grupo de comida

Análogos de grupos de homología para variedades algebraicas.

En geometría algebraica , los grupos Chow (llamados así en honor a Wei-Liang Chow por Claude Chevalley  (1958)) de una variedad algebraica sobre cualquier campo son análogos algebro-geométricos de la homología de un espacio topológico . Los elementos del grupo Chow se forman a partir de subvariedades (los llamados ciclos algebraicos ) de forma similar a cómo se forman los grupos de homología celular o simplicial a partir de subcomplejos. Cuando la variedad es suave , los grupos de Chow pueden interpretarse como grupos de cohomología (compárese con la dualidad de Poincaré ) y tienen una multiplicación llamada producto de intersección . Los grupos de Chow contienen rica información sobre una variedad algebraica y, en consecuencia, son difíciles de calcular en general.

Equivalencia racional y grupos Chow

Para lo que sigue, defina una variedad sobre un campo como un esquema integral de tipo finito sobre . Para cualquier esquema de tipo finito sobre , un ciclo algebraico sobre significa una combinación lineal finita de subvariedades de con coeficientes enteros . (Aquí y más adelante, se entiende que las subvariedades están cerradas en , a menos que se indique lo contrario.) Para un número natural , el grupo de ciclos -dimensionales (o -ciclos , para abreviar ) es el grupo abeliano libre en el conjunto de subvariedades -dimensionales de . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$

Para una variedad de dimensión y cualquier función racional en la que no sea idénticamente cero, el divisor de es el ciclo ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle i+1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle (f)=\sum _{Z}\operatorname {ord} _{Z}(f)Z,}$

donde la suma abarca subvariedades de todas dimensiones de y el número entero denota el orden de desaparición de a lo largo . (Por lo tanto, es negativo si tiene un polo a lo largo ). La definición del orden de desaparición requiere cierta atención al singular. ^[1] ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \operatorname {ord} _{Z}(f)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

Para un esquema de tipo finito , el grupo de ciclos racionalmente equivalente a cero es el subgrupo de generado por los ciclos para las subvariedades de todas dimensiones de y todas las funciones racionales distintas de cero . El grupo Chow de ciclos -dimensionales es el grupo cociente de por el subgrupo de ciclos racionalmente equivalente a cero. A veces se escribe para la clase de una subvariedad en el grupo Chow, y si dos subvariedades y tienen , entonces se dice que y son racionalmente equivalentes . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle (f)}$ ${\displaystyle (i+1)}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle CH_{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z_{i}(X)}$ ${\displaystyle [Z]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle [Z]=[W]}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle W}$

Por ejemplo, cuando es una variedad de dimensión , el grupo Chow es el grupo de clase divisor de . Cuando es suave (o más generalmente, un esquema factorial normal localmente noetheriano ^[2] ), es isomorfo al grupo Picard de paquetes de líneas en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle CH_{n-1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos de equivalencia racional

Equivalencia racional en el espacio proyectivo

Los ciclos racionalmente equivalentes definidos por hipersuperficies son fáciles de construir en el espacio proyectivo porque todos pueden construirse como lugares geométricos de desaparición del mismo paquete de vectores. Por ejemplo, dados dos polinomios homogéneos de grado , podemos construir una familia de hipersuperficies definidas como el lugar de fuga de . Esquemáticamente, esto se puede construir como ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle f,g\in H^{0}(\mathbb {P} ^{n},{\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle sf+tg}$

${\displaystyle X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x_{0},\ldots ,x_{n}]}{(sf+tg)}}\right)\hookrightarrow \mathbb {P} ^{1}\times \mathbb {P} ^{n}}$

Usando la proyección podemos ver la fibra sobre un punto que es la hipersuperficie proyectiva definida por . Esto se puede usar para mostrar que la clase de ciclo de cada hipersuperficie de grado es racionalmente equivalente a , ya que se puede usar para establecer una equivalencia racional. Observe que el lugar geométrico de es y tiene multiplicidad , que es el coeficiente de su clase de ciclo. ${\displaystyle \pi _{1}:X\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [s_{0}:t_{0}]}$ ${\displaystyle s_{0}f+t_{0}g}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle d[\mathbb {P} ^{n-1}]}$ ${\displaystyle sf+tx_{0}^{d}}$ ${\displaystyle x_{0}^{d}=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle d}$

