Longitud de un módulo

En álgebra, número entero asociado a un módulo.

En álgebra , la longitud de un módulo es una generalización de la dimensión de un espacio vectorial que mide su tamaño. ^{[1] página 153} Se define como la longitud de la cadena más larga de submódulos .

Los módulos de longitud finita son módulos generados de forma finita , pero a diferencia de los espacios vectoriales, muchos módulos generados de forma finita tienen una longitud infinita. Los módulos finitamente generados de longitud finita también se denominan módulos artinianos y están en la base de la teoría de los anillos artinianos .

Para espacios vectoriales, la longitud es igual a la dimensión. Este no es el caso en álgebra conmutativa y geometría algebraica , donde una longitud finita puede ocurrir sólo cuando la dimensión es cero.

El grado de una variedad algebraica es la longitud del anillo asociado al conjunto algebraico de dimensión cero resultante de la intersección de la variedad con hiperplanos genéricos . En geometría algebraica, la multiplicidad de intersección se define comúnmente como la longitud de un módulo específico.

Definición

Longitud de un módulo

Sea un módulo (izquierdo o derecho) sobre algún anillo . Dada una cadena de submódulos de la forma ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle M_{0}\subsetneq M_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq M_{n},}$

se dice que es la longitud de la cadena. ^[1] La longitud de es la longitud más grande de cualquiera de sus cadenas. Si no existe tal longitud mayor, decimos que tiene longitud infinita . Claramente, si la longitud de una cadena es igual a la longitud del módulo, se tiene y ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{0}=0}$ ${\displaystyle M_{n}=M.}$

longitud de un anillo

Se dice que un anillo tiene una longitud finita como anillo si tiene una longitud finita como módulo izquierdo. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Propiedades

Longitud finita y módulos finitos.

Si un módulo tiene una longitud finita, entonces se genera de forma finita . ^[2] Si R es un campo, entonces lo contrario también es cierto. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Relación con los módulos artinianos y noetherianos

Un módulo tiene longitud finita si y sólo si es tanto un módulo noetheriano como un módulo artiniano ^[1] (cf. teorema de Hopkins ). Dado que todos los anillos artinianos son noetherianos, esto implica que un anillo tiene una longitud finita si y sólo si es artiniano. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle M}$

Comportamiento respecto a secuencias cortas exactas

Suponer

$${\displaystyle 0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0}$$

secuencia corta y exactaLN ${\displaystyle R}$

$${\displaystyle {\text{length}}_{R}(M)={\text{length}}_{R}(L)+{\text{length}}_{R}(N)}$$

• La suma directa de dos módulos de longitud finita tiene longitud finita
• El submódulo de un módulo con longitud finita tiene una longitud finita y su longitud es menor o igual que su módulo principal.

Teorema de Jordan-Hölder

Una serie de composición del módulo M es una cadena de la forma

${\displaystyle 0=N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n}=M}$

tal que

${\displaystyle N_{i+1}/N_{i}{\text{ is simple for }}i=0,\dots ,n-1}$

Un módulo M tiene longitud finita si y sólo si tiene una serie de composición (finita), y la longitud de cada serie de composición es igual a la longitud de M.

Ejemplos

Espacios vectoriales de dimensión finita

Cualquier espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo tiene una longitud finita. Dada una base existe la cadena. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}}$

$${\displaystyle 0\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1})\subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},v_{2})\subset \cdots \subset {\text{Span}}_{k}(v_{1},\ldots ,v_{n})=V}$$

${\displaystyle n}$

$${\displaystyle V_{0}\subset \cdots \subset V_{m}}$$

${\displaystyle 1}$

módulos artinianos

Sobre un anillo base , los módulos artinianos forman una clase de ejemplos de módulos finitos. De hecho, estos ejemplos sirven como herramientas básicas para definir el orden de desaparición en la teoría de las intersecciones . ^[3] ${\displaystyle R}$

módulo cero

El módulo cero es el único con longitud 0.

Módulos simples

Los módulos con longitud 1 son precisamente los módulos simples .

Módulos artinianos sobre Z

La longitud del grupo cíclico (visto como un módulo sobre los números enteros Z ) es igual al número de factores primos de , con múltiples factores primos contados varias veces. Esto se desprende del hecho de que los submódulos de están en correspondencia uno a uno con los divisores positivos de , correspondencia que resulta del hecho de que es un anillo ideal principal . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Uso en teoría de la multiplicidad

Para las necesidades de la teoría de la intersección , Jean-Pierre Serre introdujo una noción general de multiplicidad de un punto, como la longitud de un anillo local artiniano relacionado con este punto.

