variedad afín

Variedad algebraica definida dentro de un espacio afín

Una curva plana cúbica dada por ${\displaystyle y^{2}=x^{2}(x+1)}$

En geometría algebraica , un conjunto algebraico afín es el conjunto de los ceros comunes sobre un campo algebraicamente cerrado k de alguna familia de polinomios en el anillo polinomial. Una variedad afín o variedad algebraica afín , es un conjunto algebraico afín tal que el ideal generado por el definir polinomios es primo . ${\displaystyle k[X_{1},\ldots ,X_{n}].}$

Algunos textos utilizan el término variedad para cualquier conjunto algebraico, y variedad irreducible un conjunto algebraico cuyo ideal definitorio es primo (variedad afín en el sentido anterior).

En algunos contextos (ver, por ejemplo, Nullstellensatz de Hilbert ), es útil distinguir el campo k en el que se consideran los coeficientes, del campo algebraicamente cerrado K (que contiene k ) sobre el cual se consideran los ceros comunes (es decir, los ceros comunes). los puntos del conjunto algebraico afín están en K ⁿ ). En este caso, la variedad se dice definida sobre k , y los puntos de la variedad que pertenecen a k ⁿ se dicen k -racionales o racionales sobre k . En el caso común donde k es el cuerpo de números reales , un punto k -racional se llama punto real . ^[1] Cuando no se especifica el campo k , un punto racional es un punto que es racional sobre los números racionales . Por ejemplo, el último teorema de Fermat afirma que la variedad algebraica afín (es una curva) definida por x ⁿ  +  y ⁿ  − 1 = 0 no tiene puntos racionales para ningún número entero n mayor que dos.

Introducción

Un conjunto algebraico afín es el conjunto de soluciones en un campo algebraicamente cerrado k de un sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes en k . Más precisamente, si son polinomios con coeficientes en k , definen un conjunto algebraico afín ${\displaystyle f_{1},\ldots ,f_{m}}$

${\displaystyle V(f_{1},\ldots ,f_{m})=\left\{(a_{1},\ldots ,a_{n})\in k^{n}\;|\;f_{1}(a_{1},\ldots ,a_{n})=\ldots =f_{m}(a_{1},\ldots ,a_{n})=0\right\}.}$

Una variedad afín (algebraica) es un conjunto algebraico afín que no es la unión de dos subconjuntos algebraicos afines propios. A menudo se dice que un conjunto algebraico tan afín es irreducible .

Si X es un conjunto algebraico afín e I es el ideal de todos los polinomios que son cero en X , entonces el anillo cociente se llama ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/I}$anillo de coordenadas deX. SiXes una variedad afín, entoncesIes primo, por lo que el anillo de coordenadas es undominio integral. Los elementos del anillo de coordenadasRtambién se denominanfunciones regularesofunciones polinómicasde variedad. Forman elanillo de funciones regulares de la variedad, o, simplemente, elanillo de la variedad; en otras palabras (ver #Gavilla de estructura), es el espacio de secciones globales de la gavilla de estructuradeX.

La dimensión de una variedad es un número entero asociado a toda variedad, e incluso a todo conjunto algebraico, cuya importancia reside en el gran número de sus definiciones equivalentes (ver Dimensión de una variedad algebraica ).

Ejemplos

• El complemento de una hipersuperficie en una variedad afín X (es decir, X \ { f = 0} para algún polinomio f ) es afín. Sus ecuaciones definitorias se obtienen saturando con f el ideal definitorio de X. El anillo de coordenadas es, por tanto, la localización . ${\displaystyle k[X][f^{-1}]}$
• En particular, (la línea afín sin el origen) es afín. ${\displaystyle \mathbb {C} -0}$
• Por otro lado, (el plano afín sin el origen) no es una variedad afín; cf. Teorema de extensión de Hartogs . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}-0}$
• Las subvariedades de codimensión uno en el espacio afín son exactamente las hipersuperficies, es decir, las variedades definidas por un solo polinomio. ${\displaystyle k^{n}}$
• La normalización de una variedad afín irreductible es afín; el anillo de coordenadas de la normalización es el cierre integral del anillo de coordenadas de la variedad. (De manera similar, la normalización de una variedad proyectiva es una variedad proyectiva).

