Sistema Postnikov

En matemáticas, una construcción topológica

En la teoría de la homotopía , una rama de la topología algebraica , un sistema de Postnikov (o torre de Postnikov ) es una forma de descomponer un espacio topológico filtrando su tipo de homotopía . Esto se ve así: para un espacio hay una lista de espacios donde ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{X_{n}\}_{n\geq 0}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&{\text{ for }}k\leq n\\0&{\text{ for }}k>n\end{cases}}}$

y hay una serie de mapas que son fibraciones con fibras, espacios de Eilenberg-MacLane . En resumen, estamos descomponiendo el tipo de homotopía de utilizando un sistema inverso de espacios topológicos cuyo tipo de homotopía en grado concuerda con el tipo de homotopía truncada del espacio original . Los sistemas de Postnikov fueron introducidos por Mikhail Postnikov y llevan su nombre . ${\displaystyle \phi _{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$

Existe una construcción similar llamada torre Whitehead (definida a continuación) donde, en lugar de tener espacios con el tipo de homotopía de para grados , estos espacios tienen grupos de homotopía nulos para para . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq n}$ ${\displaystyle \pi _{k}(X_{n})=0}$ ${\displaystyle 1<k<n}$

Definición

Un sistema Postnikov de un espacio conexo por trayectorias es un sistema inverso de espacios ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{n}\xrightarrow {p_{n}} X_{n-1}\xrightarrow {p_{n-1}} \cdots \xrightarrow {p_{3}} X_{2}\xrightarrow {p_{2}} X_{1}\xrightarrow {p_{1}} *}$

con una secuencia de mapas compatibles con el sistema inverso tal que ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$

1. El mapa induce un isomorfismo para cada . ${\displaystyle \phi _{n}:X\to X_{n}}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X)\to \pi _{i}(X_{n})}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$para . ^{[1] : 410} ${\displaystyle i>n}$
3. Cada mapa es una fibración , y por lo tanto la fibra es un espacio de Eilenberg–MacLane , . ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

Las dos primeras condiciones implican que también es un espacio. En términos más generales, si es conexo, entonces es un espacio y todos los para son contráctiles . Nótese que algunos autores solo incluyen la tercera condición de manera opcional. ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{1}(X),1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle i<n}$

Existencia

Los sistemas de Postnikov existen en complejos CW conexos , ^{[1] : 354} y existe una débil homotopía-equivalencia entre y su límite inverso, por lo que ${\displaystyle X}$

${\displaystyle X\simeq \varprojlim {}X_{n}}$,

mostrando que es una aproximación CW de su límite inverso. Se pueden construir en un complejo CW eliminando iterativamente los grupos de homotopía. Si tenemos un mapa que representa una clase de homotopía , podemos tomar el empuje a lo largo del mapa límite , eliminando la clase de homotopía. Para este proceso se puede repetir para todos , dando un espacio que tiene grupos de homotopía que se desvanecen . Usando el hecho de que se puede construir a partir de eliminando todos los mapas de homotopía , obtenemos un mapa . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:S^{n}\to X}$ ${\displaystyle [f]\in \pi _{n}(X)}$ ${\displaystyle S^{n}\to e_{n+1}}$ ${\displaystyle X_{m}}$ ${\displaystyle n>m}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X_{m})}$ ${\displaystyle X_{n-1}}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle S^{n}\to X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$

Propiedad principal

Una de las principales propiedades de la torre de Postnikov, que la hace tan poderosa para estudiar mientras se calcula la cohomología, es el hecho de que los espacios son homotópicos a un complejo CW que se diferencia de él solo por celdas de dimensión . ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \geq n+2}$

Clasificación homotópica de las fibraciones

La secuencia de fibraciones ^[2] tiene invariantes homotópicamente definidos, lo que significa que las clases de homotopía de los mapas , dan un tipo de homotopía bien definido . La clase de homotopía de proviene de observar la clase de homotopía del mapa de clasificación para la fibra . El mapa de clasificación asociado es ${\displaystyle p_{n}:X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle [X]\in \operatorname {Ob} (hTop)}$ ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n)}$

