Espacio topológico

Espacio matemático con noción de cercanía.

En matemáticas , un espacio topológico es, en términos generales, un espacio geométrico en el que la cercanía está definida pero no necesariamente puede medirse mediante una distancia numérica . Más específicamente, un espacio topológico es un conjunto cuyos elementos se denominan puntos , junto con una estructura adicional llamada topología , que puede definirse como un conjunto de vecindades para cada punto que satisfacen algunos axiomas que formalizan el concepto de cercanía. Existen varias definiciones equivalentes de topología, la más comúnmente utilizada es la definición mediante conjuntos abiertos , que es más fácil de manipular que las demás.

Un espacio topológico es el tipo más general de espacio matemático que permite la definición de límites , continuidad y conectividad . ^{[1] [2]} Los tipos comunes de espacios topológicos incluyen espacios euclidianos , espacios métricos y variedades .

Aunque es muy general, el concepto de espacios topológicos es fundamental y se utiliza prácticamente en todas las ramas de las matemáticas modernas. El estudio de los espacios topológicos por derecho propio se denomina topología de conjuntos de puntos o topología general .

Historia

Hacia 1735 , Leonhard Euler descubrió la fórmula que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro convexo y, por tanto, de un grafo plano . El estudio y generalización de esta fórmula, concretamente por Cauchy (1789-1857) y L'Huilier (1750-1840), impulsó el estudio de la topología . En 1827 , Carl Friedrich Gauss publicó Investigaciones generales sobre superficies curvas , que en la sección 3 define la superficie curva de manera similar a la comprensión topológica moderna: "Se dice que una superficie curva posee curvatura continua en uno de sus puntos A, si el La dirección de todas las líneas rectas trazadas desde A hacia puntos de la superficie a una distancia infinitesimal de A se desvían infinitesimalmente desde un mismo plano que pasa por A. ^[3] ${\displaystyle V-E+F=2}$

Sin embargo, "hasta el trabajo de Riemann a principios de la década de 1850, las superficies siempre se trataban desde un punto de vista local (como superficies paramétricas) y nunca se consideraban cuestiones topológicas". ^[4] " Möbius y Jordan parecen ser los primeros en darse cuenta de que el principal problema acerca de la topología de superficies (compactas) es encontrar invariantes (preferiblemente numéricas) para decidir la equivalencia de superficies, es decir, decidir si dos superficies son homeomórfico o no." ^[4]

El tema está claramente definido por Felix Klein en su " Programa de Erlangen " (1872): las invariantes de la geometría de transformación continua arbitraria, una especie de geometría. El término "topología" fue introducido por Johann Benedict Listing en 1847, aunque había utilizado el término en correspondencia algunos años antes en lugar del utilizado anteriormente "Analysis situs". La base de esta ciencia, para un espacio de cualquier dimensión, fue creada por Henri Poincaré . Su primer artículo sobre este tema apareció en 1894 . ^[5] En la década de 1930, James Waddell Alexander II y Hassler Whitney expresaron por primera vez la idea de que una superficie es un espacio topológico que es localmente como un plano euclidiano .

Los espacios topológicos fueron definidos por primera vez por Felix Hausdorff en 1914 en su fundamental "Principios de la teoría de conjuntos". Los espacios métricos habían sido definidos anteriormente en 1906 por Maurice Fréchet , aunque fue Hausdorff quien popularizó el término "espacio métrico" ( en alemán : metrischer Raum ). ^{[6] [7]}

Definiciones

La utilidad del concepto de topología se demuestra por el hecho de que existen varias definiciones equivalentes de esta estructura matemática . De este modo se elige la axiomatización adecuada para la aplicación. El más comúnmente utilizado es el de conjuntos abiertos , pero quizás más intuitivo es el de vecindades , por lo que se da primero.

Definición vía barrios

Esta axiomatización se debe a Felix Hausdorff . Sea un conjunto (posiblemente vacío). Los elementos de suelen denominarse puntos , aunque pueden ser cualquier objeto matemático. Sea una función que asigna a cada (punto) en una colección no vacía de subconjuntos de Los elementos de se llamarán vecindades de con respecto a (o, simplemente, vecindades de ). La función se denomina topología de vecindad si se satisfacen los axiomas siguientes ^{[8] ;} y luego con se llama espacio topológico . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$

1. Si es una vecindad de (es decir, ), entonces En otras palabras, cada punto del conjunto pertenece a cada una de sus vecindades con respecto a . ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}(x)}$ ${\displaystyle x\in N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$
2. Si es un subconjunto de e incluye una vecindad de entonces es una vecindad de Es decir, cada superconjunto de una vecindad de un punto es nuevamente una vecindad de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x.}$
3. La intersección de dos barrios de es un barrio de ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$
4. Cualquier vecindad de incluye una vecindad de tal que es una vecindad de cada punto de ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M.}$

