Dimensión de una variedad algebraica

Medida de un objeto matemático estudiado en el campo de la geometría algebraica

En matemáticas y específicamente en geometría algebraica , la dimensión de una variedad algebraica puede definirse de varias formas equivalentes.

Algunas de estas definiciones son de naturaleza geométrica, mientras que otras son puramente algebraicas y se basan en el álgebra conmutativa . Algunas están restringidas a las variedades algebraicas, mientras que otras se aplican también a cualquier conjunto algebraico . Algunas son intrínsecas, es decir, independientes de cualquier incrustación de la variedad en un espacio afín o proyectivo , mientras que otras están relacionadas con dicha incrustación.

Dimensión de un conjunto algebraico afín

Sea K un campo y L ⊇ K una extensión algebraicamente cerrada .

Un conjunto algebraico afín V es el conjunto de los ceros comunes en L ⁿ de los elementos de un ideal I en un anillo polinomial Sea la K -álgebra de las funciones polinomiales sobre V . La dimensión de V es cualquiera de los siguientes números enteros. No cambia si K se amplía, si L se reemplaza por otra extensión algebraicamente cerrada de K y si I se reemplaza por otro ideal que tenga los mismos ceros (es decir, que tenga el mismo radical ). La dimensión también es independiente de la elección de las coordenadas; en otras palabras, no cambia si las x _i se reemplazan por combinaciones lineales linealmente independientes de ellas. ${\displaystyle R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}].}$ ${\displaystyle A=R/I}$

La dimensión de V es

• La longitud máxima de las cadenas de distintas subvariedades no vacías (irreducibles) de V. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle V_{0}\subset V_{1}\subset \ldots \subset V_{d}}$

Esta definición generaliza una propiedad de la dimensión de un espacio euclidiano o de un espacio vectorial . Por tanto, es probablemente la definición que ofrece la descripción intuitiva más sencilla del concepto.

• La dimensión de Krull del anillo de coordenadas A.

Esta es la transcripción de la definición anterior en el lenguaje del álgebra conmutativa , siendo la dimensión de Krull la longitud máxima de las cadenas de ideales primos de A. ${\displaystyle p_{0}\subset p_{1}\subset \ldots \subset p_{d}}$

• La dimensión de Krull máxima de los anillos locales en los puntos de V .

Esta definición muestra que la dimensión es una propiedad local si es irreducible. ${\displaystyle V}$ Si es irreducible, resulta que todos los anillos locales en los puntos de V tienen la misma dimensión de Krull (véase ^[1] ); por lo tanto: ${\displaystyle V}$

• Si V es una variedad, la dimensión de Krull del anillo local en cualquier punto de V

Esto reformula la definición anterior en un lenguaje más geométrico.

• La dimensión máxima de los espacios vectoriales tangentes en los puntos no singulares de V.

Esto relaciona la dimensión de una variedad con la de una variedad diferenciable . Más precisamente, si V se define sobre los reales, entonces el conjunto de sus puntos regulares reales, si no está vacío, es una variedad diferenciable que tiene la misma dimensión que una variedad y que una variedad.

• Si V es una variedad, la dimensión del espacio vectorial tangente en cualquier punto no singular de V.

Este es el análogo algebraico del hecho de que una variedad conexa tiene una dimensión constante. Esto también se puede deducir del resultado que se indica debajo de la tercera definición y del hecho de que la dimensión del espacio tangente es igual a la dimensión de Krull en cualquier punto no singular (véase el espacio tangente de Zariski ).

• El número de hiperplanos o hipersuperficies en posición general que se necesitan para tener una intersección con V que se reduce a un número finito de puntos distinto de cero.

Esta definición no es intrínseca ya que se aplica sólo a conjuntos algebraicos que están explícitamente integrados en un espacio afín o proyectivo.

• La longitud máxima de una secuencia regular en el anillo de coordenadas A.

Esta es la traducción algebraica de la definición anterior.

• La diferencia entre n y la longitud máxima de las secuencias regulares contenidas en I .

Esta es la traducción algebraica del hecho de que la intersección de n – d hipersuperficies generales es un conjunto algebraico de dimensión d .

• El grado del polinomio de Hilbert de A .
• El grado del denominador de la serie de Hilbert de A .

Esto permite, a través de un cálculo de base de Gröbner , calcular la dimensión del conjunto algebraico definido por un sistema dado de ecuaciones polinómicas . Además, la dimensión no cambia si los polinomios de la base de Gröbner se reemplazan con sus monomios principales, y si estos monomios principales se reemplazan con su radical (monomios obtenidos al eliminar exponentes). Por lo tanto: ^[2]

• La dimensión de Krull del anillo de Stanley-Reisner , donde es el radical del ${\displaystyle R/J}$ ${\displaystyle J}$ ideal inicial de para cualquier ordenamiento monomial admisible (el ${\displaystyle I}$ ideal inicial de es el conjunto de todos los monomios principales de elementos de ). ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I}$
• La dimensión del complejo simplicial definido por este anillo de Stanley-Reisner.
• Si I es un ideal primo (es decir, V es una variedad algebraica), el grado de trascendencia sobre K del campo de fracciones de A .

