Teoría de la dimensión (álgebra)

Estudio de la dimensión en geometría algebraica

En matemáticas , la teoría de la dimensión es el estudio en términos de álgebra conmutativa de la noción de dimensión de una variedad algebraica (y por extensión la de un esquema ). La necesidad de una teoría para una noción aparentemente tan simple resulta de la existencia de muchas definiciones de dimensión que son equivalentes solo en los casos más regulares (véase Dimensión de una variedad algebraica ). Una gran parte de la teoría de la dimensión consiste en estudiar las condiciones bajo las cuales varias dimensiones son iguales, y muchas clases importantes de anillos conmutativos pueden definirse como los anillos tales que dos dimensiones son iguales; por ejemplo, un anillo regular es un anillo conmutativo tal que la dimensión homológica es igual a la dimensión de Krull .

La teoría es más sencilla para los anillos conmutativos que son álgebras finitamente generadas sobre un cuerpo, que también son anillos cociente de anillos polinómicos en un número finito de indeterminados sobre un cuerpo. En este caso, que es la contraparte algebraica del caso de los conjuntos algebraicos afines , la mayoría de las definiciones de la dimensión son equivalentes. Para los anillos conmutativos generales, la falta de interpretación geométrica es un obstáculo para el desarrollo de la teoría; en particular, se sabe muy poco sobre los anillos no noetherianos . ( Los anillos conmutativos de Kaplansky dan una buena explicación del caso no noetheriano).

A lo largo del artículo, se denota la dimensión de Krull de un anillo y la altura de un ideal primo (es decir, la dimensión de Krull de la localización en ese ideal primo). Se supone que los anillos son conmutativos, excepto en la última sección sobre las dimensiones de los anillos no conmutativos. ${\displaystyle \dim }$ ${\displaystyle \operatorname {ht} }$

Resultados básicos

Sea R un anillo noetheriano o un anillo de valoración . Entonces, si R es noetheriano, esto se sigue del teorema fundamental que se indica a continuación (en particular, el teorema del ideal principal de Krull ), pero también es una consecuencia de un resultado más preciso. Para cualquier ideal primo en R , para cualquier ideal primo en que se contrae a . Esto se puede demostrar dentro de la teoría básica de anillos (cf. Kaplansky, anillos conmutativos). Además, en cada fibra de , no se puede tener una cadena de ideales primos de longitud . $${\displaystyle \dim R[x]=\dim R+1.}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ $${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}R[x])=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}}).}$$ $${\displaystyle \operatorname {ht} ({\mathfrak {q}})=\operatorname {ht} ({\mathfrak {p}})+1}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\supsetneq {\mathfrak {p}}R[x]}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} R[x]\to \operatorname {Spec} R}$ ${\displaystyle \geq 2}$

Como un anillo artiniano (por ejemplo, un campo) tiene dimensión cero, por inducción se obtiene una fórmula: para un anillo artiniano R , $${\displaystyle \dim R[x_{1},\dots ,x_{n}]=n.}$$

Anillos locales

Teorema fundamental

Sea un anillo local noetheriano e I un - ideal primario (es decir, se encuentra entre alguna potencia de y ). Sea la serie de Poincaré del anillo graduado asociado . Es decir, donde se refiere a la longitud de un módulo (sobre un anillo artiniano ). Si genera I , entonces su imagen en tiene grado 1 y genera como -álgebra. Por el teorema de Hilbert-Serre , F es una función racional con exactamente un polo en de orden . Puesto que encontramos que el coeficiente de en es de la forma Es decir, es un polinomio en n de grado . P se llama polinomio de Hilbert de . ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle F(t)}$ ${\textstyle \operatorname {gr} _{I}R=\bigoplus _{0}^{\infty }I^{n}/I^{n+1}}$ $${\displaystyle F(t)=\sum _{0}^{\infty }\ell (I^{n}/I^{n+1})t^{n}}$$ ${\displaystyle \ell }$ ${\displaystyle (\operatorname {gr} _{I}R)_{0}=R/I}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle t=1}$ ${\displaystyle d\leq s}$ $${\displaystyle (1-t)^{-d}=\sum _{0}^{\infty }{\binom {d-1+j}{d-1}}t^{j},}$$ ${\displaystyle t^{n}}$ ${\displaystyle F(t)=(1-t)^{d}F(t)(1-t)^{-d}}$ $${\displaystyle \sum _{0}^{N}a_{k}{\binom {d-1+n-k}{d-1}}=(1-t)^{d}F(t){\big |}_{t=1}{n^{d-1} \over {d-1}!}+O(n^{d-2}).}$$ ${\displaystyle \ell (I^{n}/I^{n+1})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle d-1}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} _{I}R}$

