Superficie reglada

Superficie que contiene una línea que pasa por cada punto.

Definición de superficie reglada: cada punto se encuentra sobre una recta

En geometría , una superficie S está reglada (también llamada voluta ) si por cada punto de S pasa una línea recta que se encuentra en S. Los ejemplos incluyen el plano , la superficie lateral de un cilindro o cono , una superficie cónica con directriz elíptica , el conoide recto , la helicoidal y la tangente desarrollable de una curva suave en el espacio.

Una superficie reglada puede describirse como el conjunto de puntos barridos por una línea recta en movimiento. Por ejemplo, un cono se forma manteniendo fijo un punto de una línea mientras se mueve otro punto a lo largo de un círculo . Una superficie está doblemente reglada si por cada uno de sus puntos pasan dos rectas distintas que recorren la superficie. El paraboloide hiperbólico y el hiperboloide de una hoja son superficies doblemente regladas. El plano es la única superficie que contiene al menos tres líneas distintas que pasan por cada uno de sus puntos (Fuchs y Tabachnikov 2007).

Las propiedades de ser regido o doblemente regido se conservan en los mapas proyectivos y, por tanto, son conceptos de geometría proyectiva . En geometría algebraica , las superficies regladas a veces se consideran superficies en un espacio afín o proyectivo sobre un campo , pero también a veces se consideran superficies algebraicas abstractas sin incrustación en un espacio afín o proyectivo, en cuyo caso se entiende que "línea recta" significa una línea afín o proyectiva.

Definición y representación paramétrica.

Superficie reglada generada por dos curvas de Bézier como directrices (roja, verde)

Una variedad diferenciable bidimensional se llama superficie reglada si es la unión de una familia paramétrica de líneas. Las líneas de esta familia son las generadoras de la superficie reglada.

Una superficie reglada se puede describir mediante una representación paramétrica de la forma

• (CR) . ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)={\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {blue}\mathbf {r} (u)}\ ,\ v\in \mathbb {R} \ ,}$

Cualquier curva con parámetro fijo es un generador (línea) y la curva es la directriz de la representación. Los vectores describen las direcciones de los generadores. ${\displaystyle \;v\mapsto \mathbf {x} (u_{0},v)\;}$ ${\displaystyle u=u_{0}}$ ${\displaystyle \;u\mapsto \mathbf {c} (u)\;}$ ${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)\neq {\bf {0\;}}}$

La directriz puede colapsar hasta un punto (en el caso de un cono, consulte el ejemplo a continuación).

Alternativamente, la superficie reglada (CR) se puede describir mediante

• (CD) ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;{\color {red}\mathbf {c} (u)}+v\;{\color {green}\mathbf {d} (u)}\ }$

con la segunda directriz . ${\displaystyle \;\mathbf {d} (u)=\mathbf {c} (u)+\mathbf {r} (u)\;}$

Alternativamente, se puede comenzar con dos curvas que no se cruzan como directrices y obtener (CD) una superficie reglada con direcciones de línea. ${\displaystyle \mathbf {c} (u),\mathbf {d} (u)}$ ${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\mathbf {d} (u)-\mathbf {c} (u)\ .}$

Para la generación de una superficie reglada por dos directrices (o una directriz y los vectores de direcciones de línea) no sólo la forma geométrica de estas curvas es esencial sino que también las representaciones paramétricas especiales de ellas influyen en la forma de la superficie reglada (ver ejemplos a ), d)).

Para investigaciones teóricas la representación (CR) es más ventajosa, porque el parámetro aparece sólo una vez. ${\displaystyle v}$

Ejemplos

cilindro, cono

Cilindro circular recto

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=a^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(a\cos u,a\sin u,v)^{T}}$

${\displaystyle ={\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {blue}(0,0,1)^{T}}}$

${\displaystyle =(1-v)\;{\color {red}(a\cos u,a\sin u,0)^{T}}\;+\;v\;{\color {green}(a\cos u,a\sin u,1)^{T}}\ .}$

con

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(a\cos u,a\sin u,0)^{T}\ ,\ \mathbf {r} (u)=(0,0,1)^{T}\ ,\ \mathbf {d} (u)=(a\cos u,a\sin u,1)^{T}\ .}$

Cono circular recto

${\displaystyle \ x^{2}+y^{2}=z^{2}\ }$:

