En matemáticas , un espacio topológico X es contráctil si el mapa de identidad en X es homotópico nulo, es decir, si es homotópico a algún mapa constante. [1] [2] Intuitivamente, un espacio contráctil es aquel que puede reducirse continuamente hasta un punto dentro de ese espacio.
Un espacio contráctil es precisamente aquel que tiene el tipo de homotopía de un punto. De ello se deduce que todos los grupos de homotopía de un espacio contráctil son triviales . Por tanto, cualquier espacio con un grupo de homotopía no trivial no puede ser contráctil. De manera similar, dado que la homología singular es una invariante de homotopía, los grupos de homología reducidos de un espacio contráctil son todos triviales.
Para un espacio topológico no vacío X, todos los siguientes son equivalentes:
El cono en un espacio X siempre es contráctil. Por lo tanto, cualquier espacio puede estar incrustado en uno contráctil (lo que también ilustra que los subespacios de espacios contráctiles no necesitan ser contráctiles).
Además, X es contráctil si y sólo si existe una retracción del cono de X a X.
Todo espacio contráctil está conectado por caminos y simplemente conectado . Además, dado que todos los grupos de homotopía superiores desaparecen, todo espacio contráctil es n -conexo para todo n ≥ 0.
Un espacio topológico X es localmente contráctil en un punto x si para cada vecindad U de x hay una vecindad V de x contenida en U tal que la inclusión de V es nulhomotópica en U. Un espacio es localmente contráctil si es localmente contráctil en cada punto. Esta definición se conoce ocasionalmente como "localmente contráctil del topólogo geométrico", aunque es el uso más común del término. En el texto estándar de topología algebraica de Hatcher , esta definición se denomina "débilmente contráctil localmente", aunque ese término tiene otros usos.
Si cada punto tiene una base local de vecindades contraíbles, entonces decimos que X es fuertemente contráctil localmente . Los espacios contraíbles no son necesariamente contraíbles localmente ni viceversa. Por ejemplo, el espacio del peine es contráctil pero no localmente contráctil (si lo fuera, estaría conectado localmente, lo cual no lo es). Los espacios localmente contráctiles están localmente n -conectados para todo n ≥ 0. En particular, están localmente conectados simplemente , localmente conectados por ruta y localmente conectados . El círculo es (fuertemente) localmente contráctil pero no contráctil.
La contractibilidad local fuerte es una propiedad estrictamente más fuerte que la contractibilidad local; los contraejemplos son sofisticados; el primero lo dieron Borsuk y Mazurkiewicz en su artículo Sur les rétractes absolus indécomposables , CR. Acad. Ciencia. París 199 (1934), 110-112).
Existe cierto desacuerdo sobre cuál es la definición "estándar" de contractibilidad local; la primera definición se usa más comúnmente en topología geométrica, especialmente históricamente, mientras que la segunda definición encaja mejor con el uso típico del término "local" con respecto a las propiedades topológicas. Siempre se debe tener cuidado con las definiciones al interpretar los resultados sobre estas propiedades.