Los primeros tres axiomas de barrios tienen un significado claro. El cuarto axioma tiene un uso muy importante en la estructura de la teoría, el de vincular las vecindades de diferentes puntos de ${\displaystyle X.}$

Un ejemplo estándar de tal sistema de vecindades es el de la recta real donde un subconjunto de se define como vecindad de un número real si incluye un intervalo abierto que contiene ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$

Dada tal estructura, un subconjunto de se define como abierto si es una vecindad de todos los puntos en. Los conjuntos abiertos satisfacen los axiomas que se dan a continuación en la siguiente definición de espacio topológico. Por el contrario, cuando se dan los conjuntos abiertos de un espacio topológico, las vecindades que satisfacen los axiomas anteriores se pueden recuperar definiéndolas como una vecindad de si incluye un conjunto abierto tal que ^[9] ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U.}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle x\in U.}$

Definición mediante conjuntos abiertos

Una topología en un conjunto X puede definirse como una colección de subconjuntos de X , llamados conjuntos abiertos y que satisfacen los siguientes axiomas: ^[10] ${\displaystyle \tau }$

1. El conjunto vacío y él mismo pertenecen a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau .}$
2. Cualquier unión arbitraria (finita o infinita) de miembros de pertenece a ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$
3. La intersección de cualquier número finito de miembros de pertenece a ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \tau .}$

Como esta definición de topología es la más comúnmente utilizada, el conjunto de conjuntos abiertos se denomina comúnmente topología en ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$

Se dice que un subconjunto es cerrado si su complemento es un conjunto abierto. ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$ ${\displaystyle X\setminus C}$

Ejemplos de topologías

Denotemos con los círculos, aquí hay cuatro ejemplos y dos no ejemplos de topologías en el conjunto de tres puntos. El ejemplo de abajo a la izquierda no es una topología porque falta la unión de y [ie ]; el ejemplo de abajo a la derecha no es una topología porque falta la intersección de y [es decir ,]. ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \{1,2,3\}.}$ ${\displaystyle \{2\}}$ ${\displaystyle \{3\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2\}}$ ${\displaystyle \{2,3\}}$ ${\displaystyle \{2\}}$

1. Dada la topología trivial o indiscreta , la familia que consta solo de los dos subconjuntos de requeridos por los axiomas forma una topología ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
2. dada la familia ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$
   $${\displaystyle \tau =\{\{\},\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$
   de seis subconjuntos de formas otra topología de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$
3. Dada la topología discreta , el conjunto potencia es la familia que consta de todos los subconjuntos posibles de En este caso, el espacio topológico se llama espacio discreto . ${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \tau =\wp (X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$
4. Dado el conjunto de números enteros, la familia de todos los subconjuntos finitos de los números enteros más ella misma no es una topología, porque (por ejemplo) la unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero no es finita y, por lo tanto, no es miembro de la familia de conjuntos finitos. . La unión de todos los conjuntos finitos que no contienen cero tampoco es todo de y por lo tanto no puede estar en ${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \tau .}$

Definición mediante conjuntos cerrados

Utilizando las leyes de Morgan , los axiomas anteriores que definen conjuntos abiertos se convierten en axiomas que definen conjuntos cerrados :

1. El conjunto vacío y cerrado. ${\displaystyle X}$
2. La intersección de cualquier colección de conjuntos cerrados también lo es.
3. La unión de cualquier número finito de conjuntos cerrados también es cerrada.

Usando estos axiomas, otra forma de definir un espacio topológico es como un conjunto junto con una colección de subconjuntos cerrados de Así, los conjuntos en la topología son los conjuntos cerrados y sus complementos son los conjuntos abiertos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X}$

Otras definiciones

Hay muchas otras formas equivalentes de definir un espacio topológico: en otras palabras, los conceptos de vecindad, o el de conjuntos abiertos o cerrados, pueden reconstruirse a partir de otros puntos de partida y satisfacer los axiomas correctos.