${\displaystyle X_{n-1}\to B(K(\pi _{n}(X),n))\simeq K(\pi _{n}(X),n+1)}$,

Por lo tanto, la clase de homotopía se clasifica por una clase de homotopía ${\displaystyle [p_{n}]}$

${\displaystyle [p_{n}]\in [X_{n-1},K(\pi _{n}(X),n+1)]\cong H^{n+1}(X_{n-1},\pi _{n}(X))}$

llamado el n -ésimo invariante de Postnikov de , ya que las clases de homotopía de los mapas de los espacios de Eilenberg-Maclane dan cohomología con coeficientes en el grupo abeliano asociado. ${\displaystyle X}$

Secuencia de fibras para espacios con dos grupos de homotopía no triviales

Uno de los casos especiales de la clasificación de homotopía es la clase de homotopía de espacios tales que existe una fibración ${\displaystyle X}$

${\displaystyle K(A,n)\to X\to \pi _{1}(X)}$

dando un tipo de homotopía con dos grupos de homotopía no triviales, y . Luego, a partir de la discusión anterior, el mapa de fibración da una clase de cohomología en ${\displaystyle \pi _{1}(X)=G}$ ${\displaystyle \pi _{n}(X)=A}$ ${\displaystyle BG\to K(A,n+1)}$

${\displaystyle H^{n+1}(BG,A)}$,

que también puede interpretarse como una clase de cohomología de grupo . Este espacio puede considerarse un sistema local superior . ${\displaystyle X}$

Ejemplos de torres Postnikov

Torre Postnikov de unK(GRAMO,norte)

Uno de los casos conceptualmente más simples de una torre de Postnikov es el del espacio de Eilenberg-Maclane . Esto da una torre con ${\displaystyle K(G,n)}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{i}\simeq *&{\text{for }}i<n\\X_{i}\simeq K(G,n)&{\text{for }}i\geq n\end{matrix}}}$

Torre Postnikov deS2

La torre de Postnikov para la esfera es un caso especial cuyos primeros términos se pueden entender explícitamente. Dado que tenemos los primeros grupos de homotopía de la simple conexidad de , la teoría de grados de las esferas y la fibración de Hopf, dando para , por lo tanto ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle \pi _{k}(S^{2})\simeq \pi _{k}(S^{3})}$ ${\displaystyle k\geq 3}$

${\displaystyle {\begin{matrix}\pi _{1}(S^{2})=&0\\\pi _{2}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{3}(S^{2})=&\mathbb {Z} \\\pi _{4}(S^{2})=&\mathbb {Z} /2.\end{matrix}}}$

Entonces, , y proviene de una secuencia de retroceso ${\displaystyle X_{2}=S_{2}^{2}=K(\mathbb {Z} ,2)}$ ${\displaystyle X_{3}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}X_{3}&\to &*\\\downarrow &&\downarrow \\X_{2}&\to &K(\mathbb {Z} ,4),\end{matrix}}}$

que es un elemento en

${\displaystyle [p_{3}]\in [K(\mathbb {Z} ,2),K(\mathbb {Z} ,4)]\cong H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })=\mathbb {Z} }$.

Si esto fuera trivial implicaría . ¡Pero este no es el caso! De hecho, esto es responsable de por qué los grupoides de infinito estricto no modelan tipos de homotopía. ^[3] Calcular este invariante requiere más trabajo, pero se puede encontrar explícitamente. ^[4] Esta es la forma cuadrática en proveniente de la fibración de Hopf . Nótese que cada elemento en da un 3-tipo de homotopía diferente. ${\displaystyle X_{3}\simeq K(\mathbb {Z} ,2)\times K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle x\mapsto x^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} \to \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S^{3}\to S^{2}}$ ${\displaystyle H^{4}(\mathbb {CP} ^{\infty })}$

Grupos de homotopía de esferas

Una aplicación de la torre de Postnikov es el cálculo de grupos de homotopía de esferas . ^[5] Para una esfera -dimensional podemos usar el teorema de Hurewicz para mostrar que cada uno es contráctil para , ya que el teorema implica que los grupos de homotopía inferiores son triviales. Recordemos que hay una secuencia espectral para cualquier fibración de Serre , como la fibración ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle S_{i}^{n}}$ ${\displaystyle i<n}$

${\displaystyle K(\pi _{n+1}(X),n+1)\simeq F_{n+1}\to S_{n+1}^{n}\to S_{n}^{n}\simeq K(\mathbb {Z} ,n)}$.