Equivalencia racional de ciclos en una curva

Si tomamos dos haces de líneas distintos de una curva proyectiva suave , entonces los lugares geométricos de fuga de una sección genérica de ambos haces de líneas definen clases de ciclos no equivalentes en . Esto se debe a que, para variedades suaves, las clases divisorias de y definen clases no equivalentes. ${\displaystyle L,L'\in \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle CH(C)}$ ${\displaystyle \operatorname {Div} (C)\cong \operatorname {Pic} (C)}$ ${\displaystyle s\in H^{0}(C,L)}$ ${\displaystyle s'\in H^{0}(C,L')}$

El anillo Chow

Cuando el esquema es suave sobre un campo , los grupos Chow forman un anillo , no sólo un grupo abeliano graduado. Es decir, cuando se suaviza , se define como el grupo Chow de ciclos de codimensión en . (Cuando es una variedad de dimensión , esto simplemente significa que .) Luego, los grupos forman un anillo graduado conmutativo con el producto: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle CH^{i}(X)=CH_{n-i}(X)}$ ${\displaystyle CH^{*}(X)}$

${\displaystyle CH^{i}(X)\times CH^{j}(X)\rightarrow CH^{i+j}(X).}$

El producto surge de la intersección de ciclos algebraicos. Por ejemplo, si y son subvariedades suaves de de codimensión y respectivamente, y si y se cruzan transversalmente , entonces el producto en es la suma de los componentes irreducibles de la intersección , los cuales tienen codimensión . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle CH^{i+j}(X)}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle i+j}$

De manera más general, en varios casos, la teoría de la intersección construye un ciclo explícito que representa el producto en el anillo de Chow. Por ejemplo, si y son subvariedades de dimensión complementaria (lo que significa que sus dimensiones suman la dimensión de ) cuya intersección tiene dimensión cero, entonces es igual a la suma de los puntos de la intersección con coeficientes llamados números de intersección . Para cualquier subvariedad y de un esquema suave , sin ninguna suposición sobre la dimensión de la intersección, la teoría de la intersección de William Fulton y Robert MacPherson construye un elemento canónico de los grupos Chow de cuya imagen en los grupos Chow es el producto . ^[3] ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Y][Z]}$

Ejemplos

Espacio proyectivo

El anillo de Chow del espacio proyectivo sobre cualquier campo es el anillo ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle CH^{*}(\mathbb {P} ^{n})\cong \mathbf {Z} [H]/(H^{n+1}),}$

¿Dónde está la clase de un hiperplano (el lugar cero de una única función lineal)? Además, cualquier subvariedad de grado y codimensión en el espacio proyectivo es racionalmente equivalente a . De ello se deduce que para dos subvariedades cualesquiera y de dimensión complementaria en y grados , respectivamente, su producto en el anillo de Chow es simplemente ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle dH^{a}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

${\displaystyle [Y]\cdot [Z]=a\,b\,H^{n}}$

¿Dónde está la clase de un punto racional en ? Por ejemplo, si y se cruzan transversalmente, se deduce que es un ciclo cero de grado . Si el campo base es algebraicamente cerrado , esto significa que hay exactamente puntos de intersección; ésta es una versión del teorema de Bézout , un resultado clásico de la geometría enumerativa . ${\displaystyle H^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Y\cap Z}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle ab}$

