Las conjeturas de multiplicidad de Serre

En matemáticas , las conjeturas de multiplicidad de Serre , llamadas así por Jean-Pierre Serre , son ciertos problemas del álgebra conmutativa , motivados por las necesidades de la geometría algebraica . Desde la definición inicial de los números de intersección de André Weil , alrededor de 1949, había existido una cuestión de cómo proporcionar una teoría más flexible y computable, que Serre intentó abordar. En 1958, Serre se dio cuenta de que las ideas algebraico-geométricas clásicas de multiplicidad podían generalizarse utilizando los conceptos del álgebra homológica .

Sea R un anillo local regular , conmutativo y noetheriano y sean P y Q ideales primos de R . Serre definió la multiplicidad de intersección de R / P y R / Q por medio de sus funtores Tor . A continuación, denota la longitud del módulo , y asumimos para el resto del artículo que ${\displaystyle \ell _{R}(M)}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \ell _{R}((R/P)\otimes _{R}(R/Q))<\infty .}$

Serre definió la multiplicidad de intersección de R / P y R / Q mediante la fórmula característica de Euler :

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q):=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\ell _{R}(\operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/P,R/Q)).}$

Para que esta definición proporcione una buena generalización de la multiplicidad de intersecciones clásica, sería deseable que ciertas relaciones clásicas siguieran siendo válidas. Serre destacó cuatro propiedades importantes, que se convirtieron en las conjeturas de multiplicidad, y que son difíciles de demostrar en el caso general. (Los enunciados de estas conjeturas se pueden generalizar de modo que R / P y R / Q se reemplacen por módulos arbitrarios finitamente generados: véase Álgebra local de Serre para más detalles).

Desigualdad de dimensión

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)\leq \dim(R)}$

Serre demostró esto para todos los anillos locales regulares. Estableció las tres propiedades siguientes cuando R es de característica igual o de característica mixta y no ramificada (lo que en este caso significa que la característica del campo de residuos no es un elemento del cuadrado del ideal máximo del anillo local), y conjeturó que se cumplen en general.

No negatividad

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)\geq 0}$

Esto lo demostró Ofer Gabber en 1995.

Desvanecimiento

Si

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)<\dim(R)\ }$

entonces

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)=0.\ }$

Esto fue demostrado en 1985 por Paul C. Roberts, y de forma independiente por Henri Gillet y Christophe Soulé .

Positividad

Si

${\displaystyle \dim(R/P)+\dim(R/Q)=\dim(R)\ }$

entonces

${\displaystyle \chi (R/P,R/Q)>0.\ }$

Esto permanece abierto.

Véase también

• Conjeturas homológicas en el álgebra conmutativa

Referencias

• Serre, Jean-Pierre (2000), Álgebra local , Springer Monographs in Mathematics, Berlín: Springer, págs. 106-110, doi :10.1007/978-3-662-04203-8, ISBN 978-3-642-08590-1, Sr.  1771925
• Roberts, Paul (1985), "La desaparición de las multiplicidades de intersección de complejos perfectos", Boletín de la American Mathematical Society , 13 (2), Bull. Amer. Math. Soc. 13, núm. 2: 127–130, doi : 10.1090/S0273-0979-1985-15394-7 , MR  0799793
• Roberts, Paul (1998), Desarrollos recientes en las conjeturas de multiplicidad de Serre: prueba de Gabber de la conjetura de no negatividad , L' Enseign. Math. (2) 44, no. 3-4, pp. 305–324, MR  1659224
• Berthelot, Pierre (1997), Altérations de variétés algébriques (d'après AJ de Jong) , Séminaire Bourbaki, vol. 1995/96, Astérisque No. 241, págs. 273–311, MR  1472543
• Gillet, H.; Soulé, C. (1987), "Teoría de intersecciones mediante operaciones de Adams", Inventiones Mathematicae , 90 (2), Invent. Math. 90, no. 2: 243–277, Bibcode :1987InMat..90..243G, doi :10.1007/BF01388705, MR  0910201, S2CID  120635826
• Gabber, O. (1995), No negatividad de las multiplicidades de intersección de Serre , Exposé à L'IHES