Fijamos . También fijamos que sea el número mínimo de elementos de R que puede generar un ideal -primario de R . Nuestra ambición es demostrar el teorema fundamental : Puesto que podemos tomar s como , ya tenemos de lo anterior. A continuación, demostramos por inducción en . Sea una cadena de ideales primos en R . Sea y x un elemento no unitario distinto de cero en D . Puesto que x no es un divisor de cero, tenemos la secuencia exacta El límite de grado del polinomio de Hilbert-Samuel ahora implica que . (Esto se sigue esencialmente del lema de Artin-Rees ; véase la función de Hilbert-Samuel para el enunciado y la prueba). En , la cadena se convierte en una cadena de longitud y, por tanto, por hipótesis inductiva y de nuevo por la estimación de grado, Se sigue la afirmación. Ahora queda demostrar Más precisamente, demostraremos: ${\displaystyle d(R)=d}$ ${\displaystyle \delta (R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ $${\displaystyle \delta (R)=d(R)=\dim R.}$$ ${\displaystyle \delta (R)}$ ${\displaystyle \delta (R)\geq d(R)}$ ${\displaystyle d(R)\geq \dim R}$ ${\displaystyle d(R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{m}}$ ${\displaystyle D=R/{\mathfrak {p}}_{0}}$ $${\displaystyle 0\to D{\overset {x}{\to }}D\to D/xD\to 0.}$$ ${\displaystyle d(D)>d(D/xD)\geq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})}$ ${\displaystyle R/{\mathfrak {p}}_{1}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ ${\displaystyle m-1}$ $${\displaystyle m-1\leq \dim(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(R/{\mathfrak {p}}_{1})\leq d(D)-1\leq d(R)-1.}$$ ${\displaystyle \dim R\geq \delta (R).}$

Lema  —  El ideal maximalista contiene elementos , d = dimensión de Krull de R , tales que, para cualquier i , cualquier ideal primo que contenga tiene altura  . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{d}}$ ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{i})}$ ${\displaystyle \geq i}$

(Nota: es entonces -primario.) Se omite la prueba. Aparece, por ejemplo, en Atiyah–MacDonald. Pero también se puede proporcionar de forma privada; la idea es utilizar la evitación de primos . ${\displaystyle (x_{1},\dots ,x_{d})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

Consecuencias del teorema fundamental

Sea un anillo local noetheriano y ponga . Entonces ${\displaystyle (R,{\mathfrak {m}})}$ ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$

• ${\displaystyle \dim R\leq \dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$, ya que una base de ascensores a un grupo electrógeno de por Nakayama. Si la igualdad se cumple, entonces R se llama un anillo local regular . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$
• ${\displaystyle \dim {\widehat {R}}=\dim R}$, desde . ${\displaystyle \operatorname {gr} R=\operatorname {gr} {\widehat {R}}}$
• ( Teorema del ideal principal de Krull ) La altura del ideal generado por elementos en un anillo noetheriano es como máximo s . Por el contrario, un ideal primo de altura s es mínimo sobre un ideal generado por s elementos. (Demostración: Sea un ideal primo mínimo sobre tal ideal. Entonces . El recíproco se demostró en el curso de la demostración del teorema fundamental). ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{s}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle s\geq \dim R_{\mathfrak {p}}=\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}}$

Teorema  —  Si es un morfismo de anillos locales noetherianos, entonces ^[1] La igualdad se cumple si es plano o, de manera más general, si tiene la propiedad de bajar . ${\displaystyle A\to B}$ $${\displaystyle \dim B/{\mathfrak {m}}_{A}B\geq \dim B-\dim A.}$$ ${\displaystyle A\to B}$

Demostración: Sea que se genere un ideal -primario y que sean tales que sus imágenes generen un ideal -primario. Entonces, para algún s . Elevando ambos lados a potencias mayores, vemos que alguna potencia de está contenida en ; es decir, el último ideal es -primario; por lo tanto, . La igualdad es una aplicación directa de la propiedad descendente. QED ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{A}}$ ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{m}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}/{\mathfrak {m}}_{A}B}$ ${\displaystyle {{\mathfrak {m}}_{B}}^{s}\subset (y_{1},\dots ,y_{m})+{\mathfrak {m}}_{A}B}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$ ${\displaystyle (y_{1},\dots ,y_{m},x_{1},\dots ,x_{n})}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{B}}$ ${\displaystyle m+n\geq \dim B}$

