Clase de Euler

Clase característica de fibrados vectoriales reales y orientados

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , la clase de Euler es una clase característica de los fibrados vectoriales reales y orientados . Al igual que otras clases características, mide cuán "retorcido" está el fibrado vectorial. En el caso del fibrado tangente de una variedad lisa , generaliza la noción clásica de característica de Euler . Por este motivo, recibe su nombre de Leonhard Euler .

A lo largo de este artículo se presenta un fibrado vectorial real y orientado de rango sobre un espacio base . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$

Definición formal

La clase de Euler es un elemento del grupo de cohomología integral ${\displaystyle e(E)}$

${\displaystyle H^{r}(X;\mathbf {Z} ),}$

construido de la siguiente manera. Una orientación de equivale a una elección continua del generador de la cohomología ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(\mathbf {R} ^{r},\mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\};\mathbf {Z} )\cong {\tilde {H}}^{r-1}(S^{r-1};\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} }$

de cada fibra con respecto al complemento de cero. A partir del isomorfismo de Thom , esto induce una clase de orientación ${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}}$ ${\displaystyle \mathbf {R} ^{r}\setminus \{0\}}$

${\displaystyle u\in H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )}$

en la cohomología de relativa al complemento de la sección cero . Las inclusiones ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E\setminus E_{0}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle (X,\emptyset )\hookrightarrow (E,\emptyset )\hookrightarrow (E,E\setminus E_{0}),}$

donde incluye en como la sección cero, induce mapas ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle E}$

${\displaystyle H^{r}(E,E\setminus E_{0};\mathbf {Z} )\to H^{r}(E;\mathbf {Z} )\to H^{r}(X;\mathbf {Z} ).}$

La clase de Euler e ( E ) es la imagen de u bajo la composición de estos mapas.

Propiedades

La clase de Euler satisface estas propiedades, que son axiomas de una clase característica:

• Functorialidad: Si es otro fibrado vectorial real orientado y es continuo y está cubierto por una función que preserva la orientación , entonces . En particular, . ${\displaystyle F\to Y}$ ${\displaystyle f\colon Y\to X}$ ${\displaystyle F\to E}$ ${\displaystyle e(F)=f^{*}(e(E))}$ ${\displaystyle e(f^{*}(E))=f^{*}(e(E))}$
• Fórmula de suma de Whitney : Sies otro fibrado vectorial real orientado, entonces la clase de Euler de su suma directa está dada por ${\displaystyle F\to X}$ ${\displaystyle e(E\oplus F)=e(E)\smile e(F).}$
• Normalización: Si posee una sección de cero en ninguna parte, entonces . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e(E)=0}$
• Orientación: Si es con la orientación opuesta, entonces . ${\displaystyle {\overline {E}}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e({\overline {E}})=-e(E)}$

Obsérvese que la "normalización" es una característica distintiva de la clase de Euler. La clase de Euler impide la existencia de una sección no nula en el sentido de que si, entonces, no tiene ninguna sección no nula. ${\displaystyle e(E)\neq 0}$ ${\displaystyle E}$

Además, a diferencia de otras clases características, se concentra en un grado que depende del rango del fibrado: . Por el contrario, las clases de Stiefel Whitney viven en independientemente del rango de . Esto refleja el hecho de que la clase de Euler es inestable, como se analiza a continuación. ${\displaystyle e(E)\in H^{r}(X)}$ ${\displaystyle w_{i}(E)}$ ${\displaystyle H^{i}(X;\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle E}$

Lugar de desaparición de la sección genérica

La clase de Euler corresponde al lugar geométrico de desaparición de una sección de de la siguiente manera. Supóngase que es una variedad suave orientada de dimensión . Sea una sección suave que interseca transversalmente la sección cero. Sea el lugar geométrico cero de . Entonces es una subvariedad de codimensión de la cual representa una clase de homología y es el dual de Poincaré de . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle \sigma \colon X\to E}$ ${\displaystyle Z\subseteq X}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [Z]\in H_{d-r}(X;\mathbf {Z} )}$ ${\displaystyle e(E)}$ ${\displaystyle [Z]}$

Intersección consigo mismo

Por ejemplo, si es una subvariedad compacta, entonces la clase de Euler del fibrado normal de en se identifica naturalmente con la autointersección de en . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Relaciones con otros invariantes

En el caso especial en que el fibrado E en cuestión es el fibrado tangente de una variedad compacta, orientada y de dimensión r , la clase de Euler es un elemento de la cohomología superior de la variedad, que se identifica naturalmente con los enteros evaluando las clases de cohomología en la clase de homología fundamental . Bajo esta identificación, la clase de Euler del fibrado tangente es igual a la característica de Euler de la variedad. En el lenguaje de los números característicos , la característica de Euler es el número característico correspondiente a la clase de Euler.

Por lo tanto, la clase de Euler es una generalización de la característica de Euler a los fibrados vectoriales distintos de los fibrados tangentes. A su vez, la clase de Euler es el arquetipo de otras clases características de fibrados vectoriales, en el sentido de que cada clase característica "superior" es igual a la clase de Euler, como sigue.

Modificar por 2 induce un mapa

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {Z} )\to H^{r}(X,\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} ).}$

La imagen de la clase de Euler bajo este mapa es la clase superior de Stiefel-Whitney w _r ( E ). Se puede considerar esta clase de Stiefel-Whitney como "la clase de Euler, ignorando la orientación".

Cualquier fibrado vectorial complejo E de rango complejo d puede considerarse como un fibrado vectorial real orientado E de rango real 2 d . La clase de Euler de E viene dada por la clase de Chern de dimensión más alta ${\displaystyle e(E)=c_{d}(E)\in H^{2d}(X)}$

Cuadrados para encabezar la clase de Pontryagin

La clase Pontryagin se define como la clase Chern de la complejización de E : . ${\displaystyle p_{r}(E)}$ ${\displaystyle p_{r}(E)=c_{2r}(\mathbf {C} \otimes E)}$

La complejización es isomorfa como fibrado orientado a . Comparando las clases de Euler, vemos que ${\displaystyle \mathbf {C} \otimes E}$ ${\displaystyle E\oplus E}$

${\displaystyle e(E)\smile e(E)=e(E\oplus E)=e(E\otimes \mathbf {C} )=c_{r}(E\otimes \mathbf {C} )\in H^{2r}(X,\mathbf {Z} ).}$

Si el rango r de E es par, entonces donde es la clase de Pontryagin de dimensión superior de . ${\displaystyle e(E)\smile e(E)=c_{r}(E)=p_{r/2}(E)}$ ${\displaystyle p_{r/2}(E)}$ ${\displaystyle E}$

Inestabilidad

Una clase característica es estable si donde es un fibrado trivial de rango uno. A diferencia de la mayoría de las otras clases características, la clase de Euler es inestable . De hecho, . ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle c(E\oplus {\underline {R}}^{1})=c(E)}$ ${\displaystyle {\underline {R}}^{1}}$ ${\displaystyle e(E\oplus {\underline {R}}^{1})=e(E)\smile e({\underline {R}}^{1})=0}$

La clase de Euler está representada por una clase de cohomología en el espacio de clasificación BSO( k ) . La inestabilidad de la clase de Euler muestra que no es el retroceso de una clase en bajo la inclusión . ${\displaystyle e\in H^{k}(\mathrm {BSO} (k))}$ ${\displaystyle H^{k}(\mathrm {BSO} (k+1))}$ ${\displaystyle \mathrm {BSO} (k)\to \mathrm {BSO} (k+1)}$

