Grupo unitario especial

Grupo de matrices unitarias con determinante de 1

En matemáticas, el grupo unitario especial de grado n , denotado SU( n ) , es el grupo de Lie de n × n matrices unitarias con determinante 1.

Las matrices del grupo unitario más general pueden tener determinantes complejos con valor absoluto 1, en lugar de 1 real en el caso especial.

La operación de grupo es la multiplicación de matrices . El grupo unitario especial es un subgrupo normal del grupo unitario U ( n ) , que consta de todas las matrices unitarias n × n . Como grupo clásico compacto , U( n ) es el grupo que conserva el producto interno estándar en . ^[a] Es en sí mismo un subgrupo del grupo lineal general , ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\subset \operatorname {U} (n)\subset \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Los grupos SU( n ) encuentran una amplia aplicación en el modelo estándar de física de partículas , especialmente SU(2) en la interacción electrodébil y SU(3) en cromodinámica cuántica . ^[1]

El caso más simple, SU(1) , es el grupo trivial , que tiene un solo elemento. El grupo SU(2) es isomorfo al grupo de cuaterniones de norma 1 y, por tanto, es difeomorfo a las 3 esferas . Dado que los cuaterniones unitarios se pueden usar para representar rotaciones en un espacio tridimensional (hasta el signo), existe un homomorfismo sobreyectivo de SU(2) al grupo de rotación SO(3) cuyo núcleo es {+ I , − I } . ^[b] SU(2) también es idéntico a uno de los grupos de simetría de espinores , Spin (3), que permite una presentación de rotaciones de espinor.

Propiedades

El grupo unitario especial SU( n ) es un grupo de Lie estrictamente real (frente a un grupo de Lie complejo más general ). Su dimensión como variedad real es n ² − 1 . Topológicamente es compacto y simplemente conexo . ^[2] Algebraicamente, es un grupo de Lie simple (lo que significa que su álgebra de Lie es simple; ver más abajo). ^[3]

El centro de SU( n ) es isomorfo al grupo cíclico y está compuesto por las matrices diagonales ζ I para ζ una n- ésima raíz de la unidad y I la matriz identidad n × n . ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$

Su grupo de automorfismo externo para n ≥ 3 es mientras que el grupo de automorfismo externo de SU(2) es el grupo trivial . ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,}$

Un toro máximo de rango n − 1 viene dado por el conjunto de matrices diagonales con determinante 1 . El grupo Weyl de SU( n ) es el grupo simétrico Sn , que está representado por matrices de permutación con signo ₍ siendo los signos necesarios para asegurar que el determinante sea 1 ).

El álgebra de Lie de SU( n ) , denotada por , se puede identificar con el conjunto de matrices complejas antihermitianas n × n sin rastro , con el conmutador regular como corchete de Lie. Los físicos de partículas suelen utilizar una representación diferente y equivalente: el conjunto de matrices complejas hermitianas n × n sin rastro con corchete de Lie dado por − i multiplicado por el conmutador. ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

álgebra de mentiras

El álgebra de Lie consta de n × n matrices sesgadas-hermitianas con traza cero. ^[4] Esta álgebra de Lie (real) tiene dimensión n ² − 1 . Puede encontrar más información sobre la estructura de este álgebra de Lie a continuación en § Estructura del álgebra de Lie . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$

Representación fundamental

En la literatura de física, es común identificar el álgebra de Lie con el espacio de matrices hermitianas de traza cero (en lugar de las matrices hermitianas sesgadas). Es decir, el álgebra de Lie de los físicos difiere en un factor de la de los matemáticos. Con esta convención, se pueden elegir generadores T _a que sean matrices hermitianas complejas n × n sin rastro , donde: ${\displaystyle i}$

${\displaystyle T_{a}\,T_{b}={\tfrac {1}{\,2n\,}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+{\tfrac {1}{2}}\,\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\left(if_{abc}+d_{abc}\right)\,T_{c}}$

donde los f son las constantes de estructura y son antisimétricos en todos los índices, mientras que los d -coeficientes son simétricos en todos los índices.

En consecuencia, el conmutador es:

${\displaystyle ~\left[T_{a},\,T_{b}\right]~=~i\sum _{c=1}^{n^{2}-1}\,f_{abc}\,T_{c}\;,}$

y el anticonmutador correspondiente es:

${\displaystyle \left\{T_{a},\,T_{b}\right\}~=~{\tfrac {1}{n}}\,\delta _{ab}\,I_{n}+\sum _{c=1}^{n^{2}-1}{d_{abc}\,T_{c}}~.}$

El factor de i en la relación de conmutación surge de la convención de la física y no está presente cuando se utiliza la convención de los matemáticos.