Puntos racionales

Un dibujo de los puntos reales de la curva y ²  =  x ³  −  x ²  − 16 x .

Para una variedad afín sobre un campo algebraicamente cerrado K y un subcampo k de K , un punto k - racional de V es un punto. Es decir, un punto de V cuyas coordenadas son elementos de k . La colección de k puntos racionales de una variedad afín V a menudo se denota. A menudo, si el campo base son los números complejos C , los puntos que son R -racionales (donde R son los números reales ) se llaman puntos reales de la variedad, y Los puntos Q -racionales ( Q los números racionales ) a menudo se denominan simplemente puntos racionales . ${\displaystyle V\subseteq K^{n}}$ ${\displaystyle p\in V\cap k^{n}.}$ ${\displaystyle V(k).}$

Por ejemplo, (1, 0) es un punto Q -racional y R -racional de la variedad como lo es en V y todas sus coordenadas son números enteros. El punto ( √ 2 /2, √ 2 /2) es un punto real de V que no es Q -racional, y es un punto de V que no es R -racional. Esta variedad se llama círculo , porque el conjunto de sus puntos R -racionales es el círculo unitario . Tiene infinitos puntos Q -racionales que son los puntos ${\displaystyle V=V(x^{2}+y^{2}-1)\subseteq \mathbf {C} ^{2},}$ ${\displaystyle (i,{\sqrt {2}})}$

${\displaystyle \left({\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}},{\frac {2t}{1+t^{2}}}\right)}$

donde t es un número racional.

El círculo es un ejemplo de una curva algebraica de grado dos que no tiene un punto racional Q. Esto se puede deducir de que, módulo 4 , la suma de dos cuadrados no puede ser 3 . ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}-3)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Se puede demostrar que una curva algebraica de grado dos con un punto Q -racional tiene infinitos otros puntos Q -racionales; cada uno de esos puntos es el segundo punto de intersección de la curva y una línea con una pendiente racional que pasa por el punto racional.

La variedad compleja no tiene R -puntos racionales, pero tiene muchos puntos complejos. ${\displaystyle V(x^{2}+y^{2}+1)\subseteq \mathbf {C} ^{2}}$

Si V es una variedad afín en C ² definida sobre los números complejos C , los R -puntos racionales de V se pueden dibujar en una hoja de papel o mediante software de gráficos. La figura de la derecha muestra los R -puntos racionales de ${\displaystyle V(y^{2}-x^{3}+x^{2}+16x)\subseteq \mathbf {C} ^{2}.}$

Puntos singulares y espacio tangente.

Sea V una variedad afín definida por los polinomios y sea un punto de V. ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{r}\in k[x_{1},\dots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle a=(a_{1},\dots ,a_{n})}$

La matriz jacobiana J _V ( a ) de V en a es la matriz de las derivadas parciales

${\displaystyle {\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n}).}$

El punto a es regular si el rango de J _V ( a ) es igual a la codimensión de V , y singular en caso contrario.

Si a es regular, el espacio tangente a V en a es el subespacio afín de definido por las ecuaciones lineales ^[2] ${\displaystyle k^{n}}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f_{j}}{\partial {x_{i}}}}(a_{1},\dots ,a_{n})(x_{i}-a_{i})=0,\quad j=1,\dots ,r.}$

Si el punto es singular, algunos autores también llaman espacio tangente al subespacio afín definido por estas ecuaciones, mientras que otros autores dicen que no hay espacio tangente en un punto singular. ^[3] Una definición más intrínseca, que no utiliza coordenadas, viene dada por el espacio tangente de Zariski .

