calculo funcional

Teoría que permite aplicar funciones matemáticas a operadores matemáticos.

En matemáticas , un cálculo funcional es una teoría que permite aplicar funciones matemáticas a operadores matemáticos . Ahora es una rama (más exactamente, varias áreas relacionadas) del campo del análisis funcional , conectada con la teoría espectral . (Históricamente, el término también se usó como sinónimo de cálculo de variaciones ; este uso está obsoleto, excepto para derivada funcional . A veces se usa en relación con tipos de ecuaciones funcionales , o en lógica para sistemas de cálculo de predicados ).

Si es una función, digamos una función numérica de un número real , y es un operador, no hay ninguna razón particular por la que la expresión deba tener sentido. Si es así, entonces ya no lo usaremos en su dominio de función original . En la tradición del cálculo operacional , las expresiones algebraicas en los operadores se manejan independientemente de su significado. Sin embargo, esto pasa casi desapercibido si hablamos de 'cuadrar una matriz', que es el caso de y una matriz . La idea de un cálculo funcional es crear un enfoque basado en principios para este tipo de sobrecarga de la notación. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f(M)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n\times n}$

El caso más inmediato es aplicar funciones polinómicas a una matriz cuadrada , ampliando lo que se acaba de comentar. En el caso de dimensión finita, el cálculo funcional polinómico produce bastante información sobre el operador. Por ejemplo, considere la familia de polinomios que aniquila a un operador . Esta familia es un ideal en el anillo de polinomios. Además, es un ideal no trivial: sea la dimensión finita del álgebra de matrices, entonces es linealmente dependiente. Entonces , para algunos escalares , no todos son iguales a 0. Esto implica que el polinomio se encuentra en el ideal. Dado que el anillo de polinomios es un dominio ideal principal , este ideal es generado por algún polinomio . Multiplicando por una unidad si es necesario, podemos optar por ser mónicos. Cuando se hace esto, el polinomio es precisamente el polinomio mínimo de . Este polinomio proporciona información detallada sobre . Por ejemplo, un escalar es un valor propio de si y sólo si es raíz de . Además, a veces se puede utilizar para calcular el exponencial de manera eficiente. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \{I,T,T^{2},\ldots ,T^{n}\}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}T^{i}=0}$ ${\displaystyle \alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\alpha _{i}x^{i}}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle T}$

El cálculo polinomial no es tan informativo en el caso de dimensión infinita. Considere el desplazamiento unilateral con el cálculo de polinomios; el ideal definido anteriormente es ahora trivial. Por tanto, uno está interesado en cálculos funcionales más generales que los polinomios. El tema está estrechamente vinculado a la teoría espectral , ya que para una matriz diagonal u operador de multiplicación , está bastante claro cuáles deben ser las definiciones.

Ver también

• Cálculo funcional de Borel  - Rama del análisis funcional
• Cálculo funcional continuo  - rama del análisis funcionalPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Integral directa  - generalización del concepto de suma directaPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Cálculo funcional holomorfo

Referencias

• "Cálculo funcional", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

enlaces externos

• Medios relacionados con el cálculo funcional en Wikimedia Commons