyle H_{k}(X\setminus Z,A\setminus Z)\rightarrow H_{k}(X,A)}$ ${\displaystyle k\geq 0.}$

Nuevamente, en homología singular, los mapas pueden aparecer de manera que su imagen no sea parte de los subconjuntos mencionados en el teorema. De manera análoga, éstas pueden entenderse como una suma de imágenes de simples más pequeños obtenidas por la subdivisión baricéntrica. ^[11] ${\displaystyle \sigma :\Delta \rightarrow X}$

Referencias

1. James R. Munkres, Elementos de topología algebraica (en alemán), Menlo Park, California, p. 96, ISBN 0-201-04586-9
2. James R. Munkres, Elementos de topología algebraica (en alemán), Menlo Park, California, págs. 85 y siguientes, ISBN 0-201-04586-9
3. Ewald, G.; Shephard, GC (1974), "Subdivisiones estelares de complejos de límites de politopos convexos", Mathematische Annalen , 210 : 7–16, doi :10.1007/BF01344542, MR  0350623
4. Matteo, Nicholas (2015), Politopos y mosaicos convexos con pocas órbitas de bandera (tesis doctoral), Northeastern University, ProQuest  1680014879Ver pág. 22, donde el omnitruncamiento se describe como un "gráfico de banderas".
5. Langer, Joel C.; Singer, David A. (2010), "Reflexiones sobre la lemniscata de Bernoulli: las cuarenta y ocho caras de una joya matemática", Milan Journal of Mathematics , 78 (2): 643–682, doi :10.1007/s00032-010- 0124-5, SEÑOR  2781856
6. Hatcher, Allen (2001), Topología algebraica (PDF) , p. 120
7. Hatcher (2001), págs.122 y siguientes.
8. Ralph Stöcker, Heiner Zieschang, Algebraische Topologie (en alemán) (2. überarbeitete ed.), Stuttgart: BG Teubner, p. 81, ISBN 3-519-12226-X
9. Bredon, Glen E., Springer Verlag (ed.), Topología y geometría (en alemán), Berlín/Heidelberg/Nueva York, págs. 254 y siguientes, ISBN 3-540-97926-3
10. Hatcher (2001), pág. 149.
11. Hatcher (2001), pág. 119.