Fórmula del paquete proyectivo

Dado un conjunto de vectores de rango sobre un esquema adecuado suave sobre un campo, el anillo de Chow del conjunto proyectivo asociado se puede calcular utilizando el anillo de Chow de y las clases de Chern de . Si dejamos y las clases de Chern de , entonces hay un isomorfismo de anillos. ${\displaystyle E\to X}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \zeta =c_{1}({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} (E)}(1))}$ ${\displaystyle c_{1},\ldots ,c_{r}}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(\mathbb {P} (E))\cong {\frac {CH^{\bullet }(X)[\zeta ]}{\zeta ^{r}+c_{1}\zeta ^{r-1}+c_{2}\zeta ^{r-2}+\cdots +c_{r}}}}$

Superficies de Hirzebruch

Por ejemplo, el anillo de Chow de una superficie de Hirzebruch se puede calcular fácilmente utilizando la fórmula del haz proyectivo. Recuerde que está construido como over . Entonces, la única clase Chern no trivial de este paquete de vectores es . Esto implica que el anillo de Chow es isomorfo a ${\displaystyle F_{a}=\mathbb {P} ({\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}(a))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle c_{1}=aH}$

${\displaystyle CH^{\bullet }(F_{a})\cong {\frac {CH^{\bullet }(\mathbb {P} ^{1})[\zeta ]}{(\zeta ^{2}+aH\zeta )}}\cong {\frac {\mathbf {Z} [H,\zeta ]}{(H^{2},\zeta ^{2}+aH\zeta )}}}$

Observaciones

Para otras variedades algebraicas, los grupos Chow pueden tener un comportamiento más rico. Por ejemplo, sea una curva elíptica sobre un campo . Entonces el grupo Chow de ciclos cero encaja en una secuencia exacta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\rightarrow X(k)\rightarrow CH_{0}(X)\rightarrow \mathbf {Z} \rightarrow 0.}$

Así, el grupo Chow de una curva elíptica está estrechamente relacionado con el grupo de puntos racionales de . Cuando es un cuerpo numérico , se le llama grupo de Mordell-Weil , y algunos de los problemas más profundos en la teoría de números son intentos de comprender este grupo. Cuando se trata de números complejos , el ejemplo de una curva elíptica muestra que los grupos de Chow pueden ser grupos abelianos incontables . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X(k)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$

Funcionalidad

Para un morfismo adecuado de los esquemas , existe un homomorfismo de avance para cada número entero . Por ejemplo, para un esquema adecuado sobre , esto da un homomorfismo , que toma un punto cerrado en su grado sobre . (Un punto cerrado en tiene la forma de un campo de extensión finita de , y su grado significa el grado del campo sobre .) ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f_{*}:CH_{i}(X)\to CH_{i}(Y)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle CH_{0}(X)\to \mathbf {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle k}$

Para un morfismo plano de esquemas con fibras de dimensión (posiblemente vacías), existe un homomorfismo . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle f^{*}:CH_{i}(Y)\to CH_{i+r}(X)}$

Una herramienta computacional clave para los grupos de Chow es la secuencia de localización , como se muestra a continuación. Para un esquema sobre un campo y un subesquema cerrado de , existe una secuencia exacta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle CH_{i}(Z)\rightarrow CH_{i}(X)\rightarrow CH_{i}(X-Z)\rightarrow 0,}$

donde el primer homomorfismo es el pushforward asociado al morfismo propio , y el segundo homomorfismo es el pullback respecto al morfismo plano . ^[4] La secuencia de localización se puede extender hacia la izquierda usando una generalización de los grupos de Chow, grupos de homología motívica (Borel-Moore) , también conocidos como grupos de Chow superiores . ^[5] ${\displaystyle Z\to X}$ ${\displaystyle X-Z\to X}$

Para cualquier morfismo de esquemas suaves , existe un homomorfismo de retroceso , que de hecho es un homomorfismo de anillo . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle f^{*}:CH^{i}(Y)\to CH^{i}(X)}$ ${\displaystyle CH^{*}(Y)\to CH^{*}(X)}$

Ejemplos de retrocesos planos

Tenga en cuenta que los no ejemplos se pueden construir utilizando ampliaciones; por ejemplo, si ampliamos el origen en entonces la fibra sobre el origen es isomorfa a . ${\displaystyle \mathbb {A} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Revestimientos ramificados de curvas.

