En la teoría de homotopía (una rama de las matemáticas ), el teorema de Whitehead establece que si una aplicación continua f entre complejos CW X e Y induce isomorfismos en todos los grupos de homotopía , entonces f es una equivalencia de homotopía . Este resultado fue demostrado por JHC Whitehead en dos artículos fundamentales de 1949, y proporciona una justificación para trabajar con el concepto de complejo CW que introdujo allí. Es un resultado modelo de la topología algebraica , en la que el comportamiento de ciertos invariantes algebraicos (en este caso, grupos de homotopía) determina una propiedad topológica de una aplicación.
En más detalle, sean X e Y espacios topológicos . Dado un mapeo continuo
y un punto x en X , considere para cualquier n ≥ 0 el homomorfismo inducido
donde π n ( X , x ) denota el n -ésimo grupo de homotopía de X con punto base x . (Para n = 0, π 0 ( X ) simplemente significa el conjunto de componentes de trayectoria de X .) Una función f es una equivalencia de homotopía débil si la función
es biyectiva , y los homomorfismos f * son biyectivos para todo x en X y todo n ≥ 1. (Para X e Y conexos por trayectorias , la primera condición es automática, y basta con enunciar la segunda condición para un único punto x en X ). El teorema de Whitehead establece que una equivalencia de homotopía débil de un complejo CW a otro es una equivalencia de homotopía. (Es decir, la función f : X → Y tiene una inversa de homotopía g : Y → X , lo que no está del todo claro a partir de los supuestos). Esto implica la misma conclusión para los espacios X e Y que son homotópicamente equivalentes a los complejos CW.
La combinación de esto con el teorema de Hurewicz produce un corolario útil: un mapa continuo entre complejos CW simplemente conexos que induce un isomorfismo en todos los grupos de homología integral es una equivalencia de homotopía.
Una advertencia: no basta con suponer que π n ( X ) es isomorfo a π n ( Y ) para cada n para concluir que X e Y son homotópicamente equivalentes. Realmente se necesita una función f : X → Y que induzca un isomorfismo en los grupos de homotopía. Por ejemplo, tomemos X = S 2 × RP 3 e Y = RP 2 × S 3 . Entonces X e Y tienen el mismo grupo fundamental , es decir, el grupo cíclico Z /2, y la misma cobertura universal, es decir, S 2 × S 3 ; por lo tanto, tienen grupos de homotopía isomorfos. Por otro lado, sus grupos de homología son diferentes (como se puede ver en la fórmula de Künneth ); por lo tanto, X e Y no son homotópicamente equivalentes.
El teorema de Whitehead no se cumple para espacios topológicos generales ni siquiera para todos los subespacios de R n . Por ejemplo, el círculo de Varsovia , un subconjunto compacto del plano, tiene todos los grupos de homotopía cero, pero la función del círculo de Varsovia a un único punto no es una equivalencia de homotopía. El estudio de las posibles generalizaciones del teorema de Whitehead a espacios más generales es parte del tema de la teoría de formas .
En cualquier categoría de modelo , una equivalencia débil entre objetos cofibrantes-fibrantes es una equivalencia de homotopía.
