Grupo de homotopía

Construcción algebraica que clasifica espacios topológicos.

En matemáticas , los grupos de homotopía se utilizan en topología algebraica para clasificar espacios topológicos . El primer y más simple grupo de homotopía es el grupo fundamental , que registra información sobre bucles en un espacio . Intuitivamente, los grupos de homotopía registran información sobre la forma básica, o agujeros , de un espacio topológico. ${\displaystyle \pi _{1}(X),}$

Para definir el n -ésimo grupo de homotopía, los mapas que preservan el punto base desde una esfera de n dimensiones (con punto base ) a un espacio dado (con punto base) se recopilan en clases de equivalencia , llamadas clases de homotopía . Dos mapeos son homotópicos si uno puede deformarse continuamente en el otro. Estas clases de homotopía forman un grupo , llamado n -ésimo grupo de homotopía , del espacio X dado con punto base. Los espacios topológicos con diferentes grupos de homotopía nunca son homeomórficos , pero los espacios topológicos que no son homeomórficos pueden tener los mismos grupos de homotopía. ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$

La noción de homotopía de caminos fue introducida por Camille Jordan . ^[1]

Introducción

En matemáticas modernas es común estudiar una categoría asociando a cada objeto de esta categoría un objeto más simple que aún conserva suficiente información sobre el objeto de interés. Los grupos de homotopía son una forma de asociar grupos a espacios topológicos.

un toro

Una esfera

Ese vínculo entre topología y grupos permite a los matemáticos aplicar conocimientos de la teoría de grupos a la topología . Por ejemplo, si dos objetos topológicos tienen diferentes grupos de homotopía, no pueden tener la misma estructura topológica, un hecho que puede ser difícil de probar utilizando únicamente medios topológicos. Por ejemplo, el toroide es diferente de la esfera : el toroide tiene un "agujero"; la esfera no. Sin embargo, dado que la continuidad (la noción básica de topología) sólo se ocupa de la estructura local, puede resultar difícil definir formalmente la diferencia global obvia. Los grupos de homotopía, sin embargo, contienen información sobre la estructura global.

En cuanto al ejemplo: el primer grupo de homotopía del toro es ${\displaystyle T}$

$${\displaystyle \pi _{1}(T)=\mathbb {Z} ^{2},}$$

cubierta universal ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T\cong \mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2}.}$ ${\displaystyle S^{2}}$

$${\displaystyle \pi _{1}\left(S^{2}\right)=0,}$$

grupos de esferas de homotopíahomeomorfo

Definición

En la n -esfera elegimos un punto base a . Para un espacio X con punto base b , lo definimos como el conjunto de clases de homotopía de mapas ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$

$${\displaystyle f:S^{n}\to X\mid f(a)=b}$$

abn -cuboXlímitenb ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle g:[0,1]^{n}\to X}$

Composición en el grupo fundamental

Para las clases de homotopía se forma un grupo . Para definir la operación del grupo, recuerde que en el grupo fundamental , el producto de dos bucles se define configurando ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle f\ast g}$ ${\displaystyle f,g:[0,1]\to X}$

$${\displaystyle f*g={\begin{cases}f(2t)&t\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t-1)&t\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

La idea de composición en el grupo fundamental es la de recorrer el primer camino y el segundo sucesivamente, o, equivalentemente, unir sus dos dominios. El concepto de composición que queremos para el n -ésimo grupo de homotopía es el mismo, excepto que ahora los dominios que unimos son cubos y debemos pegarlos a lo largo de una cara. Por lo tanto definimos la suma de mapas mediante la fórmula ${\displaystyle f,g:[0,1]^{n}\to X}$

$${\displaystyle (f+g)(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})={\begin{cases}f(2t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[0,{\tfrac {1}{2}}\right]\\g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots ,t_{n})&t_{1}\in \left[{\tfrac {1}{2}},1\right]\end{cases}}}$$

Para la definición correspondiente en términos de esferas, defina la suma de mapas que se componerán con h , donde es el mapa desde la suma de cuña de dos n -esferas que colapsa el ecuador y h es el mapa de la suma de cuña de dos n -esferas a X que se define como f en la primera esfera y g en la segunda. ${\displaystyle f+g}$ ${\displaystyle f,g:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle \Psi }$ ${\displaystyle S^{n}}$

Si entonces es abeliano . ^[2] Además, de manera similar al grupo fundamental, para un espacio conectado por caminos, dos opciones cualesquiera de punto base dan lugar a ^[3] isomorfos . ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}}$ ${\displaystyle \pi _{n}.}$

Es tentador intentar simplificar la definición de grupos de homotopía omitiendo los puntos base, pero esto no suele funcionar para espacios que no están simplemente conectados , incluso para espacios conectados por caminos. El conjunto de clases de homotopía de mapas de una esfera a un espacio conectado por caminos no es el grupo de homotopía, pero es esencialmente el conjunto de órbitas del grupo fundamental en el grupo de homotopía y, en general, no tiene una estructura de grupo natural.