Proposición  —  Si R es un anillo noetheriano, entonces $${\displaystyle \dim R+1=\dim R[x]=\dim R[\![x]\!].}$$

Demostración: Si son una cadena de ideales primos en R , entonces son una cadena de ideales primos en mientras que no es un ideal maximalista. Por lo tanto, . Para la desigualdad inversa, sea un ideal maximalista de y . Claramente, . Como es entonces una localización de un dominio ideal principal y tiene dimensión como máximo uno, obtenemos por la desigualdad anterior. Como es arbitrario, se sigue . QED ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\subsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq {\mathfrak {p}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}R[x]}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{n}R[x]}$ ${\displaystyle \dim R+1\leq \dim R[x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}=R_{\mathfrak {p}}[x]_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle R[x]_{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}R[x]_{\mathfrak {m}}=(R_{\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}})[x]_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle 1+\dim R\geq 1+\dim R_{\mathfrak {p}}\geq \dim R[x]_{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle 1+\dim R\geq \dim R[x]}$

Fórmula de altitud de Nagata

Teorema  —  Sean dominios integrales, un ideal primo y . Si R es un anillo noetheriano, entonces donde la igualdad se cumple si (a) R es universalmente catenaria y R ' es una R -álgebra finitamente generada o (b) R ' es un anillo polinomial sobre R . ${\displaystyle R\subset R'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'\subset R'}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=R\cap {\mathfrak {p}}'}$ $${\displaystyle \dim R'_{{\mathfrak {p}}'}+\operatorname {tr.deg} _{R/{\mathfrak {p}}}{R'/{\mathfrak {p}}'}\leq \dim R_{\mathfrak {p}}+\operatorname {tr.deg} _{R}{R'}}$$

Demostración: ^[2] Supongamos primero que es un anillo polinómico. Por inducción sobre el número de variables, es suficiente considerar el caso . Como R ' es plano sobre R , Por el lema de normalización de Noether , el segundo término del lado derecho es: A continuación, supongamos que es generado por un solo elemento; por lo tanto, . Si I = 0, entonces ya hemos terminado. Supongamos que no. Entonces es algebraico sobre R y por lo tanto . Como R es un subanillo de R ' , y por lo tanto como es algebraico sobre . Sea la preimagen en de . Entonces, como , por el caso polinómico, Aquí, observe que la desigualdad es la igualdad si R ' es catenaria. Finalmente, trabajando con una cadena de ideales primos, es sencillo reducir el caso general al caso anterior. QED ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle R'=R[x]}$ $${\displaystyle \dim R'_{\mathfrak {p'}}=\dim R_{\mathfrak {p}}+\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}{R'}_{{\mathfrak {p}}'}.}$$ $${\displaystyle \dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'-\dim \kappa ({\mathfrak {p}})\otimes _{R}R'/{\mathfrak {p}}'=1-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}')=\operatorname {tr.deg} _{R}R'-\operatorname {tr.deg} \kappa ({\mathfrak {p}}').}$$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle R'=R[x]/I}$ ${\displaystyle R'}$ ${\displaystyle \operatorname {tr.deg} _{R}R'=0}$ ${\displaystyle I\cap R=0}$ ${\displaystyle \operatorname {ht} I=\dim R[x]_{I}=\dim Q(R)[x]_{I}=1-\operatorname {tr.deg} _{Q(R)}\kappa (I)=1}$ ${\displaystyle \kappa (I)=Q(R')}$ ${\displaystyle Q(R)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}^{\prime c}}$ ${\displaystyle R[x]}$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}'}$ ${\displaystyle \kappa ({\mathfrak {p}}^{\prime c})=\kappa ({\mathfrak {p}})}$ $${\displaystyle \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}'}=\operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}/I}\leq \operatorname {ht} {{\mathfrak {p}}^{\prime c}}-\operatorname {ht} {I}=\dim R_{\mathfrak {p}}-\operatorname {tr.deg} _{\kappa ({\mathfrak {p}})}\kappa ({\mathfrak {p}}').}$$

Métodos homológicos

Anillos regulares

Sea R un anillo noetheriano. La dimensión proyectiva de un R -módulo finito M es la longitud más corta de cualquier resolución proyectiva de M (posiblemente infinita) y se denota por . Fijamos ; se denomina dimensión global de R . ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$ ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\sup\{\operatorname {pd} _{R}M\mid {\text{M is a finite module}}\}}$

Supongamos que R es local con campo de residuos k .