Considere la cobertura ramificada de curvas.

${\displaystyle f:\operatorname {Spec} \left({\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(f(x)-g(x,y))}}\right)\to \mathbb {A} _{x}^{1}}$

Dado que el morfismo se ramifica cada vez que obtenemos una factorización ${\displaystyle f(\alpha )=0}$

${\displaystyle g(\alpha ,y)=(y-a_{1})^{e_{1}}\cdots (y-a_{k})^{e_{k}}}$

donde uno de los . Esto implica que los puntos tienen multiplicidades respectivamente. El retroceso plano del punto es entonces ${\displaystyle e_{i}>1}$ ${\displaystyle \{\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}\}=f^{-1}(\alpha )}$ ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{k}}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle f^{*}[\alpha ]=e_{1}[\alpha ]+\cdots +e_{k}[\alpha _{k}]}$

Familia plana de variedades.

Considere una familia plana de variedades.

${\displaystyle X\to S}$

y una subvariedad . Luego, usando el cuadrado cartesiano ${\displaystyle S'\subset S}$

${\displaystyle {\begin{matrix}S'\times _{S}X&\to &X\\\downarrow &&\downarrow \\S'&\to &S\end{matrix}}}$

vemos que la imagen de es una subvariedad de . Por lo tanto, tenemos ${\displaystyle S'\times _{S}X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f^{*}[S']=[S'\times _{S}X]}$

Mapas ciclistas

Existen varios homomorfismos (conocidos como mapas de ciclos ) desde grupos de Chow hasta teorías más computables.

Primero, para un esquema X sobre números complejos, existe un homomorfismo desde los grupos de Chow hasta la homología de Borel-Moore : ^[6]

${\displaystyle {\mathit {CH}}_{i}(X)\rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf {Z} ).}$

El factor de 2 aparece porque una subvariedad i -dimensional de X tiene dimensión real 2 i . Cuando X es suave sobre los números complejos, este mapa de ciclo se puede reescribir usando la dualidad de Poincaré como homomorfismo.

${\displaystyle {\mathit {CH}}^{j}(X)\rightarrow H^{2j}(X,\mathbf {Z} ).}$

En este caso ( X suave sobre C ), estos homomorfismos forman un homomorfismo de anillo desde el anillo de Chow hasta el anillo de cohomología. Intuitivamente, esto se debe a que los productos tanto en el anillo de Chow como en el anillo de cohomología describen la intersección de ciclos.

Para una variedad proyectiva compleja y suave , el mapa del ciclo desde el anillo de Chow hasta la cohomología ordinaria se factoriza a través de una teoría más rica, la cohomología de Deligne . ^[7] Esto incorpora el mapa de Abel-Jacobi desde ciclos homólogamente equivalentes a cero hasta el jacobiano intermedio . La secuencia exponencial muestra que CH ¹ ( X ) se asigna isomórficamente a la cohomología de Deligne, pero eso falla para CH ^j ( X ) con j > 1.

Para un esquema X sobre un campo arbitrario k , existe un mapa de ciclo análogo desde los grupos de Chow hasta la homología etale (Borel-Moore) . Cuando X es suave sobre k , este homomorfismo se puede identificar con un homomorfismo de anillo del anillo de Chow a la cohomología etale. ^[8]

Relación con la teoría K

Un paquete de vectores (algebraico) E en un esquema suave X sobre un campo tiene clases de Chern _ci ( E ) en CH ⁱ ( X ), con las mismas propiedades formales que en topología. ^[9] Las clases de Chern proporcionan una estrecha conexión entre los paquetes de vectores y los grupos de Chow. Es decir, sea K ₀ ( X ) el grupo de Grothendieck de haces de vectores en X . Como parte del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , Grothendieck demostró que el carácter de Chern da un isomorfismo

${\displaystyle K_{0}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} \cong \prod _{i}{\mathit {CH}}^{i}(X)\otimes _{\mathbf {Z} }\mathbf {Q} .}$

Este isomorfismo muestra la importancia de la equivalencia racional, en comparación con cualquier otra relación de equivalencia adecuada en ciclos algebraicos.