La topología de Zariski

Los conjuntos algebraicos afines de k ⁿ forman los conjuntos cerrados de una topología en k ⁿ , llamada topología de Zariski . Esto se desprende del hecho de que y (de hecho, una intersección contable de conjuntos algebraicos afines es un conjunto algebraico afín). ${\displaystyle V(0)=k^{n},}$ ${\displaystyle V(1)=\emptyset ,}$ ${\displaystyle V(S)\cup V(T)=V(ST),}$ ${\displaystyle V(S)\cap V(T)=V(S,T)}$

La topología de Zariski también se puede describir mediante conjuntos abiertos básicos , donde los conjuntos abiertos de Zariski son uniones contables de conjuntos de la forma . Estos conjuntos abiertos básicos son los complementos en k ⁿ de los lugares cero de conjuntos cerrados de un solo polinomio. Si k es noetheriano (por ejemplo, si k es un campo o un dominio ideal principal ), entonces cada ideal de k se genera de forma finita, por lo que cada conjunto abierto es una unión finita de conjuntos abiertos básicos. ${\displaystyle U_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)\neq 0\}}$ ${\displaystyle f\in k[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ ${\displaystyle V(f)=D_{f}=\{p\in k^{n}:f(p)=0\},}$

Si V es una subvariedad afín de k ^n, la topología de Zariski en V es simplemente la topología subespacial heredada de la topología de Zariski en k ⁿ .

Correspondencia geometría-álgebra

La estructura geométrica de una variedad afín está profundamente ligada a la estructura algebraica de su anillo de coordenadas. Sean I y J ideales de k[V] , el anillo de coordenadas de una variedad afín V . Sea I(V) el conjunto de todos los polinomios que desaparecen en V , y denotemos el radical del ideal I , el conjunto de polinomios f para los cuales alguna potencia de f está en I. La razón por la que se requiere que el campo base sea algebraicamente cerrado es que las variedades afines satisfacen automáticamente el nullstellensatz de Hilbert : para un ideal J en donde k es un campo algebraicamente cerrado, ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle {\sqrt {I}}}$ ${\displaystyle k[x_{1},\ldots ,x_{n}],}$ ${\displaystyle I(V(J))={\sqrt {J}}.}$

Los ideales radicales (ideales que son su propio radical) de k[V] corresponden a subconjuntos algebraicos de V . De hecho, para ideales radicales I y J , si y solo si Por lo tanto V(I)=V(J) si y solo si I=J . Además, la función que toma un conjunto algebraico afín W y devuelve I(W) , el conjunto de todas las funciones que también desaparecen en todos los puntos de W , es la inversa de la función que asigna un conjunto algebraico a un ideal radical, por el nullstellensatz. Por tanto, la correspondencia entre conjuntos algebraicos afines e ideales radicales es una biyección. El anillo de coordenadas de un conjunto algebraico afín se reduce (libre de nilpotentes), ya que un I ideal en un anillo R es radical si y sólo si el anillo cociente R/I se reduce. ${\displaystyle I\subseteq J}$ ${\displaystyle V(J)\subseteq V(I).}$

Los ideales primos del anillo de coordenadas corresponden a subvariedades afines. Un conjunto algebraico afín V(I) puede escribirse como la unión de otros dos conjuntos algebraicos si y sólo si I=JK para ideales propios J y K no iguales a I (en cuyo caso ). Este es el caso si y sólo si I no es primo. Las subvariedades afines son precisamente aquellas cuyo anillo de coordenadas es un dominio integral. Esto se debe a que un ideal es primo si y sólo si el cociente del anillo por el ideal es un dominio integral. ${\displaystyle V(I)=V(J)\cup V(K)}$

Los ideales máximos de k[V] corresponden a puntos de V . Si I y J son ideales radicales, entonces si y sólo si. Como los ideales máximos son radicales, los ideales máximos corresponden a conjuntos algebraicos mínimos (aquellos que no contienen subconjuntos algebraicos adecuados), que son puntos en V. Si V es una variedad afín con anillo de coordenadas esta correspondencia se vuelve explícita a través del mapa donde denota la imagen en el álgebra cociente R del polinomio. Un subconjunto algebraico es un punto si y sólo si el anillo de coordenadas del subconjunto es un campo, como El cociente de un anillo por un ideal máximo es un campo. ${\displaystyle V(J)\subseteq V(I)}$ ${\displaystyle I\subseteq J.}$ ${\displaystyle R=k[x_{1},\ldots ,x_{n}]/\langle f_{1},\ldots ,f_{m}\rangle ,}$ ${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{n})\mapsto \langle {\overline {x_{1}-a_{1}}},\ldots ,{\overline {x_{n}-a_{n}}}\rangle ,}$ ${\displaystyle {\overline {x_{i}-a_{i}}}}$ ${\displaystyle x_{i}-a_{i}.}$

La siguiente tabla resume esta correspondencia, para subconjuntos algebraicos de una variedad afín e ideales del anillo de coordenadas correspondiente:

Productos de variedades afines.

