Bornología vectorial

En matemáticas , especialmente en análisis funcional , una bornología en un espacio vectorial sobre un cuerpo donde tiene una bornología ℬ , se denomina bornología vectorial si convierte las operaciones del espacio vectorial en mapas acotados. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ _{${\displaystyle \mathbb {F} }$} ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Definiciones

Prerrequisitos

Una bornología de un conjunto es una colección de subconjuntos de los mismos que satisfacen todas las condiciones siguientes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$cubre es decir, ${\displaystyle X;}$ ${\displaystyle X=\cup {\mathcal {B}}}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo inclusiones; es decir, si y entonces ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle A\subseteq B,}$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$
3. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es estable bajo uniones finitas; es decir, si entonces ${\displaystyle B_{1},\ldots ,B_{n}\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle B_{1}\cup \cdots \cup B_{n}\in {\mathcal {B}}}$

Los elementos de la colección se denominan conjuntos acotados o simplemente conjuntos acotados si se entiende. El par se denomina estructura acotada o conjunto bornológico . ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$

Un sistema base o fundamental de una bornología es un subconjunto de tal que cada elemento de es un subconjunto de algún elemento de Dada una colección de subconjuntos de la bornología más pequeña que contiene se llama bornología generada por ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{0}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$

Si y son conjuntos bornológicos entonces su producto bornología sobre es la bornología que tiene como base la colección de todos los conjuntos de la forma donde y ^[1] Un subconjunto de está acotado en el producto bornología si y solo si su imagen bajo las proyecciones canónicas sobre y están ambos acotados. ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle B\times C,}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle C\in {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Si y son conjuntos bornológicos, entonces se dice que una función es una función acotada localmente o una función acotada (con respecto a estas bornologías) si asigna subconjuntos acotados de a subconjuntos acotados de , es decir, si ^[1] Si además es una biyección y también está acotado, entonces se denomina isomorfismo bornológico . ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle (Y,{\mathcal {C}})}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle Y;}$ ${\displaystyle f\left({\mathcal {B}}\right)\subseteq {\mathcal {C}}.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f^{-1}}$ ${\displaystyle f}$

Bornología vectorial

Sea un espacio vectorial sobre un cuerpo donde tiene una bornología. Una bornología en se denomina bornología vectorial en si es estable bajo la suma de vectores, la multiplicación escalar y la formación de cascos equilibrados (es decir, si la suma de dos conjuntos acotados está acotada, etc.). ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{\mathbb {K} }.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Si es un espacio vectorial y es una bornología entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X,}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología vectorial
2. Las sumas finitas y las envolturas equilibradas de conjuntos acotados son acotadas ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$
3. El mapa de multiplicación escalar definido por y el mapa de adición definido por están ambos acotados cuando sus dominios llevan sus bornologías de producto (es decir, asignan subconjuntos acotados a subconjuntos acotados) ^[1] ${\displaystyle \mathbb {K} \times X\to X}$ ${\displaystyle (s,x)\mapsto sx}$ ${\displaystyle X\times X\to X}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto x+y,}$

Una bornología vectorial se denomina bornología vectorial convexa si es estable bajo la formación de envolturas convexas (es decir, la envoltura convexa de un conjunto acotado está acotada), entonces Y una bornología vectorial se denomina separada si el único subespacio vectorial acotado de es el espacio trivial de dimensión 0. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{0\}.}$

Por lo general, se trata de números reales o complejos, en cuyo caso una bornología vectorial se denominará bornología vectorial convexa si tiene una base formada por conjuntos convexos . ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Caracterizaciones

Supongamos que es un espacio vectorial sobre el campo de números reales o complejos y es una bornología en Entonces los siguientes son equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$es una bornología vectorial
2. La suma y la multiplicación escalar son mapas acotados ^[1]
3. La envoltura equilibrada de cada elemento de es un elemento de y la suma de dos elementos cualesquiera de es nuevamente un elemento de ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$

Bornología en un espacio vectorial topológico

Si es un espacio vectorial topológico, entonces el conjunto de todos los subconjuntos acotados de de una bornología vectorial se denomina bornología de von Neumann de , bornología usual o simplemente bornología de y se denomina acotación natural . ^[1] En cualquier espacio vectorial topológico localmente convexo, el conjunto de todos los discos cerrados acotados forman una base para la bornología usual de ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X.}$

Salvo que se indique lo contrario, siempre se supone que los números reales o complejos están dotados de la bornología habitual.

Topología inducida por una bornología vectorial

Supongamos que es un espacio vectorial sobre el cuerpo de números reales o complejos y es una bornología vectorial en Sea todos aquellos subconjuntos de que son convexos, equilibrados y bornívoros . Entonces forma una base de vecindad en el origen para una topología de espacio vectorial topológico localmente convexo . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

Ejemplos

Espacio localmente convexo de funciones acotadas

Sean los números reales o complejos (dotados de sus bornologías habituales), sea una estructura acotada y sea el espacio vectorial de todos los mapas localmente acotados en Para cada sea para todos donde esto define una seminorma en La topología del espacio vectorial topológico localmente convexo en definida por la familia de seminormas se llama topología de convergencia uniforme en un conjunto acotado . ^[1] Esta topología convierte en un espacio completo . ^[1] ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle (T,{\mathcal {B}})}$ ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle B\in {\mathcal {B}},}$ ${\displaystyle p_{B}(f):=\sup \left|f(B)\right|}$ ${\displaystyle f\in LB(T,\mathbb {K} ),}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \left\{p_{B}:B\in {\mathcal {B}}\right\}}$ ${\displaystyle LB(T,\mathbb {K} )}$

Bornología de la equicontinuidad

Sea un espacio topológico, sean los números reales o complejos, y sea el espacio vectorial de todos los mapas continuos de valores en El conjunto de todos los subconjuntos equicontinuos de forma una bornología vectorial en ^[1] ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$ ${\displaystyle T.}$ ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} )}$ ${\displaystyle C(T,\mathbb {K} ).}$

Véase también

• Conjunto de bornívoros
• Espacio bornológico
• Bornología
• Espacio de aplicaciones lineales
• Espacio ultrabornológico

Citas

1. Narici y Beckenstein 2011, págs. 156-175.

Bibliografía

• Hogbe-Nlend, Henri (1977). Bornologías y análisis funcional: Curso introductorio sobre la teoría de la dualidad Topología-Bornología y su uso en el análisis funcional . Estudios matemáticos de Holanda Septentrional. Vol. 26. Ámsterdam, Nueva York, Nueva York: Holanda Septentrional. ISBN 978-0-08-087137-0. Sr.  0500064. OCLC  316549583.
• Kriegl, Andreas; Michor, Peter W. (1997). El contexto conveniente del análisis global . Encuestas y monografías matemáticas. Sociedad matemática estadounidense . ISBN 978-082180780-4.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .