En geometría diferencial , la integración a lo largo de fibras de una forma k produce una forma donde m es la dimensión de la fibra, mediante "integración". También se le llama integración de fibras .
Definición
Sea un haz de fibras sobre un colector con fibras orientadas compactas. Si es una forma k en E , entonces para vectores tangentes w i en b , sea
¿Dónde está la forma superior inducida en la fibra ? es decir, una forma dada por: con elevaciones de a ,
(Para ver que es fluido, resuélvalo en coordenadas; consulte el ejemplo a continuación).
Entonces es un mapa lineal . Según la fórmula de Stokes, si las fibras no tienen límites (es decir ), el mapa desciende a la cohomología de De Rham :
Esto también se llama integración de fibras.
Ahora, supongamos que es un paquete de esferas ; es decir, la fibra típica es una esfera. Luego hay una secuencia exacta , K el núcleo, que conduce a una secuencia exacta larga, eliminando el coeficiente y usando :
- ,
llamada secuencia de Gysin .
Ejemplo
Sea una proyección obvia. Primero supongamos con coordenadas y considere una k -forma:
Entonces, en cada punto de M ,
- [1]
A partir de este cálculo local, se deduce fácilmente la siguiente fórmula (ver Poincaré_lemma#Direct_proof ): si hay alguna k -forma en
¿Dónde está la restricción de a ?
Como aplicación de esta fórmula, sea un mapa suave (considerado como una homotopía). Entonces la composición es un operador de homotopía (también llamado homotopía en cadena):
lo que implica inducir el mismo mapa en cohomología, hecho conocido como invariancia de homotopía de la cohomología de De Rham . Como corolario, por ejemplo, sea U una bola abierta en R n con centro en el origen y sea . Luego , el hecho conocido como lema de Poincaré .
Fórmula de proyección
Dado un paquete de vectores π : E → B sobre una variedad, decimos que una forma diferencial α en E tiene soporte vertical compacto si la restricción tiene soporte compacto para cada b en B . Escribimos para el espacio vectorial de formas diferenciales en E con soporte vertical compacto. Si E está orientado como un haz de vectores, exactamente como antes, podemos definir la integración a lo largo de la fibra:
Lo siguiente se conoce como fórmula de proyección. [2] Creamos un módulo derecho configurando .
Prueba: 1. Dado que la afirmación es local, podemos suponer que π es trivial: es decir, es una proyección. Sean las coordenadas de la fibra. Si , entonces, dado que es un homomorfismo de anillo,
De manera similar, ambos lados son cero si α no contiene dt . La prueba de 2. es similar.
Ver también
Notas
- ^ Si , entonces, en un punto b de M , identificando 's con sus elevaciones, tenemos:
y entonces
Por tanto,
mediante el mismo cálculo, si dt no aparece en α . - ^ Bott y Tu 1982, Proposición 6.15; tenga en cuenta que utilizan una definición diferente a la que aparece aquí, lo que da como resultado un cambio de signo.
Referencias
- Michele Audin , Acciones de toro sobre variedades simplécticas, Birkhauser, 2004
- Bott, Raúl ; Tu, Loring (1982), Formas diferenciales en topología algebraica , Nueva York: Springer, ISBN 0-387-90613-4