Álgebra topológica

En matemáticas , un álgebra topológica es un álgebra y al mismo tiempo un espacio topológico , donde las estructuras algebraica y topológica son coherentes en un sentido específico. ${\displaystyle A}$

Definición

Un álgebra topológica sobre un campo topológico es un espacio vectorial topológico junto con una multiplicación bilineal. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle \cdot :A\times A\to A}$,

${\displaystyle (a,b)\mapsto a\cdot b}$

eso se convierte en un álgebra y es continuo en algún sentido definido. Normalmente la continuidad de la multiplicación se expresa mediante uno de los siguientes requisitos (no equivalentes): ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$

• continuidad conjunta : ^[1] para cada vecindad de cero hay vecindades de cero y tales que (en otras palabras, esta condición significa que la multiplicación es continua como un mapa entre espacios topológicos ), o ${\displaystyle U\subseteq A}$ ${\displaystyle V\subseteq A}$ ${\displaystyle W\subseteq A}$ ${\displaystyle V\cdot W\subseteq U}$ ${\displaystyle A\times A\to A}$
• continuidad del estereotipo : ^[2] para cada conjunto totalmente acotado y para cada vecindad de cero hay una vecindad de cero tal que y , o ${\displaystyle S\subseteq A}$ ${\displaystyle U\subseteq A}$ ${\displaystyle V\subseteq A}$ ${\displaystyle S\cdot V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\cdot S\subseteq U}$
• continuidad separada : ^[3] para cada elemento y para cada vecindad de cero existe una vecindad de cero tal que y . ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle U\subseteq A}$ ${\displaystyle V\subseteq A}$ ${\displaystyle a\cdot V\subseteq U}$ ${\displaystyle V\cdot a\subseteq U}$

(Ciertamente, la continuidad conjunta implica continuidad estereotipada y la continuidad estereotipada implica continuidad separada). En el primer caso se denomina " álgebra topológica con multiplicación conjunta continua ", y en el último, " con multiplicación continua por separado ". ${\displaystyle A}$

Un álgebra topológica asociativa unital se denomina (a veces) anillo topológico .

Historia

El término fue acuñado por David van Dantzig ; aparece en el título de su tesis doctoral (1931).

Ejemplos

1. Las álgebras de Fréchet son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación conjunta continua.

2. Las álgebras de Banach son casos especiales de las álgebras de Fréchet .

3. Las álgebras estereotipadas son ejemplos de álgebras topológicas asociativas con multiplicación continua estereotipada.

Notas

1. Beckenstein, Narici y Suffel 1977.
2. Akbarov 2003.
3. Mallios 1986.

enlaces externos

• Álgebra topológica en el n Lab

Referencias

• Beckenstein, E.; Narici, L.; Suffel, C. (1977). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080871356.
• Akbarov, SS (2003). "Dualidad de Pontryagin en la teoría de espacios vectoriales topológicos y en álgebra topológica". Revista de Ciencias Matemáticas . 113 (2): 179–349. doi : 10.1023/A:1020929201133 . S2CID  115297067.
• Mallios, A. (1986). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080872353.
• Balachandran, VK (2000). Álgebras topológicas . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780080543086.
• Fragoulopoulou, M. (2005). Álgebras topológicas con involución . Ámsterdam: Holanda del Norte. ISBN 9780444520258.