En la rama de las matemáticas conocida como topología , la curva seno del topólogo o curva seno de Varsovia es un espacio topológico con varias propiedades interesantes que lo convierten en un importante ejemplo de libro de texto.
Se puede definir como la gráfica de la función sin(1/ x ) en el intervalo semiabierto (0, 1], junto con el origen, bajo la topología inducida desde el plano euclidiano :
La curva seno T del topólogo es conexa , pero no localmente ni por trayectoria . Esto se debe a que incluye el punto (0,0), pero no hay forma de vincular la función con el origen para formar una trayectoria .
El espacio T es la imagen continua de un espacio localmente compacto (es decir, sea V el espacio {−1} ∪ (0, 1], y usemos la función f de V a T definida por f (−1) = (0,0) y f ( x ) = ( x , sin(1/ x )) para x > 0), pero T no es localmente compacto en sí mismo.
La dimensión topológica de T es 1.
Dos variantes de la curva sinusoidal del topólogo tienen otras propiedades interesantes.
La curva sinusoidal del topólogo cerrada se puede definir tomando la curva sinusoidal del topólogo y sumando su conjunto de puntos límite , ; algunos textos definen la curva sinusoidal del topólogo en sí misma como esta versión cerrada, ya que prefieren usar el término 'curva sinusoidal del topólogo cerrada' para referirse a otra curva. [1] Este espacio es cerrado y acotado y, por lo tanto, compacto por el teorema de Heine-Borel , pero tiene propiedades similares a la curva sinusoidal del topólogo: también está conexo pero ni localmente conexo ni conexo por trayectorias.
La curva sinusoidal del topólogo extendida se puede definir tomando la curva sinusoidal del topólogo cerrado y agregándole el conjunto . Es un arco conexo pero no localmente conexo .
![{\displaystyle T=\left\{\left(x,\sin {\tfrac {1}{x}}\right):x\in (0,1]\right\}\cup \{(0,0)\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d4221bd712b70257f7e0f8d9b1ca74eaff5661c)
![{\displaystyle \{(0,y)\mid y\in [-1,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dff9ac5c2a53868d76f8bf3f7a7a841876b3ca0)
![{\displaystyle \{(x,1)\mid x\in [0,1]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5327e8b84efd6909fc334b522974b34963cd7e8f)