La condición de normalización convencional es

${\displaystyle \sum _{c,e=1}^{n^{2}-1}d_{ace}\,d_{bce}={\frac {\,n^{2}-4\,}{n}}\,\delta _{ab}~.}$

Representación adjunta

En la representación adjunta ( n ² − 1) -dimensional , los generadores están representados por matrices ( n ² − 1) × ( n ² − 1) , cuyos elementos están definidos por las propias constantes de estructura:

${\displaystyle \left(T_{a}\right)_{jk}=-if_{ajk}.}$

El grupo SU(2)

Usando la multiplicación de matrices para la operación binaria, SU(2) forma un grupo, ^[5]

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)=\left\{{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}}:\ \ \alpha ,\beta \in \mathbb {C} ,|\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1\right\}~,}$

donde la línea superior denota conjugación compleja .

Difomorfismo con las 3 esferas S 3

Si consideramos como un par en donde y , entonces la ecuación queda ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \alpha =a+bi}$ ${\displaystyle \beta =c+di}$ ${\displaystyle |\alpha |^{2}+|\beta |^{2}=1}$

${\displaystyle a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=1}$

Esta es la ecuación de las 3 esferas S ³ . Esto también se puede ver usando una incrustación: el mapa

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \colon \mathbb {C} ^{2}\to {}&\operatorname {M} (2,\mathbb {C} )\\[5pt]\varphi (\alpha ,\beta )={}&{\begin{pmatrix}\alpha &-{\overline {\beta }}\\\beta &{\overline {\alpha }}\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

donde denota el conjunto de matrices complejas de 2 por 2, es un mapa lineal real inyectivo (considerando difeomorfo a y difeomorfo a ). Por lo tanto, la restricción de φ a las 3 esferas (ya que el módulo es 1), denotada como S ³ , es una incorporación de las 3 esferas a una subvariedad compacta de , a saber, φ ( S ³ ) = SU(2) . ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{8}}$ ${\displaystyle \operatorname {M} (2,\mathbb {C} )}$

Por lo tanto, como variedad, S ³ es difeomorfa a SU(2) , lo que muestra que SU(2) es simplemente conexo y que S ³ puede dotarse de la estructura de un grupo de Lie compacto y conexo .

Isomorfismo con grupo de versores.

Los cuaterniones de norma 1 se llaman versores ya que generan el grupo de rotación SO(3) : La matriz SU(2) :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a+bi&c+di\\-c+di&a-bi\end{pmatrix}}\quad (a,b,c,d\in \mathbb {R} )}$

se puede asignar al cuaternión

${\displaystyle a\,{\hat {1}}+b\,{\hat {i}}+c\,{\hat {j}}+d\,{\hat {k}}}$

Este mapa es de hecho un isomorfismo de grupo . Además, el determinante de la matriz es la norma al cuadrado del cuaternión correspondiente. Claramente, cualquier matriz en SU(2) tiene esta forma y, dado que tiene determinante  1 , el cuaternión correspondiente tiene norma 1 . Por tanto, SU(2) es isomorfo al grupo de versores. ^[6]

Relación con las rotaciones espaciales.

Cada versor está naturalmente asociado a una rotación espacial en 3 dimensiones, y el producto de versores está asociado a la composición de las rotaciones asociadas. Además, de esta manera cada rotación surge exactamente de dos versores. En resumen: hay un homomorfismo sobreyectivo 2:1 de SU(2) a SO(3) ; en consecuencia, SO(3) es isomorfo al grupo cociente SU(2)/{±I} , la variedad subyacente SO(3) se obtiene identificando los puntos antípodas de las 3 esferas S ³ , y SU(2) es el universal cubierta de SO(3) .

álgebra de mentiras

El álgebra de Lie de SU(2) consta de matrices sesgadas-hermitianas de 2 × 2 con traza cero. ^[7] Explícitamente, esto significa

${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\left\{{\begin{pmatrix}i\ a&-{\overline {z}}\\z&-i\ a\end{pmatrix}}:\ a\in \mathbb {R} ,z\in \mathbb {C} \right\}~.}$

Luego, el álgebra de Lie se genera mediante las siguientes matrices,

${\displaystyle u_{1}={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad u_{2}={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}},\quad u_{3}={\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}~,}$

que tienen la forma del elemento general especificado anteriormente.