^{Un producto de} variedades afines se puede definir usando el isomorfismo An  ×  Am  =  An ^{+ m} , y luego incrustando el producto en este nuevo espacio ^{afín .} Sean An ^y Am tienen anillos de coordenadas ^k [ x 1 _, ...,  x _n ] y k [ y ₁ ,...,  y _m ] respectivamente , de modo que su producto An ^{+ m} tiene un anillo de ^coordenadas k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] . Sea V  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ) un subconjunto algebraico de ^An , y W =  V  ( g  1 _, ...,  g _M ) un subconjunto ^algebraico de Am . Entonces cada f _i es un polinomio en k [ x ₁ ,...,  x _n ] , y cada g _j está en k [ y ₁ ,...,  y _m ] . El producto de V y W se define como el conjunto algebraico V  ×  W  =  V (  f ₁ ,...,  f _N ,  g ₁ ,...,  g _M ) en A ^{n + m} . El producto es irreducible si cada V , W es irreducible. ^[4]

La topología de Zariski en ^An ×  Am  no  es el producto topológico de las topologías ^de Zariski en los dos espacios. De hecho, la topología del producto se genera por productos de los conjuntos abiertos básicos ^U f ₌  An  −  V  ( f  )  y T g ₌  A  m ⁻  V  ( g  )  . Por lo tanto, los polinomios que están en k [ x ₁ ,...,  x _n ,  y ₁ ,...,  y _m ] pero no pueden obtenerse como producto de un polinomio en k [ x ₁ ,...,  x _n ] con un polinomio en k [ y ₁ ,...,  y _m ] definirá conjuntos algebraicos que están en la topología de Zariski en An  ×  Am  , pero no en la topología del ^{producto .}

Morfismos de variedades afines

Un morfismo, o mapa regular, de variedades afines es una función entre variedades afines que es polinomio en cada coordenada: más precisamente, para variedades afines V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m , un morfismo de V a W es un mapa φ  : V → W de la forma φ ( a ₁ , ..., a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., a _n )), donde f _i ∈ k [ X ₁ , ..., X _n ] para cada i = 1, ..., m . Estos son los morfismos en la categoría de variedades afines.

Existe una correspondencia uno a uno entre morfismos de variedades afines sobre un campo algebraicamente cerrado k y homomorfismos de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k que van en la dirección opuesta. Debido a esto, junto con el hecho de que existe una correspondencia uno a uno entre variedades afines sobre k y sus anillos de coordenadas, la categoría de variedades afines sobre k es dual a la categoría de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k . La categoría de anillos de coordenadas de variedades afines sobre k es precisamente la categoría de álgebras libres de nilpotentes generadas finitamente sobre k .

Más precisamente, para cada morfismo φ  : V → W de variedades afines, hay un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] entre los anillos de coordenadas (que van en la dirección opuesta), y para cada uno de esos homomorfismos, hay es un morfismo de las variedades asociadas a los anillos de coordenadas. Esto se puede demostrar explícitamente: sean V ⊆ k ⁿ y W ⊆ k ^m variedades afines con anillos de coordenadas k [ V ] = k [ X ₁ , ..., X _n ] / I y k [ W ] = k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J respectivamente. Sea φ  : V → W un morfismo. De hecho, un homomorfismo entre anillos polinomiales θ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] / I se factoriza únicamente a través del anillo k [ X ₁ , .. ., X _n ], y un homomorfismo ψ  : k [ Y ₁ , ..., Y _m ] / J → k [ X ₁ , ..., X _n ] está determinado únicamente por las imágenes de Y ₁ , .. . _, Ym . Por lo tanto, cada homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] corresponde únicamente a una elección de imagen para cada Y _i . Entonces dado cualquier morfismo φ = ( f ₁ , ..., f _m ) de V a W , se puede construir un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] que envía Y _i a donde está la clase de equivalencia de f _i en k [ V ]. ${\displaystyle {\overline {f_{i}}},}$ ${\displaystyle {\overline {f_{i}}}}$