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,1)^{T}}$

${\displaystyle =(1-v)\;(\cos u,\sin u,1)^{T}\;+\;v\;(2\cos u,2\sin u,2)^{T}.}$

con En este caso se podría haber utilizado el vértice como directriz, es decir: y como direcciones de la línea. ${\displaystyle \quad \mathbf {c} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\;=\;\mathbf {r} (u)\ ,\quad \mathbf {d} (u)=(2\cos u,2\sin u,2)^{T}\ .}$
${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,0)^{T}\ }$ ${\displaystyle \ \mathbf {r} (u)=(\cos u,\sin u,1)^{T}\ }$

Para cualquier cono se puede elegir el vértice como directriz. Este caso muestra: La directriz de una superficie reglada puede degenerar en un punto .

helicoidal

helicoidal

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\;(v\cos u,v\sin u,ku)^{T}\;}$

${\displaystyle =\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,0)^{T}\ }$

${\displaystyle =\;(1-v)\;(0,0,ku)^{T}\;+\;v\;(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ .}$

La directriz es el eje z, las direcciones de las líneas son y la segunda directriz es una hélice . ${\displaystyle \ \mathbf {c} (u)=(0,0,ku)^{T}\;}$ ${\displaystyle \;\mathbf {r} (u)=\ (\cos u,\sin u,0)^{T}\;}$ ${\displaystyle \ \mathbf {d} (u)=(\cos u,\sin u,ku)^{T}\ }$

El helicoidal es un caso especial de los helicoides generalizados reglados .

Cilindro, cono e hiperboloides.

hiperboloide de una hoja para ${\displaystyle \varphi =63^{\circ }}$

La representación paramétrica

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v)\;(\cos(u-\varphi ),\sin(u-\varphi ),-1)^{T}\;+\;v\;(\cos(u+\varphi ),\sin(u+\varphi ),1)^{T}}$

tiene dos círculos horizontales como directrices. El parámetro adicional permite variar las representaciones paramétricas de los círculos. Para ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \varphi =0\ }$uno obtiene el cilindro , por ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}$

${\displaystyle \varphi =\pi /2\ }$uno consigue el cono y para ${\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}}$

${\displaystyle 0<\varphi <\pi /2\ }$se obtiene un hiperboloide de una hoja con ecuación y semiejes . ${\displaystyle \ {\tfrac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}-{\tfrac {z^{2}}{c^{2}}}=1\ }$ ${\displaystyle \ a=\cos \varphi \;,\;c=\cot \varphi }$

Un hiperboloide de una hoja es una superficie doblemente reglada.

paraboloide hiperbólico

paraboloide hiperbólico

Si las dos directrices en (CD) son las líneas

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2},\quad \mathbf {d} (u)=(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}}$

uno consigue

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=(1-v){\big (}(1-u)\mathbf {a} _{1}+u\mathbf {a} _{2}{\big )}\ +\ v{\big (}(1-u)\mathbf {b} _{1}+u\mathbf {b} _{2}{\big )}\ }$,

que es el paraboloide hiperbólico que interpola los 4 puntos bilinealmente. ^[1] ${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1},\;\mathbf {a} _{2},\;\mathbf {b} _{1},\;\mathbf {b} _{2}\ }$

Evidentemente la superficie reglada es una superficie doblemente reglada , porque cualquier punto se encuentra sobre dos rectas de la superficie.

Para el ejemplo que se muestra en el diagrama:

${\displaystyle \ \mathbf {a} _{1}=(0,0,0)^{T},\;\mathbf {a} _{2}=(1,0,0)^{T},\;\mathbf {b} _{1}=(0,1,0)^{T},\;\mathbf {b} _{2}=(1,1,1)^{T}\ }$.

El paraboloide hiperbólico tiene la ecuación . ${\displaystyle z=xy}$

Cinta de Moebius

Cinta de Moebius

La superficie reglada

${\displaystyle \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

con

${\displaystyle \mathbf {c} (u)=(\cos 2u,\sin 2u,0)^{T}\ }$(círculo como directriz),

${\displaystyle \mathbf {r} (u)=(\cos u\cos 2u,\cos u\sin 2u,\sin u)^{T}\ ,\quad 0\leq u<\pi \ ,}$

Contiene una tira de Möbius.

El diagrama muestra la tira de Möbius para . ${\displaystyle -0.3\leq v\leq 0.3}$

Un cálculo simple lo muestra (consulte la siguiente sección). Por tanto, la realización dada de una tira de Möbius no es desarrollable . Pero existen tiras de Möbius desarrollables. ^[2] ${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (0)\;,\;\mathbf {\dot {r}} (0)\;,\;\mathbf {r} (0))\;\neq \;0\ }$

Más ejemplos

• Conoide
• superficie catalana
• Rodillos desarrollables ( oloide , esférico )

Planos tangentes, superficies desarrollables.