Esto también se puede escribir usando las matrices de Pauli . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)=\operatorname {span} \left\{i\sigma _{1},i\sigma _{2},i\sigma _{3}\right\}}$

Estos satisfacen las relaciones de cuaterniones y, por lo tanto, el soporte del conmutador está especificado por ${\displaystyle u_{2}\ u_{3}=-u_{3}\ u_{2}=u_{1}~,}$ ${\displaystyle u_{3}\ u_{1}=-u_{1}\ u_{3}=u_{2}~,}$ ${\displaystyle u_{1}u_{2}=-u_{2}\ u_{1}=u_{3}~.}$

${\displaystyle \left[u_{3},u_{1}\right]=2\ u_{2},\quad \left[u_{1},u_{2}\right]=2\ u_{3},\quad \left[u_{2},u_{3}\right]=2\ u_{1}~.}$

Los generadores anteriores están relacionados con las matrices de Pauli por y Esta representación se utiliza habitualmente en mecánica cuántica para representar el espín de partículas fundamentales como los electrones . También sirven como vectores unitarios para la descripción de nuestras 3 dimensiones espaciales en la gravedad cuántica de bucles . También corresponden a las puertas Pauli X, Y y Z , que son generadores estándar para las puertas de qubit único, correspondientes a rotaciones tridimensionales alrededor de los ejes de la esfera de Bloch . ${\displaystyle u_{1}=i\ \sigma _{1}~,\,u_{2}=-i\ \sigma _{2}}$ ${\displaystyle u_{3}=+i\ \sigma _{3}~.}$

El álgebra de Lie sirve para resolver las representaciones de SU(2) .

SU(3)

El grupo SU(3) es un grupo de Lie simple de 8 dimensiones que consta de matrices unitarias de 3 × 3 con determinante 1.

Topología

El grupo SU(3) es un grupo de Lie compacto y simplemente conexo. ^[8] Su estructura topológica se puede entender observando que SU(3) actúa transitivamente sobre la esfera unitaria en . El estabilizador de un punto arbitrario en la esfera es isomorfo a SU(2) , que topológicamente es una 3 esferas. Luego se deduce que SU(3) es un haz de fibras sobre la base S ⁵ con fibra S ³ . Dado que las fibras y la base están simplemente conectadas, la conexión simple de SU(3) se sigue mediante un resultado topológico estándar (la secuencia larga y exacta de grupos de homotopía para haces de fibras). ^[9] ${\displaystyle S^{5}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}\cong \mathbb {R} ^{6}}$

Los paquetes SU(2) sobre S ⁵ se clasifican por , ya que cualquier paquete de este tipo puede construirse observando paquetes triviales en los dos hemisferios y observando la función de transición en su intersección, que es homotópicamente equivalente a S ⁴ , por lo que ${\displaystyle \pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}=\mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{\text{N}}^{5},S_{\text{S}}^{5}}$

${\displaystyle S_{\text{N}}^{5}\cap S_{\text{S}}^{5}\simeq S^{4}}$

Entonces, todas esas funciones de transición se clasifican mediante clases de mapas de homotopía.

${\displaystyle \left[S^{4},\mathrm {SU} (2)\right]\cong \left[S^{4},S^{3}\right]=\pi _{4}{\mathord {\left(S^{3}\right)}}\cong \mathbb {Z} /2}$

y como en lugar de , SU(3) no puede ser el paquete trivial SU(2) × S ⁵ ≅ S ³ × S ⁵ y, por lo tanto, debe ser el único paquete no trivial (retorcido). Esto se puede demostrar observando la secuencia exacta larga inducida en grupos de homotopía. ${\displaystyle \pi _{4}(\mathrm {SU} (3))=\{0\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$

Teoría de la representación

La teoría de la representación de SU(3) se comprende bien. ^[10] Las descripciones de estas representaciones, desde el punto de vista de su compleja álgebra de Lie , se pueden encontrar en los artículos sobre representaciones del álgebra de Lie o los coeficientes de Clebsch-Gordan para SU(3) . ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(3;\mathbb {C} )}$

álgebra de mentiras

Los generadores, T , del álgebra de Lie de SU(3) en la representación definitoria (física de partículas, hermitiana), son ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(3)}$

