Representación en anillos de coordenadas

En matemáticas, una representación en anillos de coordenadas es una representación de un grupo en anillos de coordenadas de variedades afines.

Sea X una variedad algebraica afín sobre un cuerpo algebraicamente cerrado k de característica cero con la acción de un grupo algebraico reductivo G . ^[1] G actúa entonces sobre el anillo de coordenadas de X como una representación regular izquierda : . Esta es una representación de G sobre el anillo de coordenadas de X . ${\displaystyle k[X]}$ ${\displaystyle (g\cdot f)(x)=f(g^{-1}x)}$

El caso más básico es cuando X es un espacio afín (es decir, X es una representación de dimensión finita de G ) y el anillo de coordenadas es un anillo polinómico. El caso más importante es cuando X es una variedad simétrica ; es decir, el cociente de G por un subgrupo de punto fijo de una involución.

Descomposición isotípica

Sea la suma de todos los G -submódulos de que son isomorfos al módulo simple ; se denomina componente isotípico de . Luego hay una descomposición de suma directa: ${\displaystyle k[X]_{(\lambda )}}$ ${\displaystyle k[X]}$ ${\displaystyle V^{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle k[X]}$

${\displaystyle k[X]=\bigoplus _{\lambda }k[X]_{(\lambda )}}$

donde la suma se extiende sobre todos los módulos G simples . La existencia de la descomposición se deduce, por ejemplo, del hecho de que el álgebra de grupo de G es semisimple ya que G es reductivo. ${\displaystyle V^{\lambda }}$

X se llama libre de multiplicidad (o variedad esférica ^[2] ) si cada representación irreducible de G aparece como máximo una vez en el anillo de coordenadas; es decir, . Por ejemplo, es libre de multiplicidad como -módulo. Más precisamente, dado un subgrupo cerrado H de G , defina ${\displaystyle \operatorname {dim} k[X]_{(\lambda )}\leq \operatorname {dim} V^{\lambda }}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G\times G}$

${\displaystyle \phi _{\lambda }:V^{{\lambda }*}\otimes (V^{\lambda })^{H}\to k[G/H]_{(\lambda )}}$

mediante la definición y la extensión por linealidad. Las funciones en la imagen de se denominan habitualmente coeficientes matriciales . Luego se realiza una descomposición de suma directa de los módulos ( N el normalizador de H ) ${\displaystyle \phi _{\lambda }(\alpha \otimes v)(gH)=\langle \alpha ,g\cdot v\rangle }$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle G\times N}$

${\displaystyle k[G/H]=\bigoplus _{\lambda }\phi _{\lambda }(V^{{\lambda }*}\otimes (V^{\lambda })^{H})}$,

que es una versión algebraica del teorema de Peter-Weyl (y de hecho la versión analítica es una consecuencia inmediata). Demostración: sea W un simple -submódulo de . Podemos suponer . Sea el funcional lineal de W tal que . Entonces . Es decir, la imagen de contiene y la inclusión opuesta se cumple ya que es equivariante. ${\displaystyle G\times N}$ ${\displaystyle k[G/H]_{(\lambda )}}$ ${\displaystyle V^{\lambda }=W}$ ${\displaystyle \delta _{1}}$ ${\displaystyle \delta _{1}(w)=w(1)}$ ${\displaystyle w(gH)=\phi _{\lambda }(\delta _{1}\otimes w)(gH)}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle k[G/H]_{(\lambda )}}$ ${\displaystyle \phi _{\lambda }}$

Ejemplos

• Sea B un vector propio y X el cierre de la órbita . Es una variedad afín llamada variedad vectorial de mayor peso por Vinberg-Popov. No tiene multiplicidad. ${\displaystyle v_{\lambda }\in V^{\lambda }}$ ${\displaystyle G\cdot v_{\lambda }}$

La situación de Kostant-Rallis

Véase también

• Representación algebraica

Notas

1. G esté conectado, por lo que los resultados se aplican a grupos finitos.
2. Goodman y Wallach 2009, Observación 12.2.2.

Referencias

• Goodman, Roe; Wallach, Nolan R. (2009). Simetría, representaciones e invariantes (en alemán). doi :10.1007/978-0-387-79852-3. ISBN 978-0-387-79852-3.OCLC 699068818  .