Para las consideraciones siguientes se supone que existe cualquier derivada necesaria.

Para determinar el vector normal en un punto se necesitan las derivadas parciales de la representación  : ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \mathbf {x} _{u}=\mathbf {\dot {c}} (u)+v\;\mathbf {\dot {r}} (u)\ }$, ${\displaystyle \quad \mathbf {x} _{v}=\;\mathbf {r} (u)}$

Por tanto el vector normal es

• ${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {x} _{u}\times \mathbf {x} _{v}=\mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} +v(\mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} )\ .}$

Debido a (¡Un producto mixto con dos vectores iguales es siempre 0!), el vector es un vector tangente en cualquier punto . Los planos tangentes a lo largo de esta recta son todos iguales, si es múltiplo de . Esto sólo es posible si los tres vectores se encuentran en un plano, es decir, son linealmente dependientes. La dependencia lineal de tres vectores se puede comprobar utilizando el determinante de estos vectores: ${\displaystyle \mathbf {n} \cdot \mathbf {r} =0}$ ${\displaystyle \mathbf {r} (u_{0})}$ ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)}$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {r}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \times \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} \ }$

• Los planos tangentes a lo largo de la recta son iguales, si ${\displaystyle \mathbf {x} (u_{0},v)=\mathbf {c} (u_{0})+v\;\mathbf {r} (u_{0})}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} (u_{0})\;,\;\mathbf {\dot {r}} (u_{0})\;,\;\mathbf {r} (u_{0}))\;=\;0\ .}$

La importancia de esta condición determinante muestra la siguiente afirmación:

• Una superficie reglada se puede desarrollar en un plano si en cada punto la curvatura de Gauss desaparece. Este es exactamente el caso si ${\displaystyle \quad \mathbf {x} (u,v)=\mathbf {c} (u)+v\;\mathbf {r} (u)}$

${\displaystyle \det(\mathbf {\dot {c}} \;,\;\mathbf {\dot {r}} \;,\;\mathbf {r} )\;=\;0\quad }$

en cada punto es cierto. ^[3]

Los generadores de cualquier superficie regida se fusionan con una familia de sus líneas asintóticas. Para superficies desarrollables también forman una familia de sus líneas de curvatura . Se puede demostrar que cualquier superficie desarrollable es un cono, un cilindro o una superficie formada por todas las tangentes de una curva espacial. ^[4]

Aplicación e historia de las superficies desarrollables.

Conexión desarrollable de dos elipses y su desarrollo.

La condición determinante para superficies desarrollables se utiliza para determinar conexiones numéricamente desarrollables entre curvas espaciales (directrices). El diagrama muestra una conexión desarrollable entre dos elipses contenidas en diferentes planos (una horizontal, la otra vertical) y su desarrollo. ^[5]

Una impresión del uso de superficies desarrollables en Diseño Asistido por Computadora ( CAD ) se da en Diseño interactivo de superficies desarrollables ^[6]

Se puede encontrar un estudio histórico sobre las superficies desarrollables en Superficies desarrollables: su historia y aplicación ^[7]

Superficies regladas en geometría algebraica

En geometría algebraica , las superficies regladas se definieron originalmente como superficies proyectivas en un espacio proyectivo que contenía una línea recta que pasaba por un punto dado. Esto implica inmediatamente que hay una línea proyectiva en la superficie que pasa por cualquier punto dado, y esta condición ahora se usa a menudo como la definición de una superficie reglada: las superficies regladas se definen como superficies proyectivas abstractas que satisfacen esta condición de que hay una línea proyectiva. por cualquier punto. Esto equivale a decir que son birracionales al producto de una curva y una recta proyectiva. A veces se define una superficie reglada como aquella que satisface la condición más fuerte de que tiene una fibración sobre una curva con fibras que son líneas proyectivas. Esto excluye el plano proyectivo, que tiene una línea proyectiva en cada punto pero no puede escribirse como tal fibración.

Las superficies regladas aparecen en la clasificación de Enriques de superficies complejas proyectivas, porque cada superficie algebraica de dimensión de Kodaira es una superficie reglada (o un plano proyectivo, si se usa la definición restrictiva de superficie reglada). Cada superficie reglada proyectiva mínima distinta del plano proyectivo es el paquete proyectivo de un paquete de vectores bidimensional sobre alguna curva. Las superficies regladas con curva base de género 0 son las superficies de Hirzebruch . ${\displaystyle -\infty }$

Superficies regladas en arquitectura

Las superficies doblemente regladas son la inspiración para estructuras hiperboloides curvas que se pueden construir con una red de elementos rectos, a saber:

• Paraboloides hiperbólicos, como los tejados a dos aguas .
• Hiperboloides de una sola hoja, como torres de refrigeración y algunos contenedores de basura .

