Bornología

Generalización matemática de la acotación

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , una bornología en un conjunto X es una colección de subconjuntos de X que satisfacen axiomas que generalizan la noción de acotación . Una de las motivaciones clave detrás de las bornologías y el análisis bornológico es el hecho de que los espacios bornológicos proporcionan un entorno conveniente para el álgebra homológica en el análisis funcional. Esto se debe a que ^{[1] pág. 9} la categoría de espacios bornológicos es aditiva , completa , cocompleta y tiene un producto tensorial adjunto a un hom interno , todos componentes necesarios para el álgebra homológica.

Historia

La bornología tiene su origen en el análisis funcional . Existen dos formas naturales de estudiar los problemas del análisis funcional: una forma es estudiar nociones relacionadas con las topologías ( topologías vectoriales , operadores continuos , subconjuntos abiertos / compactos , etc.) y la otra es estudiar nociones relacionadas con la acotación ^[2] ( bornologías vectoriales , operadores acotados , subconjuntos acotados , etc.).

Para los espacios normados , de los cuales surgió el análisis funcional, las nociones topológicas y bornológicas son distintas pero complementarias y están estrechamente relacionadas. Por ejemplo, la bola unidad centrada en el origen es a la vez un vecindario del origen y un subconjunto acotado. Además, un subconjunto de un espacio normado es un vecindario del origen (respectivamente, es un conjunto acotado ) exactamente cuando contiene (respectivamente, está contenido en ) un múltiplo escalar distinto de cero de esta bola; por lo que este es un caso en el que las nociones topológicas y bornológicas son distintas pero complementarias (en el sentido de que sus definiciones difieren solo por cuál de y se utiliza). Otras veces, la distinción entre nociones topológicas y bornológicas puede incluso ser innecesaria. Por ejemplo, para aplicaciones lineales entre espacios normados, ser continuo (una noción topológica) es equivalente a estar acotado (una noción bornológica). Aunque la distinción entre topología y bornología a menudo es borrosa o innecesaria para el espacio normado, se vuelve más importante cuando se estudian generalizaciones de espacios normados. Sin embargo, la bornología y la topología todavía pueden considerarse como dos aspectos necesarios, distintos y complementarios de una misma realidad. ^[2] ${\displaystyle \,\subseteq \,}$ ${\displaystyle \,\supseteq \,}$

La teoría general de los espacios vectoriales topológicos surgió primero de la teoría de los espacios normados y luego la bornología surgió de esta teoría general de los espacios vectoriales topológicos, aunque desde entonces la bornología ha sido reconocida como una noción fundamental en el análisis funcional . ^[3] Nacida del trabajo de George Mackey (de quien se nombran los espacios de Mackey ), la importancia de los subconjuntos acotados se hizo evidente por primera vez en la teoría de la dualidad , especialmente debido al teorema de Mackey-Arens y la topología de Mackey . ^[3] A partir de la década de 1950, se hizo evidente que los espacios vectoriales topológicos eran inadecuados para el estudio de ciertos problemas importantes. ^[3] Por ejemplo, la operación de multiplicación de algunas álgebras topológicas importantes no era continua, aunque a menudo estaba acotada. ^[3] Otros problemas importantes para los que se encontró que los TVS eran inadecuados fueron el desarrollo de una teoría más general del cálculo diferencial, la generalización de distribuciones de distribuciones escalares (usuales) a distribuciones vectoriales o con valores de operadores, y la extensión del cálculo funcional holomorfo de Gelfand (que se coordina principalmente con álgebras de Banach o álgebras localmente convexas) a una clase más amplia de operadores, incluidos aquellos cuyos espectros no son compactos. Se ha encontrado que la bornología es una herramienta útil para investigar estos problemas y otros, ^[4] incluidos los problemas en geometría algebraica y topología general .

Definiciones

Una bornología de un conjunto es una cubierta del conjunto que está cerrada bajo uniones finitas y que toma subconjuntos. Los elementos de una bornología se denominan conjuntos acotados .

