En matemáticas , la teoría de la intersección es una de las principales ramas de la geometría algebraica , donde brinda información sobre la intersección de dos subvariedades de una variedad determinada. [1] La teoría de las variedades es más antigua y tiene sus raíces en el teorema de Bézout sobre las curvas y la teoría de la eliminación . Por otra parte, la teoría topológica alcanzó más rápidamente una forma definitiva.
Todavía hay un desarrollo en curso de la teoría de la intersección. Actualmente, la atención se centra principalmente en: ciclos fundamentales virtuales, anillos de intersección cuántica, teoría de Gromov-Witten y la extensión de la teoría de la intersección de esquemas a pilas . [2]
Para una variedad orientada conectada M de dimensión 2 n, la forma de intersección se define en el n -ésimo grupo de cohomología (lo que generalmente se llama la 'dimensión media') mediante la evaluación del producto de copa en la clase fundamental [ M ] en H 2 norte ( METRO , ∂ METRO ) . Dicho con precisión, existe una forma bilineal
dada por
con
Esta es una forma simétrica para n par (por lo que 2 n = 4 k doblemente par ), en cuyo caso la firma de M se define como la firma de la forma, y una forma alterna para n impar (por lo que 2 n = 4 k + 2 es simplemente par ). Estas pueden denominarse uniformemente formas ε-simétricas , donde ε = (−1) n = ±1 respectivamente para formas simétricas y simétricas sesgadas. En algunas circunstancias, es posible refinar esta forma a una forma ε -cuadrática , aunque esto requiere datos adicionales, como una estructura del paquete tangente. Es posible eliminar la condición de orientabilidad y trabajar con coeficientes Z /2 Z.
Estas formas son importantes invariantes topológicas . Por ejemplo, un teorema de Michael Freedman establece que las 4 variedades compactas simplemente conectadas están (casi) determinadas por sus formas de intersección hasta el homeomorfismo .
Por la dualidad de Poincaré , resulta que hay una manera de pensar en esto geométricamente. Si es posible, elija subvariedades representativas de n dimensiones A , B para los duales de Poincaré de a y b . Entonces λ M ( a , b ) es el número de intersección orientado de A y B , que está bien definido porque dado que las dimensiones de A y B suman la dimensión total de M , generalmente se cruzan en puntos aislados. Esto explica la forma de intersección de terminología .
William Fulton en Teoría de la intersección (1984) escribe
... si A y B son subvariedades de una variedad no singular X , el producto de intersección A · B debería ser una clase de equivalencia de ciclos algebraicos estrechamente relacionados con la geometría de cómo A ∩ B , A y B están situados en X . Dos casos extremos han sido los más familiares. Si la intersección es propia , es decir, tenue( A ∩ B ) = tenue A + tenue B − tenue X , entonces A · B es una combinación lineal de los componentes irreducibles de A ∩ B , con coeficientes las multiplicidades de la intersección. En el otro extremo, si A = B es una subvariedad no singular, la fórmula de autointersección dice que A · B está representada por la clase Chern superior del paquete normal de A en X.
Dar una definición, en el caso general, de la multiplicidad de intersección fue la principal preocupación del libro de André Weil de 1946 Foundations of Algebraic Geometry . El trabajo de BL van der Waerden en la década de 1920 ya había abordado la cuestión; en la escuela italiana de geometría algebraica las ideas eran bien conocidas, pero las cuestiones fundamentales no se abordaban con el mismo espíritu.
Una maquinaria que funcione bien de intersección de ciclos algebraicos V y W requiere algo más que tomar simplemente la intersección teórica de conjuntos V ∩ W de los ciclos en cuestión. Si los dos ciclos están en "buena posición", entonces el producto de intersección , denotado V · W , debería consistir en la intersección teórica de conjuntos de las dos subvariedades. Sin embargo, los ciclos pueden estar en mala posición, por ejemplo, dos líneas paralelas en el plano o un plano que contiene una línea (que se cruza en 3 espacios). En ambos casos la intersección debería ser un punto, porque, nuevamente, si se mueve un ciclo, esta sería la intersección. La intersección de dos ciclos V y W se llama propia si la codimensión de la intersección (teórica de conjuntos) V ∩ W es la suma de las codimensiones de V y W , respectivamente, es decir, el valor "esperado".
Por lo tanto, se utiliza el concepto de ciclos en movimiento utilizando relaciones de equivalencia apropiadas en ciclos algebraicos . La equivalencia debe ser lo suficientemente amplia como para que, dados dos ciclos cualesquiera V y W , existan ciclos equivalentes V′ y W′ tales que la intersección V′ ∩ W′ sea adecuada. Por supuesto, por otro lado, para un segundo V′′ y W′′ equivalentes , V′ ∩ W′ debe ser equivalente a V′′ ∩ W′′ .
A los efectos de la teoría de la intersección, la equivalencia racional es la más importante. Brevemente, dos ciclos r -dimensionales en una variedad X son racionalmente equivalentes si hay una función racional f en una subvariedad Y ( r + 1) -dimensional , es decir, un elemento del campo funcional k ( Y ) o de manera equivalente una función f : Y → P 1 , tal que V − W = f −1 (0) − f −1 (∞) , donde f −1 (⋅) se cuenta con multiplicidades. La equivalencia racional satisface las necesidades esbozadas anteriormente.