La primera aplicación fue una definición completa de la multiplicidad de intersección y, en particular, una declaración del teorema de Bézout que afirma que la suma de las multiplicidades de los puntos de intersección de n hipersuperficies algebraicas en un espacio proyectivo de n dimensiones es infinita o es exactamente el producto de los grados de las hipersuperficies.

Esta definición de multiplicidad es bastante general y contiene como casos especiales la mayoría de las nociones anteriores de multiplicidad algebraica.

Orden de desaparición de ceros y polos.

Un caso especial de esta definición general de multiplicidad es el orden de desaparición de una función algebraica distinta de cero en una variedad algebraica. Dada una variedad algebraica y una subvariedad de codimensión 1 ^[3], el orden de desaparición de un polinomio se define como ^[4] ${\displaystyle f\in R(X)^{*}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle f\in R(X)}$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{V,X}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{V,X}}{(f)}}\right)}$$

^{[3] páginas 426-227}tallo^{[5] página 22}variedad afín ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle V(f)}$

$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}\cong R(X)_{(f)}}$$

funciones racionales^[3] ${\displaystyle F=f/g}$ ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{V}(F):=\operatorname {ord} _{V}(f)-\operatorname {ord} _{V}(g)}$$

análisis complejos

Ejemplo sobre una variedad proyectiva.

Por ejemplo, considere una superficie proyectiva definida por un polinomio , entonces el orden de desaparición de una función racional ${\displaystyle Z(h)\subset \mathbb {P} ^{3}}$ ${\displaystyle h\in k[x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}$

$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(F)=\operatorname {ord} _{Z(h)}(f)-\operatorname {ord} _{Z(h)}(g)}$$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(f)}}\right)}$$

${\displaystyle h=x_{0}^{3}+x_{1}^{3}+x_{2}^{3}+x_{2}^{3}}$ ${\displaystyle f=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle g=h^{2}(x_{0}+x_{1}-x_{3})}$

$${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z(h)}(f)={\text{length}}_{{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}\left({\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(x^{2}+y^{2})}}\right)=0}$$

unidadanillo local ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}$ ${\displaystyle x_{0}+x_{1}-x_{3}}$

$${\displaystyle {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$

${\displaystyle 2}$

$${\displaystyle (0)\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h)}}\subset {\frac {{\mathcal {O}}_{Z(h),\mathbb {P} ^{3}}}{(h^{2})}}}$$

Cero y polos de una función analítica.

El orden de desaparición es una generalización del orden de ceros y polos para funciones meromórficas en análisis complejos . Por ejemplo, la función

$${\displaystyle {\frac {(z-1)^{3}(z-2)}{(z-1)(z-4i)}}}$$

${\displaystyle 1,2\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4i\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle R(X)=\mathbb {C} [z]}$ ${\displaystyle V=V(z-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V,X}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} [z]_{(z-1)}}$

$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-4i)(z-1)^{2})}}}$$

${\displaystyle z-4i}$

$${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}$$

${\displaystyle 2}$

$${\displaystyle (0)\subset {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1))}}\subset {\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [z]_{(z-1)}}{((z-1)^{2})}}}}$$

^[6]teorema de factorización de Weierstrass,

$${\displaystyle F={\frac {f}{g}}}$$

Ver también

• Serie de Hilbert-Poincaré
• bien divisor
• anillo de comida
• Teoría de la intersección
• Teorema de factorización de Weierstrass
• Las conjeturas de multiplicidad de Serre
• Esquema de Hilbert : se puede utilizar para estudiar módulos según un esquema con una longitud fija
• Teorema de Krull-Schmidt

Referencias

1. "Un término de álgebra conmutativa". www.centerofmathematics.com . págs. 153-158. Archivado desde el original el 2 de marzo de 2013 . Consultado el 22 de mayo de 2020 .URL alternativa
2. "Lema 10.51.2 (02LZ): el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .
3. Fulton, William, 1939- (1998). Teoría de la intersección (2ª ed.). Berlín: Springer. págs. 8-10. ISBN 3-540-62046-X. OCLC  38048404.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: numeric names: authors list (link)
4. "Sección 31.26 (0BE0): Divisores Weil: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .
5. Hartshorne, Robin (1977). Geometría algebraica. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 52. Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. doi :10.1007/978-1-4757-3849-0. ISBN 978-1-4419-2807-8. S2CID  197660097.
6. "Sección 10.120 (02MB): Órdenes de desaparición: el proyecto Stacks". pilas.math.columbia.edu . Consultado el 22 de mayo de 2020 .

enlaces externos

• Steven H. Weintraub, Teoría de la representación de grupos finitos AMS (2003) ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6  
• Allen Altman, Steven Kleiman, Un término de álgebra conmutativa .
• El proyecto Pilas. Longitud