Explícitamente, unabornología oLa acotación de un conjuntoes unafamiliade subconjuntos detal manera que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\neq \varnothing }$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo inclusión ocerrado hacia abajo : Sientonces cada subconjunto dees un elemento de ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • Expresado en términos sencillos , esto dice que los subconjuntos de conjuntos acotados están acotados.
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ cubre Cada punto dees un elemento de algúno equivalentemente, ${\displaystyle X:}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle X={\textstyle \bigcup \limits _{B\in {\mathcal {B}}}B}.}$
   • Suponiendo (1), esta condición puede reemplazarse por: Para cada En términos simples, esto dice que cada punto está acotado. ${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}.}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo uniones finitas : La unión de un número finito de elementos de es un elemento de o, equivalentemente, la unión de dos conjuntos cualesquiera que pertenecen a también pertenece a ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$
   • En términos sencillos, esto dice que la unión de dos conjuntos acotados es un conjunto acotado.

En cuyo caso el par se llama ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$estructura delimitada o unaconjunto bornológico .^[5]

Por lo tanto, una bornología puede definirse de manera equivalente como una cubierta cerrada hacia abajo que está cerrada bajo uniones binarias . Una familia no vacía de conjuntos que se cierra bajo uniones finitas y toma subconjuntos (propiedades (1) y (3)) se llama ideal (porque es un ideal en el álgebra booleana / cuerpo de conjuntos que consiste en todos los subconjuntos ). Por lo tanto, una bornología en un conjunto puede definirse de manera equivalente como un ideal que cubre ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Los elementos de se denominan conjuntos acotados o simplemente ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$conjunto acotado s, sise entiende. Las propiedades (1) y (2) implican que cada subconjunto singleton dees un elemento de cada bornología enla propiedad (3), a su vez, garantiza que lo mismo es cierto de cada subconjunto finito deEn otras palabras, los puntos y los subconjuntos finitos siempre están acotados en cada bornología. En particular, el conjunto vacío siempre está acotado. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X.}$

Si es una estructura acotada y entonces el conjunto de complementos es un filtro (propio) llamado ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle X\notin {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle \{X\setminus B:B\in {\mathcal {B}}\}}$filtro en el infinito ;^[5]siempre es un filtro libre , lo que por definición significa que tiene intersección/núcleo, porquepara cada ${\displaystyle \{x\}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle x\in X.}$

Bases y subbases

Si y son bornologías entonces se dice que son ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$más fino omás fuerte quey tambiénse dice que es ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$más grueso omás débil quesi^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}.}$

Una familia de conjuntos se llama ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$base osistema fundamental de una bornologíasiy para cadaexiste untal que ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle B\subseteq A.}$

Una familia de conjuntos se llama ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$subbase de una bornologíasiy la colección de todas las uniones finitas de conjuntos enforma una base para^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Toda base de una bornología es también una subbase de ella.

Bornología generada

La intersección de cualquier colección de (una o más) bornologías en es una vez más una bornología en Tal intersección de bornologías cubrirá porque cada bornología en contiene cada subconjunto finito de (es decir, si es una bornología en y es finito entonces ). Se verifica fácilmente que tal intersección también será cerrada bajo inclusión (de subconjuntos) y uniones finitas y por lo tanto será una bornología en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F\subseteq X}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se llama ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$bornología generada por ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ .^[5] Es igual a la intersección de todas las bornologías enque contienencomo subconjunto. Esta intersección está bien definida porque elconjunto potenciadees siempre una bornología enpor lo que cada familiade subconjuntos desiempre está contenida en al menos una bornología en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Mapas delimitados

Supongamos que y son estructuras acotadas. Un mapa se denomina ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$mapa delimitado localmente , o simplemente unmapa acotado , si la imagende cadaconjunto acotado es unconjunto acotado; es decir, si para cada^[5] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ ${\displaystyle f(A)\in {\mathcal {B}}.}$

Puesto que la composición de dos aplicaciones localmente acotadas es a su vez localmente acotada, es evidente que la clase de todas las estructuras acotadas forma una categoría cuyos morfismos son aplicaciones acotadas. Un isomorfismo en esta categoría se denominabornomorfismo y es unabiyectivalocalmente acotada cuya inversa también está localmente acotada.^[5]

Ejemplos de mapas acotados

Si es un operador lineal continuo entre dos espacios vectoriales topológicos (no necesariamente de Hausdorff), entonces es un operador lineal acotado cuando y tienen sus bornologías de von-Neumann , donde un conjunto está acotado precisamente cuando es absorbido por todos los vecindarios de origen (estos son los subconjuntos de un TVS que normalmente se denominan acotados cuando no se menciona explícitamente ninguna otra bornología). Lo inverso es, en general, falso. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Un mapa secuencialmente continuo entre dos TVS está necesariamente acotado localmente. ^[5] ${\displaystyle f:X\to Y}$