Podemos entonces formar una secuencia espectral homológica con términos - ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{q}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$.

Y el primer mapa no trivial para , ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to H_{0}\left(K(\mathbb {Z} ,n),H_{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}\left(S^{n}\right),n+1\right)\right)\right)}$,

escrito equivalentemente como

${\displaystyle d_{0,n+1}^{n+1}:H_{n+2}(K(\mathbb {Z} ,n))\to \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$.

Si es fácil calcular y , entonces podemos obtener información sobre cómo se ve este mapa. En particular, si es un isomorfismo, obtenemos un cálculo de . Para el caso , esto se puede calcular explícitamente utilizando la fibración de trayectorias para , la propiedad principal de la torre de Postnikov para (dando , y el teorema del coeficiente universal dando . Además, debido al teorema de suspensión de Freudenthal esto en realidad da el grupo de homotopía estable ya que es estable para . ${\displaystyle H_{n+1}\left(S_{n+1}^{n}\right)}$ ${\displaystyle H_{n+2}\left(S_{n+2}^{n}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{n+1}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n=3}$ ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}_{4}\simeq S^{3}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq 6\}}$ ${\displaystyle H_{4}(X_{4})=H_{5}(X_{4})=0}$ ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)=\mathbb {Z} /2}$ ${\displaystyle \pi _{1}^{\mathbb {S} }}$ ${\displaystyle \pi _{n+k}\left(S^{n}\right)}$ ${\displaystyle n\geq k+2}$

Nótese que se pueden aplicar técnicas similares utilizando la torre Whitehead (abajo) para calcular y , dando los primeros dos grupos de homotopía estable no triviales de esferas. ${\displaystyle \pi _{4}\left(S^{3}\right)}$ ${\displaystyle \pi _{5}\left(S^{3}\right)}$

Torres de espectros de Postnikov

Además de la clásica torre de Postnikov, existe una noción de torres de Postnikov en la teoría de homotopía estable construida sobre espectros ^{[6] pág. 85-86} .

Definición

Para un espectro, una torre de Postnikov es un diagrama en la categoría de homotopía de los espectros, , dada por ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\text{Ho}}({\textbf {Spectra}})}$

${\displaystyle \cdots \to E_{(2)}\xrightarrow {p_{2}} E_{(1)}\xrightarrow {p_{1}} E_{(0)}}$,

con mapas

${\displaystyle \tau _{n}:E\to E_{(n)}}$

conmutando con los mapas. Entonces, esta torre es una torre Postnikov si se cumplen las dos condiciones siguientes: ${\displaystyle p_{n}}$

1. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)=0}$para , ${\displaystyle i>n}$
2. ${\displaystyle \left(\tau _{n}\right)_{*}:\pi _{i}^{\mathbb {S} }(E)\to \pi _{i}^{\mathbb {S} }\left(E_{(n)}\right)}$es un isomorfismo para , ${\displaystyle i\leq n}$

donde son grupos de homotopía estables de un espectro. Resulta que cada espectro tiene una torre de Postnikov y esta torre puede construirse utilizando un tipo de procedimiento inductivo similar al que se dio anteriormente. ${\displaystyle \pi _{i}^{\mathbb {S} }}$

Torre Whitehead

Dado un complejo CW , existe una construcción dual de la torre de Postnikov llamada torre de Whitehead . En lugar de eliminar todos los grupos de homotopía superiores, la torre de Whitehead elimina iterativamente los grupos de homotopía inferiores. Esto se da por una torre de complejos CW, ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \cdots \to X_{3}\to X_{2}\to X_{1}\to X}$,

dónde

1. Los grupos de homotopía inferiores son cero, por lo que para . ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=0}$ ${\displaystyle i\leq n}$
2. El mapa inducido es un isomorfismo para . ${\displaystyle \pi _{i}:\pi _{i}(X_{n})\to \pi _{i}(X)}$ ${\displaystyle i>n}$
3. Los mapas son fibraciones con fibra . ${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$ ${\displaystyle K(\pi _{n}(X),n-1)}$