Se ha encontrado una salida a estas dificultades definiendo grupoides de homotopía superior de espacios filtrados y de n -cubos de espacios. Estos están relacionados con grupos de homotopía relativa y con grupos de homotopía n -ádica respectivamente. Un teorema de van Kampen de homotopía superior permite derivar información nueva sobre grupos de homotopía e incluso sobre tipos de homotopía. Para obtener más antecedentes y referencias, consulte "Teoría de grupos de dimensiones superiores" y las referencias a continuación.

Grupos de homotopía y agujeros.

Un espacio topológico tiene un agujero con un límite d -dimensional si y sólo si contiene una esfera d -dimensional que no se puede reducir continuamente a un solo punto. Esto es válido si, y solo, si hay un mapeo que no es homotópico de una función constante . Esto es válido si y sólo si el d -ésimo grupo de homotopía de X no es trivial. En resumen, X tiene un agujero con un límite d -dimensional, si-y-sólo-si . ${\textstyle S^{d}\to X}$ ${\displaystyle \pi _{d}(X)\not \cong 0}$

Secuencia larga y exacta de una fibración.

Sea una fibración de Serre con fibra que preserva el punto de base , es decir, un mapa que posee la propiedad de elevación de homotopía con respecto a los complejos CW . Supongamos que B está conexo por caminos. Entonces hay una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía. ${\displaystyle p:E\to B}$ ${\displaystyle F,}$

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(F)\to \pi _{n}(E)\to \pi _{n}(B)\to \pi _{n-1}(F)\to \cdots \to \pi _{0}(E)\to 0.}$$

Aquí los mapas que involucran no son homomorfismos de grupo porque no son grupos, pero son exactos en el sentido de que la imagen es igual al núcleo . ${\displaystyle \pi _{0}}$ ${\displaystyle \pi _{0}}$

Ejemplo: la fibración de Hopf . Sean B iguales y E iguales. Sea p la fibración de Hopf , que tiene fibra de la secuencia larga y exacta. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{3}.}$ ${\displaystyle S^{1}.}$

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(S^{1})\to \pi _{n}(S^{3})\to \pi _{n}(S^{2})\to \pi _{n-1}(S^{1})\to \cdots }$$

y el hecho de que para encontramos que para En particular, ${\displaystyle \pi _{n}(S^{1})=0}$ ${\displaystyle n\geq 2,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(S^{3})=\pi _{n}(S^{2})}$ ${\displaystyle n\geq 3.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(S^{2})=\pi _{3}(S^{3})=\mathbb {Z} .}$

En el caso de un espacio de cobertura, cuando la fibra es discreta, tenemos que es isomorfa a para que se incrusta inyectivamente en para todo positivo y que el subgrupo de eso corresponde a la incrustación de tiene clases laterales en biyección con los elementos de la fibra. ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n>1,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(E)}$ ${\displaystyle \pi _{n}(B)}$ ${\displaystyle n,}$ ${\displaystyle \pi _{1}(B)}$ ${\displaystyle \pi _{1}(E)}$

Cuando la fibración es la fibra cartográfica , o dualmente, la cofibración es el cono cartográfico , entonces la secuencia exacta (o dualmente coexacta) resultante viene dada por la secuencia de Puppe .

Espacios y esferas homogéneos.

Hay muchas realizaciones de esferas como espacios homogéneos , que proporcionan buenas herramientas para calcular grupos de homotopía de grupos de Lie y la clasificación de paquetes principales en espacios hechos de esferas.

Grupo ortogonal especial

Hay una fibración ^[4]

$${\displaystyle SO(n-1)\to SO(n)\to SO(n)/SO(n-1)\cong S^{n-1}}$$

dando la secuencia larga exacta

$${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(SO(n-1))\to \pi _{i}(SO(n))\to \pi _{i}\left(S^{n-1}\right)\to \pi _{i-1}(SO(n-1))\to \cdots }$$

que calcula los grupos de homotopía de bajo orden de for since is -connected. En particular, hay una fibración. ${\displaystyle \pi _{i}(SO(n-1))\cong \pi _{i}(SO(n))}$ ${\displaystyle i<n-1,}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle (n-2)}$

$${\displaystyle SO(3)\to SO(4)\to S^{3}}$$

cuyos grupos de homotopía más bajos se pueden calcular explícitamente. Desde y existe la fibración. ${\displaystyle SO(3)\cong \mathbb {RP} ^{3},}$