Esto se puede ver intuitivamente en que la clase de Euler es una clase cuyo grado depende de la dimensión del fibrado (o variedad, si es el fibrado tangente): la clase de Euler es un elemento de donde es la dimensión del fibrado, mientras que las otras clases tienen una dimensión fija (por ejemplo, la primera clase de Stiefel-Whitney es un elemento de ). ${\displaystyle H^{d}(X)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle H^{1}(X)}$

El hecho de que la clase de Euler sea inestable no debe verse como un "defecto": más bien, significa que la clase de Euler "detecta fenómenos inestables". Por ejemplo, el fibrado tangente de una esfera de dimensión par es establemente trivial pero no trivial (la inclusión habitual de la esfera tiene fibrado normal trivial, por lo tanto el fibrado tangente de la esfera más un fibrado lineal trivial es el fibrado tangente del espacio euclidiano, restringido a , que es trivial), por lo tanto, todas las demás clases características se anulan para la esfera, pero la clase de Euler no se anula para esferas pares, lo que proporciona un invariante no trivial. ${\displaystyle S^{n}\subseteq \mathrm {R} ^{n+1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$

Ejemplos

Esferas

La característica de Euler de la n -esfera S ⁿ es:

${\displaystyle \chi (\mathbf {S} ^{n})=1+(-1)^{n}={\begin{cases}2&n{\text{ even}}\\0&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$

Por lo tanto, no existe una sección no nula del fibrado tangente de esferas pares (esto se conoce como el teorema de la bola peluda ). En particular, el fibrado tangente de una esfera par no es trivial, es decir, no es una variedad paralelizable y no puede admitir una estructura de grupo de Lie . ${\displaystyle S^{2n}}$

Para esferas impares, S ^{2 n −1} ⊂ R ^{2 n} , una sección que no desaparece en ninguna parte está dada por

${\displaystyle (x_{2},-x_{1},x_{4},-x_{3},\dots ,x_{2n},-x_{2n-1})}$

lo que demuestra que la clase de Euler se desvanece; esto es sólo n copias de la sección habitual sobre el círculo.

Como la clase de Euler para una esfera par corresponde a , podemos usar el hecho de que la clase de Euler de una suma de Whitney de dos fibrados es simplemente el producto en taza de las clases de Euler de los dos fibrados para ver que no hay otros subfibrados del fibrado tangente que el fibrado tangente mismo y el fibrado nulo, para cualquier esfera de dimensión par. ${\displaystyle 2[S^{2n}]\in H^{2n}(S^{2n},\mathbf {Z} )}$

Dado que el fibrado tangente de la esfera es establemente trivial pero no trivial, todas las demás clases características se desvanecen en él, y la clase de Euler es la única clase de cohomología ordinaria que detecta la no trivialidad del fibrado tangente de esferas: para demostrar resultados adicionales, uno debe usar operaciones de cohomología secundarias o K-teoría .

Círculo

El cilindro es un fibrado lineal sobre el círculo, por la proyección natural . Es un fibrado lineal trivial, por lo que posee una sección en la que no hay ningún cero, y por lo tanto su clase de Euler es 0. También es isomorfo al fibrado tangente del círculo; el hecho de que su clase de Euler sea 0 corresponde al hecho de que la característica de Euler del círculo es 0. ${\displaystyle \mathrm {R} ^{1}\times S^{1}\to S^{1}}$

Véase también

• Polinomio de Vandermonde
• Isomorfismo de Thom
• Teorema generalizado de Gauss-Bonnet

Otras clases

• Clase Chern
• Clase Pontryagin
• Clase Stiefel-Whitney

Referencias

• Bott, Raoul y Tu, Loring W. (1982). Formas diferenciales en topología algebraica . Springer-Verlag. ISBN 0-387-90613-4.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
• Bredon, Glen E. (1993). Topología y geometría . Springer-Verlag. ISBN 0-387-97926-3.
• Milnor, John W .; Stasheff, James D. (1974). Clases características . Princeton University Press. ISBN 0-691-08122-0.