Trascendencia

Observe que es la cubierta universal de ya que es un espacio de cubierta con una cubierta simplemente conexa. Además, cada uno es la cubierta universal conexa de . ${\displaystyle X_{1}\to X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}\to X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$

Construcción

Los espacios en la torre Whitehead se construyen inductivamente. Si construimos un eliminando los grupos de homotopía superiores en , ^[7] obtenemos una incrustación . Si dejamos ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)}$ ${\displaystyle X_{n}}$ ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n+1}=\left\{f\colon I\to K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right):f(0)=p{\text{ and }}f(1)\in X_{n}\right\}}$

Para algún punto base fijo , entonces el mapa inducido es un haz de fibras con fibras homeomorfas a ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X_{n+1}\to X_{n}}$

${\displaystyle \Omega K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\simeq K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)}$,

y entonces tenemos una fibración de Serre

${\displaystyle K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to X_{n}\to X_{n-1}}$.

Usando la secuencia exacta larga en la teoría de homotopía, tenemos que para , para , y finalmente, hay una secuencia exacta ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}\left(X_{n-1}\right)}$ ${\displaystyle i\geq n+1}$ ${\displaystyle \pi _{i}(X_{n})=\pi _{i}(X_{n-1})=0}$ ${\displaystyle i<n-1}$

${\displaystyle 0\to \pi _{n+1}\left(X_{n+1})\to \pi _{n+1}(X_{n}\right)\mathrel {\overset {\partial }{\rightarrow }} \pi _{n}K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\to \pi _{n}\left(X_{n+1}\right)\to 0}$,

donde si el morfismo del medio es un isomorfismo, los otros dos grupos son cero. Esto se puede comprobar observando la inclusión y notando que el espacio de Eilenberg-Maclane tiene una descomposición celular ${\displaystyle X_{n}\to K(\pi _{n+1}(X),n+1)}$

${\displaystyle X_{n-1}\cup \{{\text{cells of dimension}}\geq n+2\}}$; de este modo,

${\displaystyle \pi _{n+1}\left(X_{n}\right)\cong \pi _{n+1}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n+1\right)\right)\cong \pi _{n}\left(K\left(\pi _{n+1}(X),n\right)\right)}$,

dando el resultado deseado.

Como fibra de homotopía

Otra forma de ver los componentes de la torre Whitehead es como una fibra de homotopía . Si tomamos

${\displaystyle {\text{Hofiber}}(\phi _{n}:X\to X_{n})}$

Desde la torre Postnikov, obtenemos un espacio que tiene ${\displaystyle X^{n}}$

${\displaystyle \pi _{k}(X^{n})={\begin{cases}\pi _{k}(X)&k>n\\0&k\leq n\end{cases}}}$

Torre de espectros de Whitehead

La noción dual de la torre Whitehead se puede definir de manera similar utilizando fibras de homotopía en la categoría de espectros. Si dejamos

${\displaystyle E\langle n\rangle =\operatorname {Hofiber} \left(\tau _{n}:E\to E_{(n)}\right)}$

Entonces esto se puede organizar en una torre que da coberturas conectadas de un espectro. Esta es una construcción ampliamente utilizada ^{[8] [9] [10]} en la teoría del bordismo porque las coberturas del espectro del cobordismo no orientado dan otras teorías del bordismo ^[10]. ${\displaystyle M{\text{O}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}M{\text{String}}&=M{\text{O}}\langle 8\rangle \\M{\text{Spin}}&=M{\text{O}}\langle 4\rangle \\M{\text{SO}}&=M{\text{O}}\langle 2\rangle \end{aligned}}}$

como el bordismo de cuerdas .