Otra forma de definir un espacio topológico es mediante el uso de los axiomas de cierre de Kuratowski , que definen los conjuntos cerrados como los puntos fijos de un operador en el conjunto potencia de ${\displaystyle X.}$

Una red es una generalización del concepto de secuencia . Una topología está completamente determinada si para cada red del conjunto se especifican sus puntos de acumulación . ${\displaystyle X}$

Comparación de topologías

Se pueden definir muchas topologías en un conjunto para formar un espacio topológico. Cuando todo conjunto abierto de una topología también es abierto para una topología, se dice que es más fino que y más burdo que . Una prueba que se basa sólo en la existencia de ciertos conjuntos abiertos también será válida para cualquier topología más fina, y de manera similar, una prueba que se basa sólo en en ciertos conjuntos que no están abiertos se aplica a cualquier topología más burda. Los términos más grande y más pequeño a veces se utilizan en lugar de más fino y más grueso, respectivamente. Los términos más fuerte y más débil también se utilizan en la literatura, pero hay poco acuerdo sobre el significado, por lo que siempre se debe estar seguro de la convención del autor al leer. ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2},}$ ${\displaystyle \tau _{2}}$ ${\displaystyle \tau _{1},}$ ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{2}.}$

La colección de todas las topologías en un conjunto fijo dado forma una red completa : si es una colección de topologías, entonces el encuentro de es la intersección de y el encuentro de es el encuentro de la colección de todas las topologías que contienen a cada miembro de ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle F.}$

Funciones continuas

Una función entre espacios topológicos se llama continua si para todas y cada una de las vecindades de hay una vecindad de tal que Esto se relaciona fácilmente con la definición habitual en el análisis. De manera equivalente, es continua si la imagen inversa de todo conjunto abierto es abierta. ^[11] Este es un intento de capturar la intuición de que no hay "saltos" o "separaciones" en la función. Un homeomorfismo es una biyección que es continua y cuya inversa también es continua. Dos espacios se llaman homeomorfos si existe un homeomorfismo entre ellos. Desde el punto de vista de la topología, los espacios homeomórficos son esencialmente idénticos. ^[12] ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$ ${\displaystyle f}$

En teoría de categorías , una de las categorías fundamentales es Top , que denota la categoría de espacios topológicos cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son funciones continuas. El intento de clasificar los objetos de esta categoría ( hasta el homeomorfismo ) mediante invariantes ha motivado áreas de investigación, como la teoría de la homotopía , la teoría de la homología y la teoría K.

Ejemplos de espacios topológicos

Un conjunto determinado puede tener muchas topologías diferentes. Si a un conjunto se le da una topología diferente, se lo ve como un espacio topológico diferente. A cualquier conjunto se le puede dar la topología discreta en la que cada subconjunto está abierto. Las únicas secuencias o redes convergentes en esta topología son aquellas que eventualmente son constantes. Además, a cualquier conjunto se le puede dar la topología trivial (también llamada topología indiscreta), en la que sólo el conjunto vacío y todo el espacio están abiertos. Cada secuencia y red en esta topología converge a cada punto del espacio. Este ejemplo muestra que en espacios topológicos generales, los límites de las secuencias no tienen por qué ser únicos. Sin embargo, a menudo los espacios topológicos deben ser espacios de Hausdorff donde los puntos límite son únicos.

Espacios métricos

Los espacios métricos encarnan una métrica , una noción precisa de distancia entre puntos.

A cada espacio métrico se le puede dar una topología métrica, en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas definidas por la métrica. Ésta es la topología estándar en cualquier espacio vectorial normado . En un espacio vectorial de dimensión finita, esta topología es la misma para todas las normas.

Hay muchas formas de definir una topología sobre el conjunto de números reales . La topología estándar se genera mediante intervalos abiertos . El conjunto de todos los intervalos abiertos forma una base para la topología, lo que significa que cada conjunto abierto es una unión de alguna colección de conjuntos de la base. En particular, esto significa que un conjunto es abierto si existe un intervalo abierto de radio distinto de cero alrededor de cada punto del conjunto. De manera más general, a los espacios euclidianos se les puede dar una topología. En la topología habitual de los conjuntos abiertos básicos se encuentran las bolas abiertas . De manera similar, el conjunto de números complejos , y tienen una topología estándar en la que los conjuntos abiertos básicos son bolas abiertas. ${\displaystyle \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Espacios de proximidad

En topología , un espacio de proximidad , también llamado espacio de cercanía, es una axiomatización de la noción intuitiva de "cercanía" que sostienen conjunto a conjunto, a diferencia de la noción más conocida de punto a conjunto que caracteriza los espacios topológicos.

El concepto fue descrito por Frigyes Riesz  (1909), pero ignorado en su momento. ^[13] Fue redescubierto y axiomatizado por VA Efremovič en 1934 bajo el nombre de espacio infinitesimal, pero no publicado hasta 1951. Mientras tanto, AD Wallace  (1941) descubrió una versión del mismo concepto bajo el nombre de espacio de separación.

Espacios uniformes

En el campo matemático de la topología , un espacio uniforme es un espacio topológico con estructura adicional que se utiliza para definir propiedades uniformes , como integridad , continuidad uniforme y convergencia uniforme . Los espacios uniformes generalizan espacios métricos y grupos topológicos , pero el concepto está diseñado para formular los axiomas más débiles necesarios para la mayoría de las pruebas en análisis .

