Colector Whitehead

Los tres primeros toros de la construcción de la variedad Whitehead

En matemáticas , la variedad de Whitehead es una variedad 3- abierta que es contráctil , pero no homeomorfa a JHC. Whitehead  (1935) descubrió este desconcertante objeto mientras intentaba demostrar la conjetura de Poincaré , corrigiendo un error en un artículo anterior, Whitehead (1934, teorema 3), donde afirmaba incorrectamente que no existe tal variedad. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Una variedad contráctil es aquella que puede contraerse continuamente hasta un punto dentro de la propia variedad. Por ejemplo, una esfera abierta es una variedad contráctil. Todas las variedades homeomorfas a la esfera también son contráctiles. Uno puede preguntarse si todas las variedades contráctiles son homeomorfas a una esfera. Para las dimensiones 1 y 2, la respuesta es clásica y es "sí". En la dimensión 2, se sigue, por ejemplo, del teorema de aplicación de Riemann . La dimensión 3 presenta el primer contraejemplo : la variedad de Whitehead. ^[1]

Construcción

Tome una copia de la esfera tridimensional . Ahora encuentre un toro sólido compacto sin nudos dentro de la esfera. (Un toro sólido es una rosquilla tridimensional ordinaria , es decir, un toro lleno , que topológicamente es un círculo multiplicado por un disco ). El complemento cerrado del toro sólido en el interior es otro toro sólido. ${\displaystyle S^{3},}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle S^{3}}$

Un enlace de Whitehead engrosado. En la construcción de la variedad de Whitehead, el toro azul (sin torcer) es un vecindario tubular de la curva meridiana de , y el toro naranja es Todo debe estar contenido dentro ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$ ${\displaystyle T_{1}.}$

Ahora tome un segundo toro sólido en el interior de modo que y un vecindario tubular de la curva meridiana de sea un enlace Whitehead engrosado . ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$

Nótese que es homotópica nula en el complemento del meridiano de Esto se puede ver al considerar como y la curva del meridiano como el eje z junto con El toro tiene un número de vueltas cero alrededor del eje z . Por lo tanto, se sigue la homotopía nula necesaria. Dado que el enlace de Whitehead es simétrico, es decir, un homeomorfismo de la esfera de 3 componentes cambia, también es cierto que el meridiano de también es homotópica nula en el complemento de ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}.}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\cup \{\infty \}}$ ${\displaystyle \infty .}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1}}$ ${\displaystyle T_{2}.}$

Ahora incorpórelo en el interior de la misma manera que se encuentra en el interior y así sucesivamente; hasta el infinito. Defina W , el continuo de Whitehead , como o más precisamente la intersección de todos los para ${\displaystyle T_{3}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{2}}$ ${\displaystyle T_{1},}$ ${\displaystyle W=T_{\infty },}$ ${\displaystyle T_{k}}$ ${\displaystyle k=1,2,3,\dots .}$

La variedad de Whitehead se define como que es una variedad no compacta sin borde. De nuestra observación anterior, el teorema de Hurewicz y el teorema de Whitehead sobre equivalencia de homotopía, se deduce que X es contráctil. De hecho, un análisis más detallado que incluye un resultado de Morton Brown muestra que Sin embargo, X no es homeomorfo a La razón es que no está simplemente conexo en el infinito . ${\displaystyle X=S^{3}\setminus W,}$ ${\displaystyle X\times \mathbb {R} \cong \mathbb {R} ^{4}.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

La compactificación de un punto de X es el espacio (con W comprimido en un punto). No es una variedad. Sin embargo, ¿ es homeomorfa? ${\displaystyle S^{3}/W}$ ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{3}/W\right)\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

David Gabai demostró que X es la unión de dos copias de cuya intersección también es homeomorfa a ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}.}$

Espacios relacionados

Se pueden construir más ejemplos de variedades tridimensionales abiertas y contráctiles procediendo de manera similar y eligiendo diferentes incrustaciones de en en el proceso iterativo. Cada incrustación debe ser un toro sólido sin nudos en la esfera tridimensional. Las propiedades esenciales son que el meridiano de debe ser homotópico nulo en el complemento de y además la longitud de no debe ser homotópica nula en ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle T_{i+1},}$ ${\displaystyle T_{i+1}}$ ${\displaystyle T_{i}\setminus T_{i+1}.}$

Otra variante consiste en elegir varios subtoros en cada etapa en lugar de uno solo. Los conos sobre algunos de estos continuos aparecen como complementos de las asas de Casson en un juego de 4 bolas.

El espacio dogbone no es una variedad pero su producto con es homeomorfo a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}.}$

Véase también

• Lista de topologías
• Colector domesticado

Referencias

1. Gabai, David (2011). "La variedad de Whitehead es una unión de dos espacios euclidianos". Journal of Topology . 4 (3): 529–534. doi :10.1112/jtopol/jtr010.

Lectura adicional

• Kirby, Robion (1989). La topología de 4-variedades . Lecture Notes in Mathematics, n.º 1374, Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-51148-1.
• Rolfsen, Dale (2003), "Sección 3.I.8.", Nudos y enlaces , AMS Chelsea Publishing, pág. 82, ISBN 978-0821834367
• Whitehead, JHC (1934), "Ciertos teoremas sobre variedades tridimensionales (I)", Quarterly Journal of Mathematics , 5 (1): 308–320, Bibcode :1934QJMat...5..308W, doi :10.1093/qmath/os-5.1.308
• Whitehead, JHC (1935), "Una cierta variedad abierta cuyo grupo es la unidad", Quarterly Journal of Mathematics , 6 (1): 268–279, Bibcode :1935QJMat...6..268W, doi :10.1093/qmath/os-6.1.268