Construcciones generales

Bornología discreta

Para cualquier conjunto, el conjunto de potencias de es una bornología llamada ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \wp (X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$bornología discreta .^[5]Dado que cada bornología enes un subconjunto dela bornología discreta es la mejor bornología en Sies una estructura acotada, entonces (porque las bornologías están cerradas hacia abajo)es la bornología discreta si y solo si ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wp (X),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {B}}.}$

Bornología indiscreta

Para cualquier conjunto, el conjunto de todos los subconjuntos finitos de es una bornología llamada ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$Bornología indiscreta . Es la bornología más burda,es decir, un subconjunto de todas las bornologías. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Conjuntos de cardinalidad acotada

El conjunto de todos los subconjuntos contables de es una bornología en De manera más general, para cualquier cardinal infinito , el conjunto de todos los subconjuntos de que tienen cardinalidad como máximo es una bornología en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \kappa ,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \kappa }$ ${\displaystyle X.}$

Bornología de imagen inversa

Si es un mapa y es una bornología en entonces denota la bornología generada por lo que se llama la bornología de imagen inversa o la bornología inicial inducida por en ^[5] ${\displaystyle f:S\to X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \left[f^{-1}({\mathcal {B}})\right]}$ ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {B}}):=\left\{f^{-1}(B):B\in {\mathcal {B}}\right\},}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S.}$

Sea un conjunto, sea una familia indexada de estructuras acotadas, y sea una familia indexada de aplicaciones donde para cada The ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:S\to T_{i}}$ ${\displaystyle i\in I.}$La bornología de imagen inversa determinadapor estos mapas es la bornología más fuerte alhacer que cada unaesté limitada localmente. Esta bornología es igual a^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{i}:(S,{\mathcal {A}})\to \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)}$ ${\displaystyle {\textstyle \bigcap \limits _{i\in I}\left[f^{-1}\left({\mathcal {B}}_{i}\right)\right]}.}$

Bornología de imagen directa

Sea un conjunto, sea una familia indexada de estructuras acotadas, y sea una familia indexada de aplicaciones donde para cada The ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \left(f_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle f_{i}:T_{i}\to S}$ ${\displaystyle i\in I.}$La bornología de imagen directa determinadapor estos mapas es la bornología más débil alhacer que cada unaesté localmente acotada. Si para cada unodenota la bornología generada porentonces esta bornología es igual a la colección de todos los subconjuntosdede la formadonde cada unoy todos excepto un número finitoestán vacíos.^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f_{i}:\left(T_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)\to (S,{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}_{i}\right),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \cup _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$

Bornología subespacial

Supongamos que es una estructura acotada y es un subconjunto de The ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X.}$La bornología del subespacio esla mejor bornología alhacer elmapa de inclusióndeen(definido por) localmente acotado.^[5] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}})\to (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle s\mapsto s}$

Bornología del producto

Sea una familia indexada de estructuras acotadas, sea y para cada sea denotar la proyección canónica. ${\displaystyle \left(X_{i},{\mathcal {B}}_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle X={\textstyle \prod \limits _{i\in I}X_{i}},}$ ${\displaystyle i\in I,}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}}$La bornología del producto esla bornología de la imagen inversa determinada por las proyecciones canónicas. Es decir, es la bornología más fuerte quehace que cada una de las proyecciones canónicas esté localmente acotada. Una base para la bornología del producto viene dada por^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{i}:X\to X_{i}.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\textstyle \left\{\prod \limits _{i\in I}B_{i}~:~B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}{\text{ for all }}i\in I\right\}}.}$

Construcciones topológicas

Bornología compacta

Un subconjunto de un espacio topológico se denomina relativamente compacto si su clausura es un subespacio compacto de Para cualquier espacio topológico en el que los subconjuntos singleton sean relativamente compactos (como un espacio T1 ), el conjunto de todos los subconjuntos relativamente compactos de forma una bornología denominada ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$bornología compacta en^[5] Toda función continua entreespacios T1está acotada con respecto a sus bornologías compactas. ${\displaystyle X.}$

El conjunto de subconjuntos relativamente compactos de la forma una bornología sobre una base A para esta bornología está dado por todos los intervalos cerrados de la forma para ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle [-n,n]}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots .}$