De manera similar, para cada homomorfismo de los anillos de coordenadas, se puede construir un morfismo de las variedades afines en la dirección opuesta. Reflejando el párrafo anterior, un homomorfismo φ ^#  : k [ W ] → k [ V ] envía Y _i a un polinomio en k [ V ] . Esto corresponde al morfismo de variedades φ  : V → W definido por φ ( a ₁ , ... , a _n ) = ( f ₁ ( a ₁ , ..., a _n ), ..., f _m ( a ₁ , ..., _an ) ). ${\displaystyle f_{i}(X_{1},\dots ,X_{n})}$

Gavilla de estructura

Equipada con la estructura de haz que se describe a continuación, una variedad afín es un espacio anillado localmente .

Dada una variedad afín X con anillo de coordenadas A , el haz de k -álgebras se define dejando ser el anillo de funciones regulares en U. ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(U)=\Gamma (U,{\mathcal {O}}_{X})}$

Sea D ( f ) = { x | f ( x ) ≠ 0 } para cada f en A . Forman una base para la topología de X y, por lo tanto, están determinadas por sus valores en los conjuntos abiertos D ( f ). (Ver también: haz de módulos#Gavilla asociada a un módulo .) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

El hecho clave, en el que se basa esencialmente Hilbert nullstellensatz , es el siguiente:

Reclamación  :  para cualquier f en A . ${\displaystyle \Gamma (D(f),{\mathcal {O}}_{X})=A[f^{-1}]}$

Prueba: ^[5] La inclusión ⊃ es clara. Por el contrario, sea g en el lado izquierdo y , que es un ideal. Si x está en D ( f ), entonces, dado que g es regular cerca de x , existe una vecindad afín abierta D ( h ) de x tal que ; es decir, h ^mg está en A y por tanto x no está en V ( J ). En otras palabras, y por tanto el nullstellensatz de Hilbert implica que f está en el radical de J ; es decir, . ${\displaystyle J=\{h\in A|hg\in A\}}$ ${\displaystyle g\in k[D(h)]=A[h^{-1}]}$ ${\displaystyle V(J)\subset \{x|f(x)=0\}}$ ${\displaystyle f^{n}g\in A}$ ${\displaystyle \square }$

La afirmación, en primer lugar, implica que X es un espacio "localmente anillado" ya que

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}=\varinjlim _{f(x)\neq 0}A[f^{-1}]=A_{{\mathfrak {m}}_{x}}}$

dónde . En segundo lugar, la afirmación implica que se trata de una gavilla; de hecho, dice que si una función es regular (puntual) en D ( f ), entonces debe estar en el anillo de coordenadas de D ( f ); es decir, la "regularidad" se puede unir. ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{x}=\{f\in A|f(x)=0\}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Por tanto, es un espacio localmente anillado. ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$

Teorema de Serre sobre la afinidad

Un teorema de Serre da una caracterización cohomológica de una variedad afín; dice que una variedad algebraica es afín si y sólo si para cualquier haz cuasi coherente F en X . (cf. teorema B de Cartan .) Esto hace que el estudio cohomológico de una variedad afín sea inexistente, en marcado contraste con el caso proyectivo en el que los grupos cohomológicos de haces de líneas son de interés central. ${\displaystyle H^{i}(X,F)=0}$ ${\displaystyle i>0}$

Grupos algebraicos afines

Una variedad afín G sobre un campo algebraicamente cerrado k se llama grupo algebraico afín si tiene:

• Una multiplicación μ :  G  ×  G  →  G , que es un morfismo regular que sigue el axioma de asociatividad , es decir, tal que μ ( μ ( f ,  g ),  h ) =  μ ( f ,  μ ( g ,  h )) para todos los puntos f , g y h en G ;
• Un elemento de identidad e tal que μ ( e ,  g ) =  μ ( g ,  e ) =  g para cada g en G ;
• Un morfismo inverso , una biyección regular ι :  G  →  G tal que μ ( ι ( g ),  g ) =  μ ( g ,  ι ( g )) =  e para cada g en G.