El principio rector en la definición de multiplicidades de ciclos de intersección es la continuidad en cierto sentido. Consideremos el siguiente ejemplo elemental: la intersección de una parábola y = x 2 y un eje y = 0 debe ser 2 · (0, 0) , porque si uno de los ciclos se mueve (aún en un sentido indefinido), hay precisamente dos puntos de intersección que convergen a (0, 0) cuando los ciclos se acercan a la posición representada. (La imagen es engañosa en la medida en que la intersección aparentemente vacía de la parábola y la recta y = −3 está vacía, porque sólo se representan las soluciones reales de las ecuaciones).
Serre dio la primera definición totalmente satisfactoria de multiplicidades de intersección : Sea la variedad ambiental X suave (o todos los anillos locales regulares ). Además, sean V y W dos subvariedades (cerradas reducidas irreducibles), de modo que su intersección sea adecuada. La construcción es local, por lo tanto las variedades pueden representarse por dos ideales I y J en el anillo de coordenadas de X. Sea Z una componente irreducible de la intersección de la teoría de conjuntos V ∩ W y z su punto genérico . La multiplicidad de Z en el producto de intersección V · W está definida por
la suma alterna sobre la longitud sobre el anillo local de X en z de los grupos de torsión de los anillos factoriales correspondientes a las subvariedades. Esta expresión a veces se denomina fórmula Tor de Serre .
Observaciones:
El anillo de Chow es el grupo de ciclos algebraicos módulo de equivalencia racional junto con el siguiente producto de intersección conmutativo :
siempre que V y W se encuentran correctamente, ¿dónde está la descomposición de la intersección de la teoría de conjuntos en componentes irreducibles?
Dadas dos subvariedades V y W , se puede tomar su intersección V ∩ W , pero también es posible, aunque más sutil, definir la autointersección de una sola subvariedad.
Dada, por ejemplo, una curva C sobre una superficie S , su intersección consigo misma (como conjuntos) es ella misma: C ∩ C = C . Esto es claramente correcto, pero por otro lado insatisfactorio: dadas dos curvas distintas en una superficie (sin ningún componente en común), se cruzan en algún conjunto de puntos, que por ejemplo se pueden contar, obteniendo un número de intersección , y Es posible que desee hacer lo mismo para una curva determinada: la analogía es que intersecar curvas distintas es como multiplicar dos números: xy , mientras que la autointersección es como elevar al cuadrado un solo número: x 2 . Formalmente, la analogía se expresa como una forma bilineal simétrica (multiplicación) y una forma cuadrática (cuadrada).
Una solución geométrica a esto es cortar la curva C no consigo misma, sino con una versión ligeramente desplazada de sí misma. En el plano, esto simplemente significa trasladar la curva C en alguna dirección, pero en general se habla de tomar una curva C′ que es linealmente equivalente a C , y contar la intersección C · C′ , obteniendo así un número de intersección, denotado C. · C . Tenga en cuenta que, a diferencia de las curvas distintas C y D , los puntos de intersección reales no están definidos, porque dependen de la elección de C′ , pero los "puntos de autointersección de C′′ pueden interpretarse como k puntos genéricos en C , donde k = C · C . Más propiamente, el punto de autointersección de C es el punto genérico de C , tomado con multiplicidad C · C.
Alternativamente, uno puede “resolver” (o motivar) este problema algebraicamente dualizando y observando la clase de [ C ] ∪ [ C ] ; esto da un número y plantea la cuestión de una interpretación geométrica. Tenga en cuenta que pasar a clases de cohomología es análogo a reemplazar una curva por un sistema lineal.
Tenga en cuenta que el número de autointersección puede ser negativo, como lo ilustra el siguiente ejemplo.
Considere una línea L en el plano proyectivo P 2 : tiene autointersección número 1 ya que todas las demás líneas la cruzan una vez: se puede empujar L hacia L′ , y L · L′ = 1 (para cualquier elección) de L′ , por lo tanto L · L = 1 . En términos de formas de intersección, decimos que el plano tiene una de tipo x 2 (solo hay una clase de rectas y todas se cortan entre sí).
Tenga en cuenta que en el plano afín , uno podría empujar L hacia una línea paralela, por lo que (pensando geométricamente) el número de puntos de intersección depende de la elección del empuje. Se dice que “el plano afín no tiene una buena teoría de intersección”, y la teoría de intersección sobre variedades no proyectivas es mucho más difícil.
Una línea en P 1 × P 1 (que también puede interpretarse como la cuádrica no singular Q en P 3 ) tiene autointersección 0 , ya que una línea se puede mover fuera de sí misma. (Es una superficie reglada .) En términos de formas de intersección, decimos que P 1 × P 1 tiene una de tipo xy : hay dos clases básicas de líneas, que se cruzan entre sí en un punto ( xy ), pero tienen cero self. -intersección (sin términos x 2 o y 2 ).
Un ejemplo clave de números de autointersección es la curva excepcional de una explosión, que es una operación central en la geometría biracional . Dada una superficie algebraica S , volar en un punto crea una curva C. Esta curva C es reconocible por su género, que es 0 , y su número de autointersección, que es −1 . (Esto no es obvio.) Tenga en cuenta que, como corolario, P 2 y P 1 × P 1 son superficies mínimas (no son ampliaciones), ya que no tienen curvas con autointersección negativa. De hecho, el teorema de contracción de Castelnuovo establece lo contrario: cada (−1) -curva es la curva excepcional de alguna explosión (puede ser “derribada”).
![{\displaystyle \lambda _ {M}(a,b)=\langle a\smile b,[M]\rangle \in \mathbf {Z} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5224441f15083b73af07a158d2c8f3ddc7e2ce70)