${\displaystyle T_{a}={\frac {\lambda _{a}}{2}}~,}$

donde λ _a , las matrices de Gell-Mann , son el análogo SU(3) de las matrices de Pauli para SU(2) :

${\displaystyle {\begin{aligned}\lambda _{1}={}&{\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{2}={}&{\begin{pmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{3}={}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{4}={}&{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{pmatrix}},&\lambda _{5}={}&{\begin{pmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{pmatrix}},\\[6pt]\lambda _{6}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix}},&\lambda _{7}={}&{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{pmatrix}},&\lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}&{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}.\end{aligned}}}$

Estos λ _a abarcan todas las matrices hermitianas H sin rastro del álgebra de Lie , según sea necesario. Tenga en cuenta que λ ₂ , λ ₅ , λ ₇ son antisimétricos.

Obedecen las relaciones

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[T_{a},T_{b}\right]&=i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}T_{c},\\\left\{T_{a},T_{b}\right\}&={\frac {1}{3}}\delta _{ab}I_{3}+\sum _{c=1}^{8}d_{abc}T_{c},\end{aligned}}}$

o equivalente,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[\lambda _{a},\lambda _{b}\right]&=2i\sum _{c=1}^{8}f_{abc}\lambda _{c},\\\{\lambda _{a},\lambda _{b}\}&={\frac {4}{3}}\delta _{ab}I_{3}+2\sum _{c=1}^{8}{d_{abc}\lambda _{c}}.\end{aligned}}}$

Las f son las constantes de estructura del álgebra de Lie, dadas por

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{123}&=1,\\f_{147}=-f_{156}=f_{246}=f_{257}=f_{345}=-f_{367}&={\frac {1}{2}},\\f_{458}=f_{678}&={\frac {\sqrt {3}}{2}},\end{aligned}}}$

mientras que todos los demás f _abc no relacionados con estos por permutación son cero. En general, desaparecen a menos que contengan un número impar de índices del conjunto {2, 5, 7} . ^[C]

Los coeficientes simétricos d toman los valores

${\displaystyle {\begin{aligned}d_{118}=d_{228}=d_{338}=-d_{888}&={\frac {1}{\sqrt {3}}}\\d_{448}=d_{558}=d_{668}=d_{778}&=-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}\\d_{344}=d_{355}=-d_{366}=-d_{377}=-d_{247}=d_{146}=d_{157}=d_{256}&={\frac {1}{2}}~.\end{aligned}}}$

Desaparecen si el número de índices del conjunto {2, 5, 7} es impar.

Un elemento genérico del grupo SU(3) generado por una matriz hermitiana de 3×3 sin rastro H , normalizada como tr( H ² ) = 2 , se puede expresar como un polinomio matricial de segundo orden en H : ^[11]

${\displaystyle {\begin{aligned}\exp(i\theta H)={}&\left[-{\frac {1}{3}}I\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin(\varphi )-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin(\varphi )\right)}{\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\\[6pt]&{}+\left[-{\frac {1}{3}}~I\sin(\varphi )\sin \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}~H\sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)-{\frac {1}{4}}~H^{2}\right]{\frac {\exp \left({\frac {2}{\sqrt {3}}}~i\theta \sin \left(\varphi -{\frac {2\pi }{3}}\right)\right)}{\cos(\varphi )\cos \left(\varphi +{\frac {2\pi }{3}}\right)}}\end{aligned}}}$

dónde

${\displaystyle \varphi \equiv {\frac {1}{3}}\left[\arccos \left({\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\det H\right)-{\frac {\pi }{2}}\right].}$

Estructura del álgebra de mentiras

Como se señaló anteriormente, el álgebra de Lie de SU ( n ) consta de n × n matrices sesgadas-hermitianas con traza cero. ^[12] ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$

La complejización del álgebra de Lie es el espacio de todas las matrices complejas n × n con traza cero. ^[13] Una subálgebra de Cartan consta entonces de matrices diagonales con traza cero, ^[14] que identificamos con vectores cuyas entradas suman cero. Las raíces entonces constan de todas las n ( n − 1 ) permutaciones de (1, −1, 0, ..., 0) . ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Una elección de raíces simples es

${\displaystyle {\begin{aligned}(&1,-1,0,\dots ,0,0),\\(&0,1,-1,\dots ,0,0),\\&\vdots \\(&0,0,0,\dots ,1,-1).\end{aligned}}}$

Entonces, SU( n ) es de rango n − 1 y su diagrama de Dynkin viene dado por An ₋₁ , una cadena de _n − 1 nodos:.... ^[15] Su matriz de Cartan es

${\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1&0&\dots &0\\-1&2&-1&\dots &0\\0&-1&2&\dots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\dots &2\end{pmatrix}}.}$

Su grupo Weyl o grupo Coxeter es el grupo simétrico S _n , el grupo de simetría del ( n − 1 ) - simplex .