Lema  —  (posiblemente infinito). ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=\operatorname {gl.dim} R}$

Demostración: Afirmamos: para cualquier módulo R finito M , Mediante el desplazamiento de dimensión (cf. la demostración del Teorema de Serre a continuación), es suficiente demostrar esto para . Pero luego, por el criterio local de planitud , Ahora, completando la demostración. QED $${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\leq n\Leftrightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(M,k)=0.}$$ ${\displaystyle n=0}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,k)=0\Rightarrow M{\text{ flat }}\Rightarrow M{\text{ free }}\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}(M)\leq 0.}$ $${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}k\leq n\Rightarrow \operatorname {Tor} _{n+1}^{R}(-,k)=0\Rightarrow \operatorname {pd} _{R}-\leq n\Rightarrow \operatorname {gl.dim} R\leq n,}$$

Observación : La prueba también muestra que si M no es libre y es el núcleo de alguna sobreyección de un módulo libre a M. ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}$ ${\displaystyle K}$

Lema  —  Sea , f un divisor distinto de cero de R . Si f es un divisor distinto de cero en M , entonces ${\displaystyle R_{1}=R/fR}$ $${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M\geq \operatorname {pd} _{R_{1}}(M\otimes R_{1}).}$$

Demostración: Si , entonces M es R -libre y por lo tanto es -libre. Supongamos ahora . Entonces tenemos: como en la observación anterior. Por lo tanto, por inducción, es suficiente considerar el caso . Entonces hay una resolución proyectiva: , que da: Pero Por lo tanto, es como máximo 1. QED ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=0}$ ${\displaystyle M\otimes R_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M>0}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}$ ${\displaystyle 0\to P_{1}\to P_{0}\to M\to 0}$ $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})\to P_{1}\otimes R_{1}\to P_{0}\otimes R_{1}\to M\otimes R_{1}\to 0.}$$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,R_{1})={}_{f}M=\{m\in M\mid fm=0\}=0.}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}(M\otimes R_{1})}$

Teorema de Serre  —  R regular ${\displaystyle \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R<\infty \Leftrightarrow \operatorname {gl.dim} R=\dim R.}$

Demostración: ^[3] Si R es regular, podemos escribir , un sistema regular de parámetros. Una sucesión exacta , alguna f en el ideal maximalista, de módulos finitos, , nos da: Pero f aquí es cero ya que mata a k . Por lo tanto, y en consecuencia . Usando esto, obtenemos: La demostración del recíproco es por inducción sobre . Comenzamos con el paso inductivo. Fijemos , entre un sistema de parámetros. Para mostrar que R es regular, es suficiente mostrar que es regular. Pero, como , por hipótesis inductiva y el lema precedente con , ${\displaystyle k=R/(f_{1},\dots ,f_{n})}$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle 0\to M{\overset {f}{\to }}M\to M_{1}\to 0}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }$ $${\displaystyle 0=\operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M,k)\to \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\to \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k){\overset {f}{\to }}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k),\quad i\geq \operatorname {pd} _{R}M.}$$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i+1}^{R}(M_{1},k)\simeq \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M_{1}=1+\operatorname {pd} _{R}M}$ $${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}k=1+\operatorname {pd} _{R}(R/(f_{1},\dots ,f_{n-1}))=\cdots =n.}$$ ${\displaystyle \dim R}$ ${\displaystyle R_{1}=R/f_{1}R}$ ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle R_{1}}$ ${\displaystyle \dim R_{1}<\dim R}$ ${\displaystyle M={\mathfrak {m}}}$ $${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R<\infty \Rightarrow \operatorname {gl.dim} R_{1}=\operatorname {pd} _{R_{1}}k\leq \operatorname {pd} _{R_{1}}{\mathfrak {m}}/f_{1}{\mathfrak {m}}<\infty \Rightarrow R_{1}{\text{ regular}}.}$$

El paso básico permanece. Supongamos que . Afirmamos que si es finito. (Esto implicaría que R es un anillo local semisimple ; es decir, un cuerpo). Si ese no es el caso, entonces hay algún módulo finito con y por lo tanto, de hecho, podemos encontrar M con . Por el lema de Nakayama, hay una sobreyección de un módulo libre F a M cuyo núcleo K está contenido en . Como , el ideal maximal es un primo asociado de R ; es decir, para algunos s distintos de cero en R . Como , . Como K no es cero y es libre, esto implica , lo cual es absurdo. QED ${\displaystyle \dim R=0}$ ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=0}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 0<\operatorname {pd} _{R}M<\infty }$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M=1}$ ${\displaystyle F\to M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$ ${\displaystyle \dim R=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}=\operatorname {ann} (s)}$ ${\displaystyle K\subset {\mathfrak {m}}F}$ ${\displaystyle sK=0}$ ${\displaystyle s=0}$

Corolario  :  Un anillo local regular es un dominio de factorización único.