Conjeturas

Algunas de las conjeturas más profundas de la geometría algebraica y la teoría de números son intentos de comprender los grupos de Chow. Por ejemplo:

• El teorema de Mordell-Weil implica que el grupo de clases divisor CH _{n -1} ( X ) se genera de forma finita para cualquier variedad X de dimensión n en un campo numérico. Es un problema abierto si todos los grupos de Chow se generan de forma finita para cada variedad en un campo numérico. La conjetura de Bloch - Kato sobre los valores de las funciones L predice que estos grupos se generan de forma finita. Además, el rango del grupo de ciclos módulo de equivalencia homológica, y también del grupo de ciclos homológicamente equivalente a cero, debe ser igual al orden de desaparición de una función L de la variedad dada en ciertos puntos enteros. La finitud de estos rangos también se derivaría de la conjetura de Bass en la teoría K algebraica.
• Para una variedad proyectiva compleja suave X , la conjetura de Hodge predice la imagen ( tensorizada con los racionales Q ) del mapa del ciclo desde los grupos de Chow hasta la cohomología singular. Para una variedad proyectiva suave sobre un campo finitamente generado (como un campo finito o un campo numérico), la conjetura de Tate predice la imagen (tensorizada con Q _l ) del mapa de ciclos desde los grupos de Chow hasta la cohomología l-ádica .
• Para una variedad proyectiva suave X sobre cualquier campo, la conjetura de Bloch - Beilinson predice una filtración en los grupos Chow de X (tensorados con los racionales) con propiedades fuertes. ^[10] La conjetura implicaría una estrecha conexión entre la cohomología singular o etale de X y los grupos Chow de X.

Por ejemplo, sea X una superficie proyectiva compleja y suave. El grupo Chow de ciclos cero en X se asigna a los números enteros por el grado de homomorfismo; sea ​​K el núcleo. Si el género geométrico h ⁰ ( X , Ω ² ) no es cero, Mumford demostró que K es "de dimensión infinita" (no la imagen de ninguna familia de ciclos cero de dimensión finita en X ). ^[11] La conjetura de Bloch-Beilinson implicaría una inversa satisfactoria, la conjetura de Bloch sobre ciclos cero : para una superficie proyectiva compleja y suave X con género geométrico cero, K debería ser de dimensión finita; más precisamente, debería mapearse isomórficamente al grupo de puntos complejos de la variedad albanesa de X. ^[12]

Variantes

teoría bivariante

Fulton y MacPherson extendieron el anillo Chow a variedades singulares definiendo el " anillo Chow operacional " y, más generalmente, una teoría bivariante asociada a cualquier morfismo de esquemas. ^{[13] Una teoría bivariante es un par de} funtores covariantes y contravariantes que asignan a un mapa un grupo y un anillo respectivamente. Generaliza una teoría de cohomología , que es un functor contravariante que asigna a un espacio un anillo, es decir, un anillo de cohomología . El nombre "bivariante" se refiere al hecho de que la teoría contiene funtores covariantes y contravariantes. ^[14]

Ésta es, en cierto sentido, la extensión más elemental del anillo Chow a variedades singulares; otras teorías, como la cohomología motívica, se asignan al anillo operativo de Chow. ^[15]

Otras variantes

Los grupos aritméticos de Chow son una amalgama de grupos de variedades de Chow sobre Q junto con un componente que codifica información teórica de Arakelov , es decir, formas diferenciales en la variedad compleja asociada.

La teoría de Chow de grupos de esquemas de tipo finito sobre un campo se extiende fácilmente a la de espacios algebraicos . La ventaja clave de esta extensión es que es más fácil formar cocientes en la última categoría y, por tanto, es más natural considerar grupos de Chow equivariantes de espacios algebraicos. Una extensión mucho más formidable es la del grupo Chow de una pila , que se ha construido sólo en algún caso especial y que es necesario en particular para dar sentido a una clase fundamental virtual .

Historia

La equivalencia racional de divisores (conocida como equivalencia lineal ) se estudió de diversas formas durante el siglo XIX, dando lugar al grupo de clases ideal en teoría de números y a la variedad jacobiana en la teoría de curvas algebraicas. Para ciclos de codimensión superior, Francesco Severi introdujo la equivalencia racional en la década de 1930. En 1956, Wei-Liang Chow dio una prueba influyente de que el producto de intersección está bien definido en ciclos de equivalencia racional de módulo para una variedad cuasi-proyectiva suave, utilizando el lema móvil de Chow . A partir de la década de 1970, Fulton y MacPherson dieron la base estándar actual para los grupos de Chow, trabajando con variedades singulares siempre que fuera posible. En su teoría, el producto de intersección para variedades suaves se construye mediante deformación del cono normal . ^[dieciséis]

Ver también

• Teoría de la intersección
• Teorema de Grothendieck-Riemann-Roch
• Conjetura de Hodge
• Motivo (geometría algebraica)

Referencias

Citas

1. Fulton. Teoría de la intersección, sección 1.2 y Apéndice A.3.
2. Proyecto Pilas, https://stacks.math.columbia.edu/tag/0BE9
3. Fulton, Teoría de la intersección, sección 8.1.
4. Fulton, Teoría de la intersección, Proposición 1.8.
5. Bloch, ciclos algebraicos y grupos K superiores; Voevodsky, Categorías trianguladas de motivos sobre un campo, sección 2.2 y Proposición 4.2.9.
6. Fulton, Teoría de la intersección, sección 19.1
7. Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, v. 1, sección 12.3.3; v.2, Teorema 9.24.
8. Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Exponer 4.
9. Fulton, Teoría de la intersección, sección 3.2 y ejemplo 8.3.3.
10. Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, v. 2, Conjetura 11.21.
11. Voisin, teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, v. 2, teorema 10.1.
12. Voisin, Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja, v. 2, cap. 11.
13. Fulton, Teoría de la intersección, Capítulo 17.
14. Fulton, William; MacPherson, Robert (1981). Marco Categórico para el Estudio de Espacios Singulares. Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 9780821822432.
15. B. Totaro, grupos de Chow, cohomología de Chow y variedades lineales
16. Fulton, Teoría de la intersección, capítulos 5, 6, 8.

Introductorio

• Eisenbud, David; Harris, Joe, 3264 y todo eso: un segundo curso de geometría algebraica

Avanzado

• Bloch, Spencer (1986), "Ciclos algebraicos y teoría K superior", Avances en Matemáticas , 61 (3): 267–304, doi : 10.1016/0001-8708(86)90081-2 , ISSN  0001-8708, SEÑOR  0852815
• Claude, Chevalley (1958), "Les schools d'équivalence rationelle, I", Anneaux de Chow et apps , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Claude, Chevalley (1958), "Les schools d'équivalence rationelle, II", Anneaux de Chow et apps , Séminaire Claude Chevalley, vol. 3
• Chow, Wei-Liang (1956), "Sobre clases de equivalencia de ciclos en una variedad algebraica", Annals of Mathematics , 64 : 450–479, doi :10.2307/1969596, ISSN  0003-486X, MR  0082173
• Deligne, Pierre (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2) , Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-08066-4, señor  0463174
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98549-7, señor  1644323
• Severi, Francesco (1932), "La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica", Commentarii Mathematici Helvetici , 4 : 268–326, doi :10.1007/bf01202721, JFM  58.1229.01
• Voevodsky, Vladimir (2000), "Categorías trianguladas de motivos sobre un campo", Teorías de ciclos, transferencias y homología motívica , Princeton University Press , págs. 188-238, ISBN 9781400837120, señor  1764202
• Voisin, Claire (2002), Teoría de Hodge y geometría algebraica compleja (2 vols.) , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-71801-1, SEÑOR  1997577