Grupo unitario especial generalizado

Para un campo F , el grupo unitario especial generalizado sobre F , SU( p , q ; F ) , es el grupo de todas las transformaciones lineales del determinante 1 de un espacio vectorial de rango n = p + q sobre F que dejan invariante un no degenerado. , forma hermitiana de firma ( p , q ) . Este grupo a menudo se denomina grupo unitario especial de firma p q sobre F . El campo F se puede sustituir por un anillo conmutativo , en cuyo caso el espacio vectorial se sustituye por un módulo libre .

Específicamente, arregle una matriz hermitiana A de firma p q en , entonces todos ${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )}$

${\displaystyle M\in \operatorname {SU} (p,q,\mathbb {R} )}$

satisfacer

${\displaystyle {\begin{aligned}M^{*}AM&=A\\\det M&=1.\end{aligned}}}$

A menudo se verá la notación SU( p , q ) sin referencia a un anillo o campo; en este caso, el anillo o campo al que se hace referencia es y esto da uno de los grupos de Lie clásicos . La elección estándar para A cuando es ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {F} =\mathbb {C} }$

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}0&0&i\\0&I_{n-2}&0\\-i&0&0\end{bmatrix}}.}$

Sin embargo, puede haber mejores opciones para A para ciertas dimensiones que exhiben más comportamiento bajo restricción a subanillos de . ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ejemplo

Un ejemplo importante de este tipo de grupo es el grupo modular de Picard que actúa (proyectivamente) sobre un espacio hiperbólico complejo de grado dos, de la misma manera que actúa (proyectivamente) sobre un espacio hiperbólico real de dimensión dos. En 2005, Gábor Francsics y Peter Lax calcularon un dominio fundamental explícito para la acción de este grupo sobre HC ² . ^[dieciséis] ${\displaystyle \operatorname {SU} (2,1;\mathbb {Z} [i])}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,9;\mathbb {Z} )}$

Otro ejemplo es , que es isomorfo a . ${\displaystyle \operatorname {SU} (1,1;\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \operatorname {SL} (2,\mathbb {R} )}$

Subgrupos importantes

En física, el grupo unitario especial se utiliza para representar simetrías bosónicas . En las teorías de ruptura de simetría es importante poder encontrar los subgrupos del grupo unitario especial. Los subgrupos de SU( n ) que son importantes en la física GUT son, para p > 1, n − p > 1 ,

${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\supset \operatorname {SU} (p)\times \operatorname {SU} (n-p)\times \operatorname {U} (1),}$

donde × denota el producto directo y U(1) , conocido como grupo circular , es el grupo multiplicativo de todos los números complejos con valor absoluto  1.

Para completar, también están los subgrupos ortogonales y simplécticos ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SU} (n)&\supset \operatorname {SO} (n),\\\operatorname {SU} (2n)&\supset \operatorname {Sp} (n).\end{aligned}}}$

Dado que el rango de SU( n ) es n − 1 y de U(1) es 1, una verificación útil es que la suma de los rangos de los subgrupos sea menor o igual al rango del grupo original. SU( n ) es un subgrupo de varios otros grupos de Lie,

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {SO} (2n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Sp} (n)&\supset \operatorname {SU} (n)\\\operatorname {Spin} (4)&=\operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)\\\operatorname {E} _{6}&\supset \operatorname {SU} (6)\\\operatorname {E} _{7}&\supset \operatorname {SU} (8)\\\operatorname {G} _{2}&\supset \operatorname {SU} (3)\end{aligned}}}$

Consulte el grupo Spin y el grupo Simple Lie para E ₆ , E ₇ y G ₂ .

También existen los isomorfismos accidentales : SU(4) = Spin(6) , SU(2) = Spin(3) = Sp(1) , ^[d] y U(1) = Spin(2) = SO(2) .