Demostración: Sea R un anillo local regular. Entonces , que es un dominio íntegramente cerrado. Es un ejercicio estándar de álgebra demostrar que esto implica que R es un dominio íntegramente cerrado. Ahora, necesitamos demostrar que todo ideal divisorial es principal; es decir, el grupo de clases divisorias de R se anula. Pero, según Bourbaki, Álgebra conmutativa, capítulo 7, §. 4. Corolario 2 de la Proposición 16, un ideal divisorial es principal si admite una resolución libre finita, lo que es de hecho el caso según el teorema. QED ${\displaystyle \operatorname {gr} R\simeq k[x_{1},\dots ,x_{d}]}$

Teorema  —  Sea R un anillo. Entonces $${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R[x_{1},\dots ,x_{n}]=\operatorname {gl.dim} R+n.}$$

Profundidad

Sea R un anillo y M un módulo sobre él. Una secuencia de elementos en se llama secuencia M - regular si no es divisor de cero en y no es divisor de cero en para cada . A priori , no es obvio si cualquier permutación de una secuencia regular sigue siendo regular (consulte la sección siguiente para obtener una respuesta positiva). ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x_{1}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle M/(x_{1},\dots ,x_{i-1})M}$ ${\displaystyle i=2,\dots ,n}$

Sea R un anillo noetheriano local con ideal máximo y ponga . Entonces, por definición, la profundidad de un R -módulo finito M es el supremo de las longitudes de todas las M -secuencias regulares en . Por ejemplo, tenemos consta de divisores cero en M está asociado con M . Por inducción, encontramos para cualquier primo asociado de M . En particular, . Si la igualdad se cumple para M = R , R se llama anillo de Cohen-Macaulay . ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle k=R/{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \operatorname {depth} M=0\Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow {\mathfrak {m}}}$ $${\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim R/{\mathfrak {p}}}$$ ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ ${\displaystyle \operatorname {depth} M\leq \dim M}$

Ejemplo : Un anillo local noetheriano regular es Cohen-Macaulay (ya que un sistema regular de parámetros es una secuencia R -regular).

En general, un anillo noetheriano se denomina anillo de Cohen-Macaulay si las localizaciones en todos los ideales máximos son de Cohen-Macaulay. Observamos que un anillo de Cohen-Macaulay es universalmente catenario. Esto implica, por ejemplo, que un anillo polinómico es universalmente catenario ya que es regular y, por lo tanto, de Cohen-Macaulay. ${\displaystyle k[x_{1},\dots ,x_{d}]}$

Proposición  (Rees)  —  Sea M un módulo R finito . Entonces . ${\displaystyle \operatorname {depth} M=\sup\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0,i<n\}}$

De manera más general, para cualquier R -módulo N finito cuyo soporte sea exactamente , ${\displaystyle \{{\mathfrak {m}}\}}$ $${\displaystyle \operatorname {depth} M=\sup\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(N,M)=0,i<n\}.}$$

Demostración: Primero demostramos por inducción sobre n la siguiente afirmación: para cada R -módulo M y cada M -secuencia regular en , ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

El paso básico n = 0 es trivial. A continuación, por hipótesis inductiva, . Pero este último es cero ya que el aniquilador de N contiene alguna potencia de . Por lo tanto, a partir de la secuencia exacta y el hecho de que mata a N , utilizando la hipótesis inductiva de nuevo, obtenemos demostrando ( ⁎ ). Ahora, si , entonces podemos encontrar una secuencia M -regular de longitud mayor que n y por lo tanto por ( ⁎ ) vemos . Queda por demostrar si . Por ( ⁎ ) podemos suponer que n = 0. Entonces está asociado con M ; por lo tanto está en apoyo de M . Por otro lado, se deduce por álgebra lineal que hay un homomorfismo distinto de cero de N a M módulo ; por lo tanto, uno de N a M por el lema de Nakayama. QED ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n-1})M)}$ ${\displaystyle x_{n}}$ ${\displaystyle 0\to M{\overset {x_{1}}{\to }}M\to M_{1}\to 0}$ ${\displaystyle x_{1}}$ $${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n-1}(N,M/x_{1}M)\simeq \operatorname {Hom} _{R}(N,M/(x_{1},\dots ,x_{n})M),}$$ ${\displaystyle n<\operatorname {depth} M}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)=0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,M)\neq 0}$ ${\displaystyle n=\operatorname {depth} M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}\in \operatorname {Supp} (N).}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$

La fórmula de Auslander-Buchsbaum relaciona la profundidad y la dimensión proyectiva.