La torre de Whitehead y la teoría de cuerdas

En la geometría de espín, el grupo se construye como la cubierta universal del grupo ortogonal especial , por lo que es una fibración, lo que da el primer término en la torre de Whitehead. Hay interpretaciones físicamente relevantes para las partes más altas de esta torre, que pueden leerse como ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /2\to \operatorname {Spin} (n)\to SO(n)}$

${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Fivebrane} (n)\to \operatorname {String} (n)\to \operatorname {Spin} (n)\to \operatorname {SO} (n)}$

donde la cubierta conectada de se llama grupo de cuerdas y la cubierta conectada de se llama grupo de cinco branas . ^{[11] [12]} ${\displaystyle \operatorname {String} (n)}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n)}$ ${\displaystyle 7}$

Véase también

• Secuencia espectral de Adams
• Espacio de Eilenberg-MacLane
• Complejo CW
• Teoría de la obstrucción
• Teoría de la homotopía estable
• Grupos de homotopía de esferas
• Grupo superior

Referencias

1. Hatcher, Allen . Topología algebraica (PDF) .
2. Kahn, Donald W. (1 de marzo de 1963). "Mapas inducidos para sistemas de Postnikov" (PDF) . Transactions of the American Mathematical Society . 107 (3): 432–450. doi : 10.1090/s0002-9947-1963-0150777-x . ISSN  0002-9947.
3. Simpson, Carlos (9 de octubre de 1998). "Tipos de homotopía de 3-grupoides estrictos". arXiv : math/9810059 .
4. Eilenberg, Samuel ; MacLane, Saunders (1954). "Sobre los grupos , III: Operaciones y obstrucciones". Anales de Matemáticas . 60 (3): 513–557. doi :10.2307/1969849. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969849. ${\displaystyle H(\Pi ,n)}$
5. Laurențiu-George, Maxim. "Secuencias espectrales y grupos de homotopía de esferas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 19 de mayo de 2017.
6. Sobre espectros de Thom, orientabilidad y cobordismo. Springer Monographs in Mathematics. Berlín, Heidelberg: Springer . 1998. doi :10.1007/978-3-540-77751-9. ISBN 978-3-540-62043-3.
7. Maxim, Laurențiu. "Apuntes de clase sobre teoría de homotopía y aplicaciones" (PDF) . pág. 66. Archivado (PDF) desde el original el 16 de febrero de 2020.
8. Hill, Michael A. (2009). "El bordismo de cuerdas de BE8 y BE8 × BE8 a través de la dimensión 14". Illinois Journal of Mathematics . 53 (1): 183–196. doi : 10.1215/ijm/1264170845 . ISSN  0019-2082.
9. Bunke, Ulrich; Naumann, Niko (1 de diciembre de 2014). "Invariantes secundarios para el bordismo de cuerdas y formas modulares topológicas". Bulletin des Sciences Mathématiques . 138 (8): 912–970. doi : 10.1016/j.bulsci.2014.05.002 . ISSN  0007-4497.
10. Szymik, Markus (2019). "Bordismo de cuerdas y características cromáticas". En Daniel G. Davis; Hans-Werner Henn; JF Jardine; Mark W. Johnson; Charles Rezk (eds.). Teoría de la homotopía: herramientas y aplicaciones . Matemáticas contemporáneas. Vol. 729. págs. 239–254. arXiv : 1312.4658 . doi :10.1090/conm/729/14698. ISBN . 9781470442446.S2CID56461325  .​
11. "Física matemática: aplicación física de la torre de Postnikov, String(n) y Fivebrane(n)". Physics Stack Exchange . Consultado el 16 de febrero de 2020 .
12. "at.algebraic topology – ¿Qué tienen que ver las torres Whitehead con la física?". MathOverflow . Consultado el 16 de febrero de 2020 .

• Postnikov, Mikhail M. (1951). "Determinación de los grupos de homología de un espacio por medio de los invariantes de homotopía". Doklady Akademii Nauk SSSR . 76 : 359–362.
• Maxim, Laurențiu. "Apuntes de clase sobre teoría de homotopía y aplicaciones" (PDF) . www.math.wisc.edu .
• Determinación de los grupos de segunda homología y cohomología de un espacio por medio de invariantes de homotopía: ofrece ejemplos accesibles de invariantes de Postnikov
• Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica. Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-79540-1.
• Zhang. "Torres Postnikov, torres Whitehead y sus aplicaciones (notas manuscritas)" (PDF) . www.math.purdue.edu . Archivado desde el original (PDF) el 13 de febrero de 2020.