Dominio ideal principal

estructura algebraica

En matemáticas , un dominio ideal principal , o PID , es un dominio integral en el que todo ideal es principal , es decir, puede ser generado por un solo elemento. De manera más general, un anillo ideal principal es un anillo conmutativo distinto de cero cuyos ideales son principales, aunque algunos autores (por ejemplo, Bourbaki ) se refieren a los PID como anillos principales. La distinción es que un anillo ideal principal puede tener divisores cero , mientras que un dominio ideal principal no puede.

Los dominios ideales principales son, por tanto, objetos matemáticos que se comportan de alguna manera como los números enteros , con respecto a la divisibilidad : cualquier elemento de un PID tiene una descomposición única en elementos primos (por lo que se cumple un análogo del teorema fundamental de la aritmética ); Dos elementos cualesquiera de un PID tienen un máximo común divisor (aunque puede que no sea posible encontrarlo utilizando el algoritmo euclidiano ). Si xey son elementos de un PID sin divisores comunes, entonces cada elemento del PID se puede escribir en la forma ax + by .

Los dominios ideales principales son noetherianos , son integralmente cerrados , son dominios de factorización única y dominios de Dedekind . Todos los dominios euclidianos y todos los campos son dominios ideales principales.

Los principales dominios ideales aparecen en la siguiente cadena de inclusiones de clases :

rngs ⊃ anillos ⊃ anillos conmutativos ⊃ dominios integrales ⊃ dominios integralmente cerrados ⊃ dominios MCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios ideales principales ⊃ dominios euclidianos ⊃ campos ⊃ campos algebraicamente cerrados

Ejemplos

Ejemplos incluyen:

• ${\displaystyle K}$: cualquier campo ,
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: el anillo de números enteros , ^[1]
• ${\displaystyle K[x]}$: anillos de polinomios en una variable con coeficientes en un campo. (Lo contrario también es cierto, es decir, si es un PID, entonces es un campo). Además, un anillo de series de potencias formales en una variable sobre un campo es un PID ya que todo ideal tiene la forma , ${\displaystyle A[x]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (x^{k})}$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: el anillo de los enteros gaussianos , ^[2]
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$(donde es una raíz cúbica primitiva de 1): los enteros de Eisenstein , ${\displaystyle \omega }$
• Cualquier anillo de valoración discreto , por ejemplo el anillo de enteros p -ádicos . ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

No ejemplos

Ejemplos de dominios integrales que no son PID:

• ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-3}}]}$es un ejemplo de un anillo que no es un dominio de factorización único , ya que por lo tanto no es un dominio ideal principal porque los dominios ideales principales son dominios de factorización únicos. Además, es un ideal que no puede ser generado por un solo elemento. ${\displaystyle 4=2\cdot 2=(1+{\sqrt {-3}})(1-{\sqrt {-3}}).}$ ${\displaystyle \langle 2,1+{\sqrt {-3}}\rangle }$
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$: el anillo de todos los polinomios con coeficientes enteros. No es principal porque es un ideal que no puede ser generado por un solo polinomio. ${\displaystyle \langle 2,x\rangle }$
• ${\displaystyle K[x,y,\ldots ],}$ el anillo de polinomios en al menos dos variables sobre un anillo K no es principal, ya que el ideal no es principal. ${\displaystyle \langle x,y\rangle }$
• La mayoría de los anillos de números enteros algebraicos no son dominios ideales principales. Esta es una de las principales motivaciones detrás de la definición de dominios de Dedekind de Dedekind , que permite reemplazar la factorización única de elementos con la factorización única de ideales. En particular, muchos para la raíz p-ésima primitiva de la unidad no son dominios ideales principales. ^[3] El número de clase de un anillo de números enteros algebraicos da una medida de "qué tan lejos" está el anillo de ser un dominio ideal principal. ${\displaystyle \mathbb {Z} [\zeta _{p}],}$ ${\displaystyle \zeta _{p},}$

Módulos

El resultado clave es el teorema de la estructura: si R es un dominio ideal principal y M es un módulo R finitamente generado , entonces es una suma directa de módulos cíclicos, es decir, módulos con un generador. Los módulos cíclicos son isomorfos para algunos ^[4] (obsérvese que puede ser igual a , en cuyo caso es ). ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle x\in R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle R/xR}$ ${\displaystyle R}$

Si M es un módulo libre sobre un dominio ideal principal R , entonces cada submódulo de M vuelve a ser libre. ^[5] Esto no es válido para módulos sobre anillos arbitrarios, como muestra el ejemplo de módulos anterior . ${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$

Propiedades

En un dominio ideal principal, dos elementos cualesquiera a , b tienen un máximo común divisor , que puede obtenerse como generador del ideal ( a , b ) .

Todos los dominios euclidianos son dominios ideales principales, pero lo contrario no es cierto. Un ejemplo de un dominio ideal principal que no es un dominio euclidiano es el anillo , ^{[6] [7]} esto fue demostrado por Theodore Motzkin y fue el primer caso conocido. ^[8] En este dominio no existen q y r , con 0 ≤ | r | < 4 , de modo que , a pesar de tener un máximo común divisor de 2 . ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\frac {1+{\sqrt {-19}}}{2}}\right]}$ ${\displaystyle (1+{\sqrt {-19}})=(4)q+r}$ ${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$ ${\displaystyle 4}$

Todo dominio ideal principal es un dominio de factorización único (UFD). ^{[9] [10] [11] [12]} Lo contrario no se cumple ya que para cualquier UFD K , el anillo K [ X , Y ] de polinomios en 2 variables es un UFD pero no es un PID. (Para probar esto, observe el ideal generado por No es el anillo completo ya que no contiene polinomios de grado 0, pero no puede ser generado por un solo elemento). ${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .}$

1. Todo dominio ideal principal es noetheriano .
2. En todos los anillos unitarios, los ideales máximos son primos . En los dominios del ideal principal se cumple casi lo contrario: todo ideal primo distinto de cero es máximo.
3. Todos los dominios ideales principales están integralmente cerrados .

Las tres afirmaciones anteriores dan la definición de dominio de Dedekind y, por tanto, todo dominio ideal principal es un dominio de Dedekind.

Sea A un dominio integral. Entonces los siguientes son equivalentes.

1. A es un PID.
2. Todo ideal primo de A es principal. ^[13]
3. A es un dominio de Dedekind que es un UFD.
4. Todo ideal de A generado finitamente es principal (es decir, A es un dominio de Bézout ) y A satisface la condición de la cadena ascendente de los ideales principales .
5. A admite una norma de Dedekind-Hasse . ^[14]

Cualquier norma euclidiana es una norma de Dedekind-Hasse; por tanto, (5) muestra que un dominio euclidiano es un PID. (4) se compara con:

• Un dominio integral es un UFD si y sólo si es un dominio MCD (es decir, un dominio donde cada dos elementos tiene un máximo común divisor) que satisface la condición de la cadena ascendente en los ideales principales.

Un dominio integral es un dominio de Bézout si y solo si dos elementos cualesquiera en él tienen un mcd que es una combinación lineal de los dos. Por tanto, un dominio de Bézout es un dominio GCD y (4) proporciona otra prueba más de que un PID es un UFD.

Ver también

• La identidad de Bézout

Notas

1. Véase Fraleigh y Katz (1967), pág. 73, Corolario del Teorema 1.7 y notas en la p. 369, según el corolario del teorema 7.2
2. Véase Fraleigh y Katz (1967), pág. 385, Teorema 7.8 y pág. 377, Teorema 7.4.
3. Milne, James . "Teoría algebraica de números" (PDF) . pag. 5.
4. Véase también Ribenboim (2001), pág. 113, prueba del lema 2.
5. Conferencia 1. Submódulos de módulos gratuitos sobre un PID math.sc.edu Consultado el 31 de marzo de 2023.
6. Wilson, Jack C. "Un anillo principal que no es un anillo euclidiano". Matemáticas. Revista 46 (enero de 1973) 34-38 [1]
7. George Bergman, Un dominio ideal principal que no es euclidiano: desarrollado como una serie de ejercicios en un archivo PostScript
8. Motzkin, Th (diciembre de 1949). "El algoritmo euclidiano". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 55 (12): 1142-1146. ISSN  0002-9904.
9. Prueba: todo ideal primo es generado por un elemento, que es necesariamente primo. Ahora nos referimos al hecho de que un dominio integral es un UFD si y sólo si sus ideales primos contienen elementos primos.
10. Jacobson (2009), pág. 148, teorema 2.23.
11. Fraleigh y Katz (1967), pág. 368, Teorema 7.2
12. Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko (2004), p.166, teorema 7.2.1.
13. "TY Lam y Manuel L. Reyes, un principio ideal primo en álgebra conmutativa" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 26 de julio de 2010 . Consultado el 31 de marzo de 2023 .
14. Hazewinkel, Gubareni y Kirichenko (2004), p.170, Proposición 7.3.3.

Referencias

• Michiel Hazewinkel , Nadiya Gubareni, VV Kirichenko. Álgebras, anillos y módulos . Editores académicos de Kluwer , 2004. ISBN 1-4020-2690-0 
• John B. Fraleigh, Víctor J. Katz. Un primer curso de álgebra abstracta . Compañía editorial Addison-Wesley. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3 
• Nathan Jacobson . Álgebra básica I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1 
• Paulo Ribenboim. Teoría clásica de los números algebraicos . Springer, 2001. ISBN 0-387-95070-2 

enlaces externos

• Anillo principal en MathWorld