Teorema  —  Sea M un módulo finito sobre un anillo local noetheriano R . Si , entonces ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M<\infty }$ $${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M+\operatorname {depth} M=\operatorname {depth} R.}$$

Demostración: Argumentamos por inducción sobre , siendo trivial el caso básico (es decir, M libre). Por el lema de Nakayama, tenemos la secuencia exacta donde F es libre y la imagen de f está contenida en . Dado que lo que necesitamos demostrar es . Dado que f mata a k , la secuencia exacta da: para cualquier i , Nótese que el término más a la izquierda es cero si . Si , entonces dado que por hipótesis inductiva, vemos Si , entonces y debe ser QED ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}M}$ ${\displaystyle 0\to K{\overset {f}{\to }}F\to M\to 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {m}}F}$ ${\displaystyle \operatorname {pd} _{R}K=\operatorname {pd} _{R}M-1,}$ ${\displaystyle \operatorname {depth} K=\operatorname {depth} M+1}$ $${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,F)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\to \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\to 0.}$$ ${\displaystyle i<\operatorname {depth} R}$ ${\displaystyle i<\operatorname {depth} K-1}$ ${\displaystyle \operatorname {depth} K\leq \operatorname {depth} R}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)=0.}$ ${\displaystyle i=\operatorname {depth} K-1}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i+1}(k,K)\neq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{i}(k,M)\neq 0.}$

Como cuestión de notación, para cualquier R -módulo M , dejamos que Se ve sin dificultad que es un funtor izquierdo-exacto y luego sea su j -ésimo funtor derivado derecho , llamado cohomología local de R . Puesto que , mediante un sinsentido abstracto, Esta observación prueba la primera parte del teorema siguiente. $${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\{s\in M\mid \operatorname {supp} (s)\subset \{{\mathfrak {m}}\}\}=\{s\in M\mid {\mathfrak {m}}^{j}s=0{\text{ for some }}j\}.}$$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{j}=R^{j}\Gamma _{\mathfrak {m}}}$ ${\displaystyle \Gamma _{\mathfrak {m}}(M)=\varinjlim \operatorname {Hom} _{R}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M)}$ $${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=\varinjlim \operatorname {Ext} _{R}^{i}(R/{\mathfrak {m}}^{j},M).}$$

Teorema  (Grothendieck)  —  Sea M un módulo R finito . Entonces

1. ${\displaystyle \operatorname {depth} \operatorname {M} =\sup\{n\mid H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i<n\}}$.
2. ${\displaystyle H_{\mathfrak {m}}^{i}(M)=0,i>\dim M}$Y si ${\displaystyle \neq 0}$ ${\displaystyle i=\dim M.}$
3. Si R es completo y d es su dimensión de Krull y si E es la envoltura inyectiva de k , entonces es representable (el objeto que representa a veces se denomina módulo canónico , especialmente si R es Cohen-Macaulay). $${\displaystyle \operatorname {Hom} _{R}(H_{\mathfrak {m}}^{d}(-),E)}$$

Demostración: 1. ya se señaló (excepto para mostrar que no se desvanece en el grado igual a la profundidad de M ; use la inducción para ver esto) y 3. es un hecho general por absurdo abstracto. 2. es una consecuencia de un cálculo explícito de una cohomología local por medio de complejos de Koszul (ver más abajo). ${\displaystyle \square }$

Complejo Koszul

Sea R un anillo y x un elemento del mismo. Formamos el complejo en cadena K ( x ) dado por para i = 0, 1 y para cualquier otro i con la diferencial Para cualquier R -módulo M , obtenemos entonces el complejo con la diferencial y sea su homología. Nota: ${\displaystyle K(x)_{i}=R}$ ${\displaystyle K(x)_{i}=0}$ $${\displaystyle d:K_{1}(R)\to K_{0}(R),\,r\mapsto xr.}$$ ${\displaystyle K(x,M)=K(x)\otimes _{R}M}$ ${\displaystyle d\otimes 1}$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x,M)=\operatorname {H} _{*}(K(x,M))}$ $${\displaystyle \operatorname {H} _{0}(x,M)=M/xM,}$$ $${\displaystyle \operatorname {H} _{1}(x,M)={}_{x}M=\{m\in M\mid xm=0\}.}$$