$${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to S^{n}\to \mathbb {RP} ^{n}}$$

tenemos para Usando esto, y el hecho de que se puede calcular usando el sistema Postnikov , tenemos la secuencia larga exacta ${\displaystyle \pi _{i}(SO(3))\cong \pi _{i}(S^{3})}$ ${\displaystyle i>1.}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2,}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cdots \to {}&\pi _{4}(SO(3))\to \pi _{4}(SO(4))\to \pi _{4}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{3}(SO(3))\to \pi _{3}(SO(4))\to \pi _{3}(S^{3})\to \\\to {}&\pi _{2}(SO(3))\to \pi _{2}(SO(4))\to \pi _{2}(S^{3})\to \cdots \\\end{aligned}}}$$

Como tenemos Además, la fila del medio da porque el mapa de conexión es trivial. Además, podemos saber que tiene dos torsiones. ${\displaystyle \pi _{2}\left(S^{3}\right)=0}$ ${\displaystyle \pi _{2}(SO(4))=0.}$ ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))\cong \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} =\pi _{3}\left(\mathbb {RP} ^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{4}(SO(4))}$

Aplicación a haces de esferas.

Milnor ^[5] utilizó este hecho para clasificar paquetes de 3 esferas, en particular, pudo encontrar esferas exóticas que son variedades suaves llamadas esferas de Milnor, solo desde homeomorfas hasta no difeomorfas . Tenga en cuenta que cualquier paquete de esferas se puede construir a partir de un paquete de vectores , que tiene estructura de grupo, ya que puede tener la estructura de una variedad de Riemann orientada . ${\displaystyle \pi _{3}(SO(4))=\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{4},}$ ${\displaystyle S^{7},}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle SO(4)}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Espacio proyectivo complejo

Hay una fibración

$${\displaystyle S^{1}\to S^{2n+1}\to \mathbb {CP} ^{n}}$$

¿Dónde está la esfera unitaria en Esta secuencia se puede utilizar para mostrar la conexión simple de para todos? ${\displaystyle S^{2n+1}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}.}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle n.}$

Métodos de cálculo

El cálculo de grupos de homotopía es, en general, mucho más difícil que algunos de los otros invariantes de homotopía aprendidos en topología algebraica. A diferencia del teorema de Seifert-van Kampen para el grupo fundamental y el teorema de escisión para la homología y cohomología singulares , no existe una forma conocida sencilla de calcular los grupos de homotopía de un espacio dividiéndolo en espacios más pequeños. Sin embargo, los métodos desarrollados en la década de 1980 que involucran un teorema de tipo van Kampen para grupoides de mayor homotopía han permitido nuevos cálculos sobre tipos de homotopía y así sobre grupos de homotopía. Consulte un resultado de muestra en el artículo de 2010 de Ellis y Mikhailov. ^[6]

Para algunos espacios, como tori , todos los grupos de homotopía superior (es decir, los grupos de homotopía segundo y superior) son triviales . Estos son los llamados espacios asféricos . Sin embargo, a pesar de la intensa investigación sobre el cálculo de los grupos homotópicos de esferas, ni siquiera en dos dimensiones se conoce una lista completa. Para calcular incluso el cuarto grupo de homotopía de uno se necesitan técnicas mucho más avanzadas de lo que podrían sugerir las definiciones. En particular, la secuencia espectral de Serre se construyó precisamente con este propósito. ${\displaystyle S^{2}}$

Ciertos grupos de homotopía de espacios n -conexos se pueden calcular en comparación con grupos de homología mediante el teorema de Hurewicz .

Una lista de métodos para calcular grupos de homotopía.

• La secuencia larga y exacta de grupos de homotopía de una fibración.
• Teorema de Hurewicz , que tiene varias versiones.
• Teorema de Blakers-Massey , también conocido como escisión por grupos de homotopía.
• Teorema de suspensión de Freudenthal , corolario de la escisión de grupos de homotopía.

Grupos de homotopía relativa

También existe una generalización útil de los grupos de homotopía, llamados grupos de homotopía relativa para un par donde A es un subespacio de ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X,A)}$ ${\displaystyle (X,A),}$ ${\displaystyle X.}$

La construcción está motivada por la observación de que para una inclusión existe un mapa inducido en cada grupo de homotopía que en general no es una inyección. De hecho, los elementos del núcleo se conocen considerando un representante y tomando una homotopía basada en el mapa constante o, en otras palabras, mientras que la restricción a cualquier otro componente límite de es trivial. Por tanto, tenemos la siguiente construcción: ${\displaystyle i:(A,x_{0})\hookrightarrow (X,x_{0}),}$ ${\displaystyle i_{*}:\pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle f:I^{n}\to X}$ ${\displaystyle F:I^{n}\times I\to X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle H_{I^{n}\times 1}=f,}$ ${\displaystyle I^{n+1}}$

