Polinomio de Vandermonde

En álgebra , el polinomio de Vandermonde de un conjunto ordenado de n variables , llamado así en honor a Alexandre-Théophile Vandermonde , es el polinomio : ${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$

${\displaystyle V_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}).}$

(Algunas fuentes utilizan el orden opuesto , lo que cambia los tiempos de los signos: así en algunas dimensiones las dos fórmulas coinciden en signo, mientras que en otras tienen signos opuestos.) ${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$ ${\displaystyle {\binom {n}{2}}}$

También se le llama determinante de Vandermonde, ya que es el determinante de la matriz de Vandermonde .

El valor depende del orden de los términos: es un polinomio alterno , no un polinomio simétrico .

Alterno

La propiedad definitoria del polinomio de Vandermonde es que es alterno en las entradas, lo que significa que permutarlos con una permutación impar cambia el signo, mientras que permutarlos con una permutación par no cambia el valor del polinomio; de hecho, es el polinomio alterno básico, como se precisará más adelante. ${\displaystyle X_{i}}$

Por lo tanto, depende del orden, y es cero si dos entradas son iguales; esto también se desprende de la fórmula, pero también es consecuencia de ser alternado: si dos variables son iguales, entonces cambiarlas no cambia el valor y lo invierte, produciendo y por lo tanto (asumiendo que la característica no es 2, de lo contrario ser alternado es equivalente a ser simétrico). ${\displaystyle V_{n}=-V_{n},}$ ${\displaystyle V_{n}=0}$

Por el contrario, el polinomio de Vandermonde es un factor de todo polinomio alterno: como se muestra arriba, un polinomio alterno se desvanece si dos variables son iguales y, por lo tanto, debe tener como factor para todo . ${\displaystyle (X_{i}-X_{j})}$ ${\displaystyle i\neq j}$

Polinomios alternados

Así, el polinomio de Vandermonde (junto con los polinomios simétricos ) genera los polinomios alternados .

Discriminante

Su cuadrado se denomina ampliamente discriminante , aunque algunas fuentes llaman al polinomio de Vandermonde en sí mismo el discriminante.

El discriminante (el cuadrado del polinomio de Vandermonde: ) no depende del orden de los términos, ya que , y por lo tanto es un invariante del conjunto desordenado de puntos. ${\displaystyle \Delta =V_{n}^{2}}$ ${\displaystyle (-1)^{2}=1}$

Si se añade el polinomio de Vandermonde al anillo de polinomios simétricos en n variables , se obtiene la extensión cuadrática , que es el anillo de polinomios alternados . ${\displaystyle \Lambda _{n}}$ ${\displaystyle \Lambda _{n}[V_{n}]/\langle V_{n}^{2}-\Delta \rangle }$

Polinomio de Vandermonde de un polinomio

Dado un polinomio, el polinomio de Vandermonde de sus raíces se define sobre el cuerpo de descomposición ; para un polinomio no mónico , con coeficiente principal a , se puede definir el polinomio de Vandermonde como

${\displaystyle V_{n}=a^{n-1}\prod _{1\leq i<j\leq n}(X_{j}-X_{i}),}$

(multiplicando por un término principal) para concordar con el discriminante.

Generalizaciones

Sobre anillos arbitrarios , se utiliza un polinomio diferente para generar los polinomios alternos (véase Romagny, 2005).

El determinante de Vandermonde es un caso muy especial de la fórmula del denominador de Weyl aplicada a la representación trivial del grupo unitario especial . ${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$

Véase también

• Polinomio de Capelli (ref.)

Referencias

• El teorema fundamental de las funciones alternas, por Matthieu Romagny, 15 de septiembre de 2005