De manera más general, dada una secuencia finita de elementos en un anillo R , formamos el producto tensorial de complejos : y sea su homología. Como antes, ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ $${\displaystyle K(x_{1},\dots ,x_{n})=K(x_{1})\otimes \dots \otimes K(x_{n})}$$ ${\displaystyle \operatorname {H} _{*}(x_{1},\dots ,x_{n},M)=\operatorname {H} _{*}(K(x_{1},\dots ,x_{n},M))}$ $${\displaystyle \operatorname {H} _{0}({\underline {x}},M)=M/(x_{1},\dots ,x_{n})M,}$$ $${\displaystyle \operatorname {H} _{n}({\underline {x}},M)=\operatorname {Ann} _{M}((x_{1},\dots ,x_{n})).}$$

Ahora tenemos la caracterización homológica de una secuencia regular.

Teorema  —  Supongamos que R es noetheriano, M es un módulo finito sobre R y están en el radical de Jacobson de R . Entonces los siguientes son equivalentes ${\displaystyle x_{i}}$

1. ${\displaystyle {\underline {x}}}$es una secuencia M -regular.
2. ${\displaystyle \operatorname {H} _{i}({\underline {x}},M)=0,i\geq 1}$.
3. ${\displaystyle \operatorname {H} _{1}({\underline {x}},M)=0}$.

Corolario  :  La secuencia es M -regular si y sólo si alguna de sus permutaciones lo es. ${\displaystyle x_{i}}$

Corolario  —  Si es una secuencia M -regular, entonces es también una secuencia M -regular para cada entero positivo j . ${\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}$ ${\displaystyle x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j}}$

Un complejo de Koszul es una herramienta computacional poderosa. Por ejemplo, se desprende del teorema y el corolario (aquí, se utiliza la autodualidad de un complejo de Koszul; véase la Proposición 17.15 de Eisenbud, Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica ). $${\displaystyle \operatorname {H} _{\mathfrak {m}}^{i}(M)\simeq \varinjlim \operatorname {H} ^{i}(K(x_{1}^{j},\dots ,x_{n}^{j};M))}$$

Otro ejemplo sería

Teorema  :  Supongamos que R es local. Entonces, sea la dimensión del espacio tangente de Zariski (a menudo llamada dimensión de incrustación de R ). Entonces $${\displaystyle s=\dim _{k}{\mathfrak {m}}/{\mathfrak {m}}^{2},}$$ $${\displaystyle {\binom {s}{i}}\leq \dim _{k}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(k,k).}$$

Observación : El teorema puede utilizarse para dar una segunda prueba rápida del teorema de Serre, que R es regular si y solo si tiene dimensión global finita. En efecto, por el teorema anterior, y por lo tanto . Por otra parte, como , la fórmula de Auslander–Buchsbaum da . Por lo tanto, . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{s}^{R}(k,k)\neq 0}$ ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\geq s}$ ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\operatorname {pd} _{R}k}$ ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$ ${\displaystyle \dim R\leq s\leq \operatorname {gl.dim} R=\dim R}$

A continuación, utilizamos una homología de Koszul para definir y estudiar los anillos de intersección completos . Sea R un anillo local noetheriano. Por definición, la primera desviación de R es la dimensión del espacio vectorial donde es un sistema de parámetros. Por definición, R es un anillo de intersección completo si es la dimensión del espacio tangente. (Véase Hartshorne para un significado geométrico). $${\displaystyle \epsilon _{1}(R)=\dim _{k}\operatorname {H} _{1}({\underline {x}})}$$ ${\displaystyle {\underline {x}}=(x_{1},\dots ,x_{d})}$ ${\displaystyle \dim R+\epsilon _{1}(R)}$

Teorema  —  R es un anillo de intersección completo si y solo si su álgebra de Koszul es un álgebra exterior .