Finalmente, se puede mencionar que SU(2) es el grupo de doble cobertura de SO(3) , una relación que juega un papel importante en la teoría de las rotaciones de 2- espinores en la mecánica cuántica no relativista .

SU(1, 1)

${\displaystyle \mathrm {SU} (1,1)=\left\{{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}\in M(2,\mathbb {C} ):uu^{*}-vv^{*}=1\right\},}$donde denota el conjugado complejo del número complejo u . ${\displaystyle ~u^{*}~}$

Este grupo es isomorfo a SL(2,ℝ) y Spin(2,1) ^[17] donde los números separados por una coma se refieren a la firma de la forma cuadrática conservada por el grupo. La expresión en la definición de SU(1,1) es una forma hermitiana que se convierte en una forma cuadrática isotrópica cuando u y v se expanden con sus componentes reales. ${\displaystyle ~uu^{*}-vv^{*}~}$

Una aparición temprana de este grupo fue como la "esfera unitaria" de cocuaterniones , introducida por James Cockle en 1852. Dejemos que

${\displaystyle j={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\,,\quad k={\begin{bmatrix}1&\;~0\\0&-1\end{bmatrix}}\,,\quad i={\begin{bmatrix}\;~0&1\\-1&0\end{bmatrix}}~.}$

Luego, la matriz identidad de 2 × 2 y los elementos i, j y k son todos anticonmutados , como en los cuaterniones . También sigue siendo una raíz cuadrada de − I ₂ (negativa de la matriz identidad), mientras que no lo son, a diferencia de los cuaterniones. Tanto para los cuaterniones como para los cocuaterniones , todas las cantidades escalares se tratan como múltiplos implícitos de I ₂ y se anotan como 1 . ${\displaystyle ~j\,k={\begin{bmatrix}0&-1\\1&\;~0\end{bmatrix}}=-i~,~}$ ${\displaystyle ~i\,j\,k=I_{2}\equiv {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}~,~}$ ${\displaystyle ~k\,i=j~,}$ ${\displaystyle \;i\,j=k\;,}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ~j^{2}=k^{2}=+I_{2}~}$

El cocuaternión con escalar w , tiene conjugado similar a los cuaterniones de Hamilton. La forma cuadrática es ${\displaystyle ~q=w+x\,i+y\,j+z\,k~}$ ${\displaystyle ~q=w-x\,i-y\,j-z\,k~}$ ${\displaystyle ~q\,q^{*}=w^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2}.}$

Tenga en cuenta que el hiperboloide de 2 hojas corresponde a las unidades imaginarias en el álgebra, de modo que cualquier punto p en este hiperboloide puede usarse como polo de una onda sinusoidal según la fórmula de Euler . ${\displaystyle \left\{xi+yj+zk:x^{2}-y^{2}-z^{2}=1\right\}}$

El hiperboloide es estable bajo SU(1, 1) , lo que ilustra el isomorfismo con Spin(2, 1) . La variabilidad del polo de una onda, como se observa en los estudios de polarización , podría considerar la polarización elíptica como una exhibición de la forma elíptica de una onda con polo . ${\displaystyle ~p\neq \pm i~}$El modelo de esfera de Poincaré utilizado desde 1892 se ha comparado con un modelo hiperboloide de dos hojas ^[18] y se ha introducido la práctica de la interferometría SU(1, 1) .

Cuando un elemento de SU(1, 1) se interpreta como una transformación de Möbius , deja estable la unidad de disco , por lo que este grupo representa los movimientos del modelo de disco de Poincaré de geometría plana hiperbólica. De hecho, para un punto [ z, 1 ] en la recta proyectiva compleja , la acción de SU(1,1) viene dada por

${\displaystyle {\bigl [}\;z,\;1\;{\bigr ]}\,{\begin{pmatrix}u&v\\v^{*}&u^{*}\end{pmatrix}}=[\;u\,z+v^{*},\,v\,z+u^{*}\;]\,=\,\left[\;{\frac {uz+v^{*}}{vz+u^{*}}},\,1\;\right]}$

ya que en coordenadas proyectivas ${\displaystyle (\;u\,z+v^{*},\;v\,z+u^{*}\;)\thicksim \left(\;{\frac {\,u\,z+v^{*}\,}{v\,z+u^{*}}},\;1\;\right)~.}$

Escribir programas aritméticos de números complejos ${\displaystyle \;suv+{\overline {suv}}=2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,suv\,{\bigr )}\;,}$