Juntos, estos definen una estructura de grupo en la variedad. Los morfismos anteriores a menudo se escriben usando notación de grupo ordinaria: μ ( f ,  g ) se puede escribir como f  +  g , f ⋅ g o fg ; la inversa ι ( g ) se puede escribir como − g o g ⁻¹ . Usando la notación multiplicativa, las leyes de asociatividad, identidad e inversa se pueden reescribir como: f ( gh ) = ( fg ) h , ge  =  eg  =  g y gg ⁻¹  =  g ⁻¹ g  =  e .

El ejemplo más destacado de un grupo algebraico afín es GL _n ( k ), el grupo lineal general de grado n . Este es el grupo de transformaciones lineales del espacio vectorial k ⁿ ; si una base de k ⁿ es fija , esto es equivalente al grupo de n × n matrices invertibles con entradas en k . Se puede demostrar que cualquier grupo algebraico afín es isomorfo a un subgrupo de GL _n ( k ) . Por esta razón, los grupos algebraicos afines suelen denominarse grupos algebraicos lineales .

Los grupos algebraicos afines juegan un papel importante en la clasificación de grupos finitos simples , ya que los grupos de tipo Lie son todos conjuntos de F _q -puntos racionales de un grupo algebraico afín, donde F _q es un cuerpo finito.

Generalizaciones

• Si un autor requiere que el campo base de una variedad afín sea algebraicamente cerrado (como lo hace este artículo), entonces los conjuntos algebraicos afines irreducibles sobre campos no algebraicamente cerrados son una generalización de variedades afines. Esta generalización incluye notablemente variedades afines sobre los números reales .

• Una variedad afín desempeña el papel de gráfico local para variedades algebraicas ; es decir, las variedades algebraicas generales, como las variedades proyectivas, se obtienen pegando variedades afines. Las estructuras lineales que están adjuntas a las variedades también son (trivialmente) variedades afines; por ejemplo, espacios tangentes, fibras de haces de vectores algebraicos .

• Una variedad afín es un caso especial de esquema afín , un espacio localmente anillado que es isomorfo al espectro de un anillo conmutativo (hasta una equivalencia de categorías ). Cada variedad afín tiene un esquema afín asociado: si V(I) es una variedad afín en k ⁿ con anillo de coordenadas R = k [ x ₁ , ..., x _n ] / I , entonces el esquema correspondiente a V( I) es Spec( R ), el conjunto de ideales primos de R . El esquema afín tiene "puntos clásicos", que se corresponden con puntos de la variedad (y por tanto ideales máximos del anillo de coordenadas de la variedad), y también un punto para cada subvariedad cerrada de la variedad (estos puntos corresponden a primos, no- ideales máximos del anillo de coordenadas). Esto crea una noción mejor definida del "punto genérico" de una variedad afín, al asignar a cada subvariedad cerrada un punto abierto que es denso en la subvariedad. De manera más general, un esquema afín es una variedad afín si es reducido , irreducible y de tipo finito sobre un campo algebraicamente cerrado k .

Notas

1. Reid (1988)
2. Milne (2017), cap. 5
3. Reid (1988), pág. 94.
4. Esto se debe a que, en un campo algebraicamente cerrado, el producto tensorial de dominios integrales es un dominio integral; ver dominio integral #Propiedades .
5. Mumford 1999, cap. I, § 4. Proposición 1.

Ver también

• Variedad algebraica
• esquema afín
• Representaciones en anillos de coordenadas.

Referencias

El artículo original fue escrito como una traducción humana parcial del artículo francés correspondiente.

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas , vol. 52, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157
• Fulton, William (1969). Curvas algebraicas (PDF) . Addison-Wesley. ISBN 0-201-510103.
• Milne, James S. (2017). «Geometría algebraica» (PDF) . www.jmilne.org . Consultado el 16 de julio de 2021 .
• Milne, James S. Conferencias sobre cohomología de Étale
• Mumford, David (1999). El Libro Rojo de variedades y esquemas: incluye las conferencias de Michigan (1974) sobre las curvas y sus jacobianos . Apuntes de conferencias de matemáticas. vol. 1358 (2ª ed.). Springer-Verlag . doi :10.1007/b62130. ISBN 354063293X.
• Reid, millas (1988). Pregrado en Geometría Algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-35662-8.