Dimensión inyectiva y dimensiones Tor

Sea R un anillo. La dimensión inyectiva de un R -módulo M denotado por se define igual que una dimensión proyectiva: es la longitud mínima de una resolución inyectiva de M . Sea la categoría de R -módulos. ${\displaystyle \operatorname {id} _{R}M}$ ${\displaystyle \operatorname {Mod} _{R}}$

Teorema  —  Para cualquier anillo R , $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gl.dim} R\,&=\operatorname {sup} \{\operatorname {id} _{R}M\mid M\in \operatorname {Mod} _{R}\}\\&=\inf\{n\mid \operatorname {Ext} _{R}^{i}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}\end{aligned}}}$$

Demostración: Supongamos que . Sea M un módulo R y consideremos una resolución donde son módulos inyectivos. Para cualquier ideal I , que es cero ya que se calcula mediante una resolución proyectiva de . Por lo tanto, por el criterio de Baer , N es inyectiva. Concluimos que . Básicamente, invirtiendo las flechas, también se puede demostrar la implicación de la otra manera. QED ${\displaystyle \operatorname {gl.dim} R\leq n}$ $${\displaystyle 0\to M\to I_{0}{\overset {\phi _{0}}{\to }}I_{1}\to \dots \to I_{n-1}{\overset {\phi _{n-1}}{\to }}N\to 0}$$ ${\displaystyle I_{i}}$ $${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{1}(R/I,N)\simeq \operatorname {Ext} _{R}^{2}(R/I,\operatorname {ker} (\phi _{n-1}))\simeq \dots \simeq \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,M),}$$ ${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n+1}(R/I,-)}$ ${\displaystyle R/I}$ ${\displaystyle \sup\{\operatorname {id} _{R}M|M\}\leq n}$

El teorema sugiere que consideremos una especie de dual de una dimensión global: originalmente se llamó dimensión global débil de R, pero hoy en día se llama más comúnmente dimensión Tor de R. $${\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} =\inf\{n\mid \operatorname {Tor} _{i}^{R}(M,N)=0,\,i>n,M,N\in \operatorname {Mod} _{R}\}.}$$

Observación: para cualquier anillo R , . ${\displaystyle \operatorname {w.gl.dim} R\leq \operatorname {gl.dim} R}$

Proposición  :  Un anillo tiene dimensión global débil cero si y sólo si es regular de von Neumann .

Dimensiones de anillos no conmutativos

Sea A un álgebra graduada sobre un cuerpo k . Si V es un subespacio generador de dimensión finita de A , entonces dejamos y luego ponemos Se llama dimensión de Gelfand-Kirillov de A . Es fácil demostrar que es independiente de una elección de V . Dado un módulo derecho (o izquierdo) graduado M sobre A se puede definir de manera similar la dimensión de Gelfand-Kirillov de M . ${\displaystyle f(n)=\dim _{k}V^{n}}$ $${\displaystyle \operatorname {gk} (A)=\limsup _{n\to \infty }{\log f(n) \over \log n}.}$$ ${\displaystyle \operatorname {gk} (A)}$ ${\displaystyle {gk}(M)}$

Ejemplo : Si A es de dimensión finita, entonces gk( A ) = 0. Si A es un anillo afín, entonces gk( A ) = dimensión de Krull de A .

Desigualdad de Bernstein  —  Véase [1]

Ejemplo : Si es la n-ésima álgebra de Weyl entonces ${\displaystyle A_{n}=k[x_{1},...,x_{n},\partial _{1},...,\partial _{n}]}$ ${\displaystyle \operatorname {gk} (A_{n})=2n.}$

Véase también

• Teoría de la multiplicidad
• Número de bajo
• Complejo perfecto
• amplitud

Notas

1. Eisenbud 1995, Teorema 10.10
2. Matsumura 1987, Teorema 15.5.
3. Weibel 1995, Teorema 4.4.16

Referencias

• Bruns, Winfried; Herzog, Jürgen (1993), Anillos de Cohen-Macaulay, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 39, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-41068-7, Sr.  1251956
• Parte II de Eisenbud, David (1995), Álgebra conmutativa. Con vistas a la geometría algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 150, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94268-8, Sr.  1322960.
• Capítulo 10 de Atiyah, Michael Francis ; Macdonald, IG (1969), Introducción al álgebra conmutativa , Westview Press, ISBN 978-0-201-40751-8.
• Kaplansky, Irving , Anillos conmutativos , Allyn y Bacon, 1970.
• Matsumura, H. (1987). Teoría de anillos conmutativos . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 8. Traducido por M. Reid. Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9781139171762. ISBN. 978-0-521-36764-6.
• Serre, Jean-Pierre (1975), localidad de Algèbre. Multiplicités , Cours au Collège de France, 1957-1958, rédigé par Pierre Gabriel. Troisième édition, 1975. Lecture Notes in Mathematics (en francés), vol. 11, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Weibel, Charles A. (1995). Introducción al álgebra homológica . Cambridge University Press.