Homomorfismo de Gysin

Secuencia exacta larga

En el campo de las matemáticas conocido como topología algebraica , la secuencia de Gysin es una secuencia larga y exacta que relaciona las clases de cohomología del espacio base , la fibra y el espacio total de un haz de esferas . La secuencia de Gysin es una herramienta útil para calcular los anillos de cohomología dada la clase de Euler del haz de esferas y viceversa. Fue introducido por Gysin  (1942) y está generalizado mediante la secuencia espectral de Serre .

Definición

Considere un haz de esferas orientadas a fibras con espacio total E , espacio base M , fibra S ^k y mapa de proyección : ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle S^{k}\hookrightarrow E{\stackrel {\pi }{\longrightarrow }}M.}$

Cualquier paquete de este tipo define una clase de cohomología e de grado k  + 1 llamada clase de Euler del paquete.

Cohomología de De Rham

La discusión sobre la secuencia es más clara con la cohomología de De Rham . Allí las clases de cohomología están representadas por formas diferenciales , de modo que e puede representarse mediante una forma ( k  + 1).

El mapa de proyección induce un mapa en cohomología llamado retroceso ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle H^{\ast }}$ ${\displaystyle \pi ^{\ast }}$

${\displaystyle \pi ^{*}:H^{*}(M)\longrightarrow H^{*}(E).\,}$

En el caso de un haz de fibras, también se puede definir un mapa de avance ${\displaystyle \pi _{\ast }}$

${\displaystyle \pi _{*}:H^{*}(E)\longrightarrow H^{*-k}(M)}$

que actúa mediante integración por fibra de formas diferenciales en la esfera orientada; tenga en cuenta que este mapa va "en el camino equivocado" : es un mapa covariante entre objetos asociados con un funtor contravariante.

Gysin demostró que la siguiente es una secuencia larga y exacta

${\displaystyle \cdots \longrightarrow H^{n}(E){\stackrel {\pi _{*}}{\longrightarrow }}H^{n-k}(M){\stackrel {e_{\wedge }}{\longrightarrow }}H^{n+1}(M){\stackrel {\pi ^{*}}{\longrightarrow }}H^{n+1}(E)\longrightarrow \cdots }$

donde es el producto de cuña de una forma diferencial con la clase de Euler  e . ${\displaystyle e_{\wedge }}$

Cohomología integral

La secuencia de Gysin es una secuencia larga y exacta no sólo para la cohomología de formas diferenciales de De Rham , sino también para la cohomología con coeficientes integrales. En el caso integral, es necesario reemplazar el producto cuña con la clase de Euler con el producto copa , y el mapa de avance ya no corresponde a la integración.

Homomorfismo de Gysin en geometría algebraica

Sea i : X → Y una incrustación regular (cerrada) de codimensión d , Y ' → Y un morfismo y i ' : X ' = X × _Y Y ' → Y ' el mapa inducido. Sea N el retroceso del paquete normal de i a X ' . Entonces el refinado homomorfismo de Gysin i ^! se refiere a la composición

${\displaystyle i^{!}:A_{k}(Y'){\overset {\sigma }{\longrightarrow }}A_{k}(N){\overset {\text{Gysin}}{\longrightarrow }}A_{k-d}(X')}$

dónde

• σ es el homomorfismo de especialización; que envía una subvariedad V k -dimensional al cono normal a la intersección de V y X ' en V . El resultado se encuentra en N a . ${\displaystyle C_{X'/Y'}\hookrightarrow N}$
• El segundo mapa es el homomorfismo de Gysin (habitual) inducido por la incrustación de sección cero . ${\displaystyle X'\hookrightarrow N}$

El homomorfismo i ^! codifica el producto de intersección en la teoría de la intersección en el sentido de que muestra el producto de intersección de X y V dado por la fórmula o toma esta fórmula como una definición. ^[1] ${\displaystyle X\cdot V=i^{!}[V],}$

Ejemplo : Dado un paquete de vectores E , sea s : X → E una sección de E. Entonces, cuando s es una sección regular, es la clase del lugar cero de s , donde [ X ] es la clase fundamental de X. ^[2] ${\displaystyle s^{!}[X]}$

Ver también

• forma logarítmica
• secuencia de wang

Notas

1. Fulton 1998, ejemplo 6.2.1.
2. Fulton 1998, Proposición 14.1. (C).

Fuentes

• Bott, Raúl ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Textos de posgrado en matemáticas, Springer-Verlag, ISBN 978-038790613-3
• Fulton, William (1998), Teoría de la intersección , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete . 3. Folge., vol. 2 (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-1700-8 , ISBN 978-3-540-62046-4, señor  1644323
• Gysin, Werner (1942), "Zur Homologietheorie der Abbildungen und Faserungen von Mannigfaltigkeiten", Commentarii Mathematici Helvetici , 14 : 61–122, doi :10.1007/bf02565612, ISSN  0010-2571, MR  0006511