Bornología métrica

Dado un espacio métrico, la bornología métrica consiste en todos los subconjuntos tales que el supremo es finito. ${\displaystyle (X,d),}$ ${\displaystyle S\subseteq X}$ ${\displaystyle \sup _{s,t\in S}d(s,t)<\infty }$

De manera similar, dado un espacio de medida, la familia de todos los subconjuntos mensurables de medida finita (es decir , ) forman una bornología en ${\displaystyle (X,\Omega ,\mu ),}$ ${\displaystyle S\in \Omega }$ ${\displaystyle \mu (S)<\infty }$ ${\displaystyle X.}$

Clausura y bornologías interiores

Supongamos que es un espacio topológico y es una bornología en ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

La bornología generada por el conjunto de todos los interiores topológicos de los conjuntos en (es decir, generada por se denomina ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\operatorname {int} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$interior dey se denota por^[5] La bornologíase llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$abierto si ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {int} {\mathcal {B}}.}$

La bornología generada por el conjunto de todos los cierres topológicos de conjuntos en (es decir, generada por ) se denomina ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \{\operatorname {cl} B:B\in {\mathcal {B}}\}}$El cierre dey se denota por^[5] Necesariamente tenemos ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle \operatorname {int} {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {B}}\subseteq \operatorname {cl} {\mathcal {B}}.}$

La bornología se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$cerrado si cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes:

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}=\operatorname {cl} {\mathcal {B}};}$
2. los subconjuntos cerrados de generar ; ^[5] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. El cierre de cada uno pertenece a ^[5] ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

La bornología se llama ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$apropiado sies a la vez abierto y cerrado.^[5] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

El espacio topológico se llama ${\displaystyle X}$acotado localmente ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ o simplementeacotado localmentesi cada unotiene un vecindario que pertenece a Todo subconjunto compacto de un espacio topológico acotado localmente está acotado.^[5] ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

Bornología de un espacio vectorial topológico

Si es un espacio vectorial topológico (TVS), entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados de forma una bornología (de hecho, incluso una bornología vectorial ) se denomina ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$bornología de von Neumann ${\displaystyle X}$ , labornología habitual , o simplementeLa bornología dey se conoce como ${\displaystyle X}$acotación natural .^[5] En cualquierTVSlocalmente convexoel conjunto de todoslos discosforma una base para la bornología habitual de^[5] ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Una función lineal entre dos espacios bornológicos es continua si y sólo si está acotada (con respecto a las bornologías habituales).

Anillos topológicos

Supongamos que es un anillo topológico conmutativo . Un subconjunto de se denomina ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$conjunto acotado si para cada vecindaddel origen enexiste una vecindaddel origen ental que^[5] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle SV\subseteq U.}$

Véase también

• Conjunto bornívoro  : Un conjunto que puede absorber cualquier subconjunto acotado.
• Espacio bornológico  : espacio donde los operadores acotados son continuos
• Estructura gruesa#conjunto acotado  : familia de conjuntos en geometría y topología para medir propiedades a gran escala de un espacioPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico
• Bornología vectorial

Referencias

1. Block, Jonathan; Daenzer, Calder (9 de enero de 2009). "Dualidad de Mukai para gerbes con conexión". arXiv : 0803.1529 [math.QA].
2. Hogbe-Nlend 1971, pág. 5.
3. Hogbe-Nlend 1971, págs. 1–2.
4. Hogbe-Nlend 1971.
5. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional: Curso introductorio sobre la teoría de la dualidad Topología-Bornología y su uso en el análisis funcional . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 26. Ámsterdam, Nueva York, Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. Sr.  0500064. OCLC  316549583.
• Hogbe-Nlend, Henri (1971). "Les racines historiques de la bornologie moderne" (PDF) . Séminaire Choquet: Iniciación al análisis (en francés). 10 (1): 1–7. SEÑOR  0477660.
• Khaleelulla, SM (1982). Contraejemplos en espacios vectoriales topológicos . Lecture Notes in Mathematics . Vol. 936. Berlín, Heidelberg, Nueva York: Springer-Verlag . Págs. 29-33, 49, 104. ISBN. 978-3-540-11565-6.OCLC 8588370  .
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El marco conveniente del análisis global (PDF) . Encuestas y monografías matemáticas. Vol. 53. Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-0780-4.OCLC 37141279  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .