anillo noetheriano

Anillo matemático con ideales de buen comportamiento

En matemáticas , un anillo noetheriano es un anillo que satisface la condición de cadena ascendente en los ideales izquierdo y derecho ; si la condición de la cadena se cumple sólo para los ideales de izquierda o de derecha, entonces el anillo se dice noetheriano izquierdo o noetheriano derecho, respectivamente. Es decir, cada secuencia creciente de ideales de izquierda (o derecha) tiene un elemento mayor; es decir, existe un n tal que: ${\displaystyle I_{1}\subseteq I_{2}\subseteq I_{3}\subseteq \cdots }$ ${\displaystyle I_{n}=I_{n+1}=\cdots .}$

De manera equivalente, un anillo es noetheriano de izquierda (respectivamente noetheriano de derecha) si cada ideal de izquierda (respectivamente ideal de derecha) se genera de forma finita . Un anillo es noetheriano si es noetheriano tanto izquierdo como derecho.

Los anillos noetherianos son fundamentales tanto en la teoría de anillos conmutativa como en la no conmutativa , ya que muchos anillos que se encuentran en matemáticas son noetherianos (en particular el anillo de números enteros , los anillos de polinomios y los anillos de números enteros algebraicos en campos numéricos ), y muchos teoremas generales sobre anillos dependen en gran medida de sobre la propiedad noetheriana (por ejemplo, el teorema de Lasker-Noether y el teorema de la intersección de Krull ).

Los anillos noetherianos llevan el nombre de Emmy Noether , pero la importancia del concepto fue reconocida anteriormente por David Hilbert , con la prueba del teorema de base de Hilbert (que afirma que los anillos polinomiales son noetherianos) y el teorema de sizigia de Hilbert .

Caracterizaciones

Para los anillos no conmutativos , es necesario distinguir entre tres conceptos muy similares:

• Un anillo es noetheriano de izquierda si satisface la condición de cadena ascendente en los ideales de izquierda.
• Un anillo es noetheriano derecho si satisface la condición de cadena ascendente en ideales correctos.
• Un anillo es noetheriano si es noetheriano tanto izquierdo como derecho.

Para los anillos conmutativos , los tres conceptos coinciden, pero en general son diferentes. Hay anillos que son noetherianos izquierdo y no derecho, y viceversa.

Hay otras definiciones equivalentes para que un anillo R sea noetheriano de izquierda:

• Todo ideal de izquierda I en R se genera de forma finita , es decir, existen elementos en I tales que . ^[1] ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$ ${\displaystyle I=Ra_{1}+\cdots +Ra_{n}}$
• Todo conjunto no vacío de ideales izquierdos de R , parcialmente ordenados por inclusión, tiene un elemento maximal . ^[1]

Resultados similares se aplican a los anillos noetherianos derechos.

La siguiente condición es también una condición equivalente para que un anillo R sea noetheriano de izquierda y es la formulación original de Hilbert : ^[2]

• Dada una secuencia de elementos en R , existe un número entero tal que cada uno es una combinación lineal finita con coeficientes en R. ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\textstyle f_{i}=\sum _{j=1}^{n}r_{j}f_{j}}$ ${\displaystyle r_{j}}$

Para que un anillo conmutativo sea noetheriano basta con que todo ideal primo del anillo esté generado de forma finita. ^[3] Sin embargo, no es suficiente pedir que todos los ideales máximos se generen de forma finita, ya que existe un anillo local no noetheriano cuyo ideal máximo es principal (ver un contraejemplo del teorema de intersección de Krull en Anillo local#Caso conmutativo ).

Propiedades

• Si R es un anillo noetheriano, entonces el anillo polinómico es noetheriano según el teorema de la base de Hilbert . Por inducción , es un anillo noetheriano. Además, R [[ X ]] , el anillo de la serie de potencias , es un anillo noetheriano. ${\displaystyle R[X]}$ ${\displaystyle R[X_{1},\ldots ,X_{n}]}$
• Si R es un anillo noetheriano e I es un ideal bilateral, entonces el anillo cociente R / I también es noetheriano. Dicho de otra manera, la imagen de cualquier homomorfismo de anillo sobreyectivo de un anillo noetheriano es noetheriana.
• Cada álgebra conmutativa generada finitamente sobre un anillo noetheriano conmutativo es noetheriana. (Esto se desprende de las dos propiedades anteriores).
• Un anillo R es noetheriano izquierdo si y sólo si cada módulo R izquierdo finitamente generado es un módulo noetheriano .
• Si un anillo conmutativo admite un módulo noetheriano fiel sobre él, entonces el anillo es un anillo noetheriano. ^[4]
• ( Eakin–Nagata ) Si un anillo A es un subanillo de un anillo noetheriano conmutativo B tal que B es un módulo generado finitamente sobre A , entonces A es un anillo noetheriano. ^[5]
• De manera similar, si un anillo A es un subanillo de un anillo noetheriano conmutativo B tal que B es fielmente plano sobre A (o más generalmente exhibe A como un subanillo puro ), entonces A es un anillo noetheriano (consulte el artículo "fielmente plano" para El razonamiento).
• Toda localización de un anillo noetheriano conmutativo es noetheriana.
• Una consecuencia del teorema de Akizuki-Hopkins-Levitzki es que cada anillo artiniano izquierdo es noetheriano izquierdo. Otra consecuencia es que un anillo artiniano izquierdo es noetheriano derecho si y sólo si es artiniano derecho. Las afirmaciones análogas en las que se intercambian "derecha" e "izquierda" también son ciertas.
• Un anillo noetheriano izquierdo se deja coherente y un dominio noetheriano izquierdo es un dominio mineral izquierdo .
• (Bajo) Un anillo es (izquierda/derecha) noetheriano si y sólo si cada suma directa de módulos inyectivos (izquierda/derecha) es inyectiva. Cada módulo inyectivo izquierdo sobre un módulo noetheriano izquierdo se puede descomponer como una suma directa de módulos inyectivos indecomponibles . ^[6] Véase también #Implicación en los módulos inyectivos a continuación.
• En un anillo noetheriano conmutativo, sólo hay un número finito de ideales primos mínimos . Además, la condición de la cadena descendente se cumple en los ideales primos.
• En un dominio noetheriano conmutativo R , cada elemento puede factorizarse en elementos irreducibles (en resumen, R es un dominio de factorización ). Así, si además la factorización es única hasta la multiplicación de los factores por unidades , entonces R es un dominio de factorización único .

Ejemplos

• Cualquier campo, incluidos los campos de los números racionales , los números reales y los números complejos , es noetheriano. (Un campo sólo tiene dos ideales: él mismo y (0).)
• Cualquier anillo ideal principal , como los números enteros, es noetheriano ya que todo ideal es generado por un solo elemento. Esto incluye dominios ideales principales y dominios euclidianos .
• Un dominio de Dedekind (por ejemplo, anillos de números enteros ) es un dominio noetheriano en el que cada ideal es generado por como máximo dos elementos.
• El anillo de coordenadas de una variedad afín es un anillo noetheriano, como consecuencia del teorema de la base de Hilbert.
• El álgebra envolvente U de un álgebra de Lie de dimensión finita es un anillo noetheriano tanto izquierdo como derecho; esto se desprende del hecho de que el anillo graduado asociado de U es un cociente de , que es un anillo polinómico sobre un campo (el teorema PBW ); por tanto, noetheriano. ^[7] Por la misma razón, el álgebra de Weyl y los anillos más generales de operadores diferenciales son noetherianos. ^[8] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sym} ({\mathfrak {g}})}$
• El anillo de polinomios en un número finito de variables sobre números enteros o un campo es noetheriano.

Los anillos que no son noetherianos tienden a ser (en cierto sentido) muy grandes. A continuación se muestran algunos ejemplos de anillos no noetherianos:

• El anillo de polinomios en infinitas variables, X ₁ , X ₂ , X ₃ , etc. La secuencia de ideales ( X ₁ ), ( X ₁ , X ₂ ), ( X ₁ , X ₂ , X ₃ ), etc. ... es ascendente y no termina.
• El anillo de todos los números enteros algebraicos no es noetheriano. Por ejemplo, contiene la cadena infinita ascendente de ideales principales: (2), (2 ^1/2 ), (2 ^1/4 ), (2 ^1/8 ),...
• El anillo de funciones continuas desde los números reales hasta los números reales no es noetheriano: Sea _In el ideal de todas las funciones continuas f tales que f ( x ) = 0 para todo x ≥ n . La secuencia de ideales I ₀ , I ₁ , I ₂ , etc., es una cadena ascendente que no termina.
• El anillo de grupos de esferas de homotopía estable no es noetheriano. ^[9]

Sin embargo, un anillo no noetheriano puede ser un subanillo de un anillo noetheriano. Dado que cualquier dominio integral es un subanillo de un campo, cualquier dominio integral que no sea noetheriano proporciona un ejemplo. Para dar un ejemplo menos trivial,

• El anillo de funciones racionales generado por x e y  / x ⁿ sobre un campo k es un subanillo del campo k ( x , y ) en solo dos variables.

De hecho, hay anillos que son noetherianos derechos, pero no noetherianos izquierdos, por lo que hay que tener cuidado al medir el "tamaño" de un anillo de esta manera. Por ejemplo, si L es un subgrupo de Q ² isomorfo a Z , sea R el anillo de homomorfismos f de Q ² a sí mismo que satisface f ( L ) ⊂ L . Eligiendo una base, podemos describir el mismo anillo R como

${\displaystyle R=\left\{\left.{\begin{bmatrix}a&\beta \\0&\gamma \end{bmatrix}}\,\right\vert \,a\in \mathbf {Z} ,\beta \in \mathbf {Q} ,\gamma \in \mathbf {Q} \right\}.}$

Este anillo es noetheriano derecho, pero no izquierdo; el subconjunto I ⊂ R que consta de elementos con a = 0 y γ = 0 es un ideal izquierdo que no se genera de forma finita como un módulo R izquierdo .

Si R es un subanillo conmutativo de un anillo noetheriano izquierdo S , y S se genera finitamente como un módulo R izquierdo , entonces R es noetheriano. ^[10] (En el caso especial en el que S es conmutativo, esto se conoce como teorema de Eakin ). Sin embargo, esto no es cierto si R no es conmutativo: el anillo R del párrafo anterior es un subanillo del anillo noetheriano izquierdo S = Hom( Q ² , Q ² ), y S se genera de forma finita como un módulo R izquierdo , pero R no es noetheriano izquierdo.

Un dominio de factorización único no es necesariamente un anillo noetheriano. Satisface una condición más débil: la condición de la cadena ascendente sobre los ideales principales . Un anillo de polinomios en infinitas variables es un ejemplo de un dominio de factorización único no noetheriano.

Un anillo de valoración no es noetheriano a menos que sea un dominio ideal principal. Da un ejemplo de un anillo que surge naturalmente en geometría algebraica pero no es noetheriano.

Anillos del grupo noetheriano

Considere el anillo de grupo de un grupo sobre un anillo . Es un anillo y un álgebra asociativa sobre if es conmutativa . Para un grupo y un anillo conmutativo , las dos condiciones siguientes son equivalentes. ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$

• El anillo es noetheriano de izquierda. ${\displaystyle R[G]}$
• El anillo es derecho-noetheriano. ${\displaystyle R[G]}$

Esto se debe a que en este caso existe una biyección entre los ideales izquierdo y derecho del anillo de grupo, a través del homomorfismo del álgebra asociativa . ${\displaystyle R}$

${\displaystyle R[G]\to R[G]^{\operatorname {op} },}$

${\displaystyle g\mapsto g^{-1}\qquad (\forall g\in G).}$

Sean un grupo y un anillo. Si es noetheriano de izquierda/derecha/de dos caras, entonces es noetheriano de izquierda/derecha/de dos caras y es un grupo noetheriano . Por el contrario, si es un anillo conmutativo noetheriano y es una extensión de un grupo noetheriano soluble (es decir, un grupo policíclico ) por un grupo finito , entonces es noetheriano de dos caras. Por otro lado, sin embargo, hay un grupo noetheriano cuyo anillo de grupo sobre cualquier anillo conmutativo noetheriano no es noetheriano de dos caras. ^{[11] : 423, Teorema 38.1} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle G}$

Teoremas clave

Muchos teoremas importantes de la teoría de los anillos (especialmente la teoría de los anillos conmutativos ) se basan en el supuesto de que los anillos son noetherianos.

Caso conmutativo

• Sobre un anillo noetheriano conmutativo, cada ideal tiene una descomposición primaria , lo que significa que puede escribirse como una intersección de un número finito de ideales primarios (cuyos radicales son todos distintos) donde un ideal Q se llama primario si es propio y siempre que xy ∈ Q , ya sea x ∈ Q o y ⁿ ∈ Q para algún entero positivo n . Por ejemplo, si un elemento es producto de potencias de distintos elementos primos, entonces la descomposición primaria es una generalización directa de la factorización prima de números enteros y polinomios. ^[12] ${\displaystyle f=p_{1}^{n_{1}}\cdots p_{r}^{n_{r}}}$ ${\displaystyle (f)=(p_{1}^{n_{1}})\cap \cdots \cap (p_{r}^{n_{r}})}$
• Un anillo noetheriano se define en términos de cadenas ascendentes de ideales. El lema de Artin-Rees , por otro lado, proporciona cierta información sobre una cadena descendente de ideales dada por potencias de ideales . Es una herramienta técnica que se utiliza para demostrar otros teoremas clave como el teorema de la intersección de Krull . ${\displaystyle I\supseteq I^{2}\supseteq I^{3}\supseteq \cdots }$
• La teoría dimensional de los anillos conmutativos se comporta mal en comparación con los anillos no noetherianos; el teorema fundamental, el teorema ideal principal de Krull , ya se basa en el supuesto "noetheriano". Aquí, de hecho, el supuesto "noetheriano" a menudo no es suficiente y en su lugar se utilizan a menudo anillos catenarios universales (noetherianos) , aquellos que satisfacen un determinado supuesto teórico de dimensiones. Los anillos noetherianos que aparecen en las aplicaciones son en su mayoría universalmente catenarios.

Caso no conmutativo

• teorema de goldie

Implicación en módulos inyectivos.

Dado un anillo, existe una estrecha conexión entre los comportamientos de los módulos inyectivos sobre el anillo y si el anillo es un anillo noetheriano o no. Es decir, dado un anillo R , los siguientes son equivalentes:

• R es un anillo noetheriano izquierdo.
• (Bajo) Cada suma directa de módulos R izquierdos inyectivos es inyectiva. ^[6]
• Cada módulo R izquierdo inyectivo es una suma directa de módulos inyectivos indescomponibles . ^[13]
• (Faith-Walker) Existe un número cardinal tal que cada módulo inyectivo izquierdo sobre R es una suma directa de módulos generados (un módulo se genera si tiene un conjunto generador de cardinalidad como máximo ). ^[14] ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {c}}}$
• Existe un módulo R izquierdo H tal que cada módulo R izquierdo se integra en una suma directa de copias de H. ^[15]

El anillo de endomorfismo de un módulo inyectivo indescomponible es local ^[16] y, por tanto, el teorema de Azumaya dice que, sobre un anillo noetheriano izquierdo, cada descomposición indecomponible de un módulo inyectivo es equivalente entre sí (una variante del teorema de Krull-Schmidt ).

Ver también

• esquema noetheriano
• anillo artiniano

Notas

1. Lam (2001), pág. 19
2. Eisenbud 1995, Ejercicio 1.1.
3. Cohen, Irvin S. (1950). "Anillos conmutativos con condición mínima restringida". Revista de Matemáticas de Duke . 17 (1): 27–42. doi :10.1215/S0012-7094-50-01704-2. ISSN  0012-7094.
4. Matsumura 1989, Teorema 3.5.
5. Matsumura 1989, Teorema 3.6.
6. Anderson y Fuller 1992, Proposición 18.13.
7. Bourbaki 1989, capítulo III, §2, núm. 10, Observaciones al final del número.
8. Hotta, Takeuchi y Tanisaki (2008, §D.1, Proposición 1.4.6)
9. El anillo de grupos de esferas de homotopía estable no es noetheriano
10. Formanek y Jategaonkar 1974, Teorema 3
11. Ol'shanskiĭ, Aleksandr Yur'evich (1991). Geometría de definición de relaciones en grupos . Matemáticas y sus aplicaciones. Serie soviética. vol. 70. Traducido por Bakhturin, Yu. A. Dordrecht: Editores académicos de Kluwer. doi :10.1007/978-94-011-3618-1. ISBN 978-0-7923-1394-6. ISSN  0169-6378. SEÑOR  1191619. Zbl  0732.20019.
12. Eisenbud 1995, Proposición 3.11.
13. Anderson y Fuller 1992, teorema 25.6. (b)
14. Anderson y Fuller 1992, teorema 25.8.
15. Anderson y Fuller 1992, Corolario 26.3.
16. Anderson y Fuller 1992, Lema 25.4.

Referencias

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, SEÑOR  1245487
• Atiyah, MF, MacDonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa. Addison-Wesley-Longman. ISBN 978-0-201-40751-8 
• Bourbaki, Nicolás (1989). Álgebra conmutativa: capítulos 1-7. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-19371-7.
• Eisenbud, David (1995). Álgebra conmutativa con miras a la geometría algebraica . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 150. Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-5350-1. ISBN 0-387-94268-8.
• Formanek, Eduardo ; Jategaonkar, Arun Vinayak (1974). "Subanillos de anillos noetherianos". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 46 (2): 181–186. doi : 10.2307/2039890 . JSTOR  2039890.
• Hotta, Ryoshi; Takeuchi, Kiyoshi; Tanisaki, Toshiyuki (2008), Módulos D, gavillas perversas y teoría de la representación , Progress in Mathematics, vol. 236, Birkhäuser, doi :10.1007/978-0-8176-4523-6, ISBN 978-0-8176-4363-8, SEÑOR  2357361, Zbl  1292.00026
• Lam, Tsit Yuen (2001). "Un primer curso en anillos no conmutativos" . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 131 (2ª ed.). Nueva York: Springer. pag. 19. doi :10.1007/978-1-4419-8616-0. ISBN 0387951830. SEÑOR  1838439.
• Capítulo X de Lang, Serge (1993), Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
• Matsumura, Hideyuki (1989), Teoría del anillo conmutativo , Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas (2ª ed.), Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36764-6

enlaces externos

• "Anillo noetheriano", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]