Los elementos de dicho grupo son clases de homotopía de mapas basados ​​que llevan el límite a A. Dos aplicaciones se llaman homotópicas en relación con A si son homotópicas mediante una homotopía que preserva el punto base tal que, para cada p en y t en el elemento está en A. Tenga en cuenta que los grupos de homotopía ordinarios se recuperan para el caso especial en el que el singleton contiene el punto base. ${\displaystyle D^{n}\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle f,g}$ ${\displaystyle F:D_{n}\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle F(p,t)}$ ${\displaystyle A=\{x_{0}\}}$

Estos grupos son abelianos pero forman el grupo superior de un módulo cruzado con el grupo inferior. ${\displaystyle n\geq 3(E)}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \pi _{1}(A).}$

También hay una secuencia larga y exacta de grupos de homotopía relativa que se puede obtener mediante la secuencia de Puppe :

${\displaystyle \cdots \to \pi _{n}(A)\to \pi _{n}(X)\to \pi _{n}(X,A)\to \pi _{n-1}(A)\to \cdots }$

Nociones relacionadas

Los grupos de homotopía son fundamentales para la teoría de la homotopía , que a su vez estimuló el desarrollo de categorías modelo . Es posible definir grupos de homotopía abstracta para conjuntos simpliciales .

Los grupos de homología son similares a los grupos de homotopía en que pueden representar "huecos" en un espacio topológico. Sin embargo, los grupos de homotopía suelen ser muy complejos y difíciles de calcular. Por el contrario, los grupos de homología son conmutativos (al igual que los grupos de homotopía superior). De ahí que a veces se diga que "la homología es una alternativa conmutativa a la homotopía". ^[7] Dado un espacio topológico, su n -ésimo grupo de homotopía generalmente se denota por y su n -ésimo grupo de homología generalmente se denota por ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X),}$ ${\displaystyle H_{n}(X).}$

Ver también

• Fibración
• Fibración de Hopf
• invariante de hopf
• teoría de nudos
• clase de homotopía
• Grupos de homotopía de esferas.
• Invariante topológico
• Grupo de homotopía con coeficientes.
• conjunto puntiagudo

Notas

1. Marie Ennemond Camille Jordania
2. Como prueba de esto, tenga en cuenta que en dos dimensiones o más, dos homotopías se pueden "girar" entre sí. Véase el argumento de Eckmann-Hilton .
3. consulte la sección 4.1 de Allen Hatcher#Libros .
4. Husemoller, Dale (1994). Paquetes de fibra . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 20. Saltador. pag. 89.doi : 10.1007 /978-1-4757-2261-1 .
5. Milnor, Juan (1956). "Sobre variedades homeomorfas a las 7 esferas". Anales de Matemáticas . 64 : 399–405.
6. Ellis, Graham J.; Mikhailov, romano (2010). "Un colímite de clasificación de espacios". Avances en Matemáticas . 223 (6): 2097–2113. arXiv : 0804.3581 . doi : 10.1016/j.aim.2009.11.003 . SEÑOR  2601009.
7. Wildberger, Nueva Jersey (2012). "Una introducción a la homología". Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021.

Referencias

• Ronald Brown , "Grupoides y objetos cruzados en topología algebraica", Homología, homotopía y aplicaciones , 1 (1999) 1–78.
• Ronald Brown , Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica, EMS Tracts in Mathematics vol. 15, 703 páginas, Matemáticas europeas. Sociedad, Zúrich, 2011. doi :10.4171/083 SEÑOR 2841564
• Čech, Eduard (1932), "Höherdimensionale Homotopiegruppen", Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Zúrich.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1
• "Grupo de homotopía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Hopf, Heinz (1931), "Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche", Mathematische Annalen , 104 (1): 637–665, doi :10.1007/BF01457962.
• Kamps, Klaus H.; Porter, Timoteo (1997). Homotopía abstracta y teoría de la homotopía simple . River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing. doi :10.1142/9789812831989. ISBN 981-02-1602-5. SEÑOR  1464944.
• Toda, Hiroshi (1962). Métodos de composición en grupos de esferas de homotopía . Anales de estudios de matemáticas. vol. 49. Princeton, Nueva Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-09586-8. SEÑOR  0143217.
• Whitehead, George William (1978). Elementos de la teoría de la homotopía. Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 61 (3ª ed.). Nueva York-Berlín: Springer-Verlag. págs. xxi+744. ISBN 978-0-387-90336-1. SEÑOR  0516508.