${\displaystyle {\bigl |}u\,z+v^{*}{\bigr |}^{2}=S+z\,z^{*}\quad {\text{ and }}\quad {\bigl |}v\,z+u^{*}{\bigr |}^{2}=S+1~,}$

donde Por lo tanto, para que su relación esté en el disco abierto. ^[19] ${\displaystyle S=v\,v^{*}\left(z\,z^{*}+1\right)+2\,\Re {\mathord {\bigl (}}\,uvz\,{\bigr )}.}$ ${\displaystyle z\,z^{*}<1\implies {\bigl |}uz+v^{*}{\bigr |}<{\bigl |}\,v\,z+u^{*}\,{\bigr |}}$

Ver también

• Portal de matemáticas

• grupo unitario
• Grupo unitario especial proyectivo , PSU( n )
• grupo ortogonal
• Generalizaciones de matrices de Pauli
• Teoría de la representación de SU(2)

Notas a pie de página

1. Para obtener una caracterización de U ( n ) y, por tanto, SU( n ) en términos de preservación del producto interno estándar en , consulte el grupo Clásico . ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$
2. Para obtener una descripción explícita del homomorfismo SU(2) → SO(3) , consulte Conexión entre SO(3) y SU(2) .
3. Entonces, menos de 1 ⁄ 6 de todos los f _abc s no desaparecen.
4. Sp( n ) es la forma real compacta de . A veces se denota como USp( 2n ) . La dimensión de las matrices Sp( n ) es 2 n × 2 n . ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {C} )}$

Citas

1. Halzen, Francisco ; Martín, Alan (1984). Quarks y leptones: un curso de introducción a la física de partículas moderna . John Wiley e hijos. ISBN 0-471-88741-2.
2. Salón 2015, Proposición 13.11
3. Wybourne, BG (1974). Grupos Clásicos para Físicos . Wiley-Interscience. ISBN 0471965057.
4. Propuesta 3.24 del Salón 2015
5. Salón 2015 Ejercicio 1.5
6. Salvaje, Alistair. "Grupos de mentiras" (PDF) . Notas de MATEMÁTICAS 4144.
7. Propuesta 3.24 del Salón 2015
8. Propuesta 13.11 del Salón 2015
9. Salón 2015 Sección 13.2
10. Salón 2015 Capítulo 6
11. Rosen, SP (1971). "Transformaciones finitas en varias representaciones de SU (3)". Revista de Física Matemática . 12 (4): 673–681. Código bibliográfico : 1971JMP....12..673R. doi :10.1063/1.1665634.; Curtright, TL; Zachos, CK (2015). "Resultados elementales para la representación fundamental de SU (3)". Informes de Física Matemática . 76 (3): 401–404. arXiv : 1508.00868 . Código Bib : 2015RpMP...76..401C. doi :10.1016/S0034-4877(15)30040-9. S2CID  119679825.
12. Propuesta 3.24 del Salón 2015
13. Salón 2015 Sección 3.6
14. Salón 2015 Sección 7.7.1
15. Salón 2015 Sección 8.10.1
16. Francsics, Gabor; Lax, Peter D. (septiembre de 2005). "Un dominio fundamental explícito para el grupo modular Picard en dos dimensiones complejas". arXiv : matemáticas/0509708 .
17. Gilmore, Robert (1974). Grupos de Lie, Álgebras de Lie y algunas de sus Aplicaciones . John Wiley e hijos . págs.52, 201-205. SEÑOR  1275599.
18. Mota, RD; Ojeda-Guillén, D.; Salazar-Ramírez, M.; Granados, VD (2016). "Enfoque SU (1,1) de los parámetros de Stokes y la teoría de la polarización de la luz". Revista de la Sociedad Óptica de América B. 33 (8): 1696-1701. arXiv : 1602.03223 . Código Bib : 2016JOSAB..33.1696M. doi :10.1364/JOSAB.33.001696. S2CID  119146980.
19. Siegel, CL (1971). Temas de la teoría de funciones complejas . vol. 2. Traducido por Shenitzer, A.; Tretkoff, M. Wiley-Interscience. págs. 13-15. ISBN 0-471-79080X.

Referencias

• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Iachello, Francesco (2006), Álgebras y aplicaciones de Lie , Lecture Notes in Physics, vol. 708, Springer, ISBN 3540362363