El motor de cohete RM-81 Agena empleaba canales de enfriamiento rectos que se disponían en una superficie reglada para formar la garganta de la sección de la boquilla .

• 
  Torres hiperbólicas de refrigeración en la central eléctrica de Didcot , Reino Unido; la superficie puede ser doblemente reglada.
• 
  Torre de agua doblemente gobernada con tanque toroidal , de Jan Bogusławski en Ciechanów , Polonia
• 
  Un hiperboloide Kobe Port Tower , Kobe , Japón, con una doble regla.
• 
  Torre de agua hiperboloide, 1896 en Nizhny Novgorod .
• 
  La rejilla de la Torre Shújov de Moscú, cuyas secciones están doblemente regladas.
• 
  Una escalera de caracol helicoidal reglada en el interior del Torrazzo de Cremona .
• 
  Iglesia de pueblo en Selo, Eslovenia: tanto el techo (cónico) como la pared (cilíndrica) son superficies regladas.
• 
  Un techo paraboloide hiperbólico de la estación de tren Warszawa Ochota en Varsovia , Polonia.
• 
  Un sombrero cónico rayado .
• 
  Tejas onduladas regidas por líneas paralelas en una dirección y sinusoidales en la dirección perpendicular
• 
  Construcción de una superficie plana mediante alisado de hormigón.

Referencias

1. G. Farin: Curvas y superficies para diseño geométrico asistido por computadora , Academic Press, 1990, ISBN  0-12-249051-7 , p. 250
2. W. Wunderlich: Über ein abwickelbares Möbiusband , Monatshefte für Mathematik 66, 1962, págs. 276-289.
3. W. Kühnel: Geometría diferencial , p. 58–60
4. G. Farín: pág. 380
5. E. Hartmann: Geometría y algoritmos para CAD, nota de clase, TU Darmstadt, p. 113
6. Tang, Bo, Wallner, Pottmann: Diseño interactivo de superficies desarrollables, ACM Trans. Grafico. (MES 2015), DOI: 10.1145/2832906
7. Snezana Lawrence : Superficies desarrollables: su historia y aplicación, en Nexus Network Journal 13(3) · Octubre de 2011, doi :10.1007/s00004-011-0087-z

• Do Carmo, Manfredo P.: Geometría Diferencial de Curvas y Superficies , Prentice-Hall; 1 edición, 1976 ISBN 978-0132125895 
• Barth, Lobo P.; Hulek, Klaus; Peters, Chris AM; Van de Ven, Antonius (2004), Superficies complejas compactas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge., vol. 4, Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-57739-0, ISBN 978-3-540-00832-3, SEÑOR  2030225
• Beauville, Arnaud (1996), Superficies algebraicas complejas , Textos estudiantiles de la London Mathematical Society, vol. 34 (2ª ed.), Cambridge University Press , doi :10.1017/CBO9780511623936, ISBN 978-0-521-49510-3, SEÑOR  1406314
• Edge, WL (1931), La teoría de las superficies regladas, Cambridge University Press - vía Internet Archive. Revisión: Boletín de la Sociedad Estadounidense de Matemáticas 37 (1931), 791-793, doi :10.1090/S0002-9904-1931-05248-4
• Fuchs, D.; Tabachnikov, Serge (2007), "16.5 No hay superficies triplemente regladas no planas", Mathematical Omnibus: Thirty Lectures on Classic Mathematics, American Mathematical Society, p. 228, ISBN 9780821843161.
• Li, Ta-tsien, ed. (2011), Problemas y soluciones en matemáticas, 3103 (2ª ed.), World Scientific Publishing Company , ISBN 9789810234805.
• Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría e imaginación (2ª ed.), Nueva York: Chelsea, ISBN 978-0-8284-1087-8.
• Iskovskikh, VA (2001) [1994], "Superficie reglada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Sharp, John (2008), D-Forms: nuevas y sorprendentes formas tridimensionales a partir de formas planas y curvas , Tarquin, ISBN 978-1-899618-87-3. Reseña: Séquin, Carlo H. (2009), Revista de Matemáticas y Artes 3: 229–230, doi :10.1080/17513470903332913

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Superficie reglada". MundoMatemático .
• Imágenes de superficies regladas de la Universidad de Arizona.
• Ejemplos de superficies desarrollables en el sitio web de Rhino3DE