Esto permite demostrar fácilmente que la dimensión es invariante bajo equivalencia biracional .

Dimensión de un conjunto algebraico proyectivo

Sea V un conjunto algebraico proyectivo definido como el conjunto de los ceros comunes de un ideal homogéneo I en un anillo de polinomios sobre un cuerpo K , y sea A = R / I el álgebra graduada de los polinomios sobre V . ${\displaystyle R=K[x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

Se aplican todas las definiciones de la sección anterior, con la diferencia de que, cuando A o I aparecen explícitamente en la definición, el valor de la dimensión debe reducirse en uno. Por ejemplo, la dimensión de V es uno menos que la dimensión de Krull de A.

Cálculo de la dimensión

Dado un sistema de ecuaciones polinomiales sobre un campo algebraicamente cerrado , puede ser difícil calcular la dimensión del conjunto algebraico que define. ${\displaystyle K}$

Sin mayor información sobre el sistema, sólo existe un método práctico, que consiste en calcular una base de Gröbner y deducir el grado del denominador de la serie de Hilbert del ideal generado por las ecuaciones.

El segundo paso, que suele ser el más rápido, se puede acelerar de la siguiente manera: primero, se reemplaza la base de Gröbner por la lista de sus monomios principales (esto ya se hace para el cálculo de la serie de Hilbert). Luego, cada monomio similar se reemplaza por el producto de las variables que lo componen: Entonces, la dimensión es el tamaño máximo de un subconjunto S de las variables, de modo que ninguno de estos productos de variables depende solo de las variables en S . ${\displaystyle {x_{1}}^{e_{1}}\cdots {x_{n}}^{e_{n}}}$ ${\displaystyle x_{1}^{\min(e_{1},1)}\cdots x_{n}^{\min(e_{n},1)}.}$

Este algoritmo se implementa en varios sistemas de álgebra computacional . Por ejemplo, en Maple , es la función Groebner[HilbertDimension] y en Macaulay2 , es la función dim .

Dimensión real

La dimensión real de un conjunto de puntos reales, típicamente un conjunto semialgebraico , es la dimensión de su clausura de Zariski . Para un conjunto semialgebraico S , la dimensión real es uno de los siguientes números enteros iguales: ^[3]

• La dimensión real de es la dimensión de su cierre Zariski. ${\displaystyle S}$
• La dimensión real de es el entero máximo tal que existe un homeomorfismo de en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [0,1]^{d}}$ ${\displaystyle S}$
• La dimensión real de es el entero máximo tal que existe una proyección de sobre un subespacio -dimensional con un interior no vacío . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle d}$

Para un conjunto algebraico definido sobre los reales (es decir, definido por polinomios con coeficientes reales), puede ocurrir que la dimensión real del conjunto de sus puntos reales sea menor que su dimensión como conjunto semialgebraico. Por ejemplo, la superficie algebraica de ecuación es una variedad algebraica de dimensión dos, que tiene solo un punto real (0, 0, 0), y por lo tanto tiene la dimensión real cero. ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}$

La dimensión real es más difícil de calcular que la dimensión algebraica. Para el caso de una hipersuperficie real (es decir, el conjunto de soluciones reales de una única ecuación polinómica), existe un algoritmo probabilístico para calcular su dimensión real. ^[4]

Véase también

• Dimensión (espacio vectorial)
• Teoría de la dimensión (álgebra)
• Dimensión de un esquema

Referencias

1. Capítulo 11 de Atiyah, Michael Francis; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa, Westview Press, ISBN  978-0-201-40751-8 .
2. Cox, David A.; Little, John; O'Shea, Donal Ideales, variedades y algoritmos. Introducción a la geometría algebraica computacional y al álgebra conmutativa. Cuarta edición. Textos de pregrado en matemáticas. Springer, Cham, 2015.
3. Basu, Saugata; Pollack, Richard; Roy, Marie-Françoise (2003), Algoritmos en geometría algebraica real (PDF) , Algoritmos y computación en matemáticas, vol. 10, Springer-Verlag
4. Ivan, Bannwarth; Mohab, Safey El Din (2015), Algoritmo probabilístico para calcular la dimensión de conjuntos algebraicos reales, Actas del simposio internacional de 2015 sobre computación simbólica y algebraica, ACM