Además de las propiedades habituales de una estructura topológica, en un espacio uniforme se formalizan las nociones de cercanía relativa y cercanía de puntos. En otras palabras, ideas como " x está más cerca de a que y de b " tienen sentido en espacios uniformes. En comparación, en un espacio topológico general, dados los conjuntos A,B, tiene sentido decir que un punto x está arbitrariamente cerca de A (es decir, en la clausura de A ), o quizás que A es una vecindad más pequeña de x que B. , pero las nociones de cercanía de puntos y cercanía relativa no se describen bien solo mediante la estructura topológica.

Espacios funcionales

En matemáticas , un espacio funcional es un conjunto de funciones entre dos conjuntos fijos. A menudo, el dominio y/o codominio tendrá una estructura adicional que es heredada por el espacio funcional. Por ejemplo, el conjunto de funciones de cualquier conjunto X en un espacio vectorial tiene una estructura de espacio vectorial natural dada por la suma puntual y la multiplicación escalar. En otros escenarios, el espacio funcional puede heredar una estructura topológica o métrica , de ahí el nombre espacio funcional .

espacios de cauchy

En topología y análisis generales , un espacio de Cauchy es una generalización de espacios métricos y espacios uniformes para los cuales la noción de convergencia de Cauchy todavía tiene sentido. Los espacios de Cauchy fueron introducidos por HH Keller en 1968, como una herramienta axiomática derivada de la idea de un filtro de Cauchy , para estudiar la completitud en espacios topológicos. La categoría de espacios de Cauchy y mapas continuos de Cauchy es cartesiana cerrada y contiene la categoría de espacios de proximidad .

Espacios de convergencia

En matemáticas , un espacio de convergencia , también llamado convergencia generalizada, es un conjunto junto con una relación llamada convergencia que satisface ciertas propiedades que relacionan elementos de X con la familia de filtros en X. Los espacios de convergencia generalizan las nociones de convergencia que se encuentran en la topología de conjuntos de puntos , incluida la convergencia métrica y la convergencia uniforme. Todo espacio topológico da lugar a una convergencia canónica pero existen convergencias, conocidas como convergencias no topológicas , que no surgen de ningún espacio topológico. ^[14] Ejemplos de convergencias que en general no son topológicas incluyen la convergencia en medida y la convergencia en casi todas partes . Muchas propiedades topológicas tienen generalizaciones a espacios de convergencia.

Además de su capacidad para describir nociones de convergencia que las topologías no pueden, la categoría de espacios de convergencia tiene una propiedad categórica importante de la que carece la categoría de espacios topológicos .

La categoría de espacios topológicos no es una categoría exponencial (o equivalentemente, no es cartesiana cerrada ), aunque está contenida en la categoría exponencial de espacios pseudotopológicos, que es en sí misma una subcategoría de la categoría (también exponencial) de espacios de convergencia. ^[15]

Sitios de Grothendieck

En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una topología de Grothendieck es una estructura en una categoría C que hace que los objetos de C actúen como conjuntos abiertos de un espacio topológico. Una categoría junto con una elección de topología de Grothendieck se denomina sitio.

Las topologías de Grothendieck axiomatizan la noción de cubierta abierta . Utilizando la noción de cobertura proporcionada por una topología de Grothendieck, es posible definir gavillas en una categoría y su cohomología . Esto fue hecho por primera vez en geometría algebraica y teoría algebraica de números por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale de un esquema . Se ha utilizado para definir otras teorías de cohomología desde entonces, como la cohomología ℓ-ádica , la cohomología plana y la cohomología cristalina . Si bien las topologías de Grothendieck se utilizan con mayor frecuencia para definir teorías de cohomología, también han encontrado otras aplicaciones, como la teoría de la geometría analítica rígida de John Tate .

Existe una forma natural de asociar un sitio a un espacio topológico ordinario, y la teoría de Grothendieck se considera vagamente como una generalización de la topología clásica. Bajo hipótesis de un conjunto de puntos exiguos, a saber, la sobriedad , esto es completamente exacto: es posible recuperar un espacio sobrio desde su sitio asociado. Sin embargo, ejemplos simples como el espacio topológico indiscreto muestran que no todos los espacios topológicos pueden expresarse utilizando topologías de Grothendieck. Por el contrario, existen topologías de Grothendieck que no provienen de espacios topológicos.

El término "topología de Grothendieck" ha cambiado de significado. En Artin (1962) significaba lo que ahora se llama pretopología de Grothendieck, y algunos autores todavía utilizan este antiguo significado. Giraud (1964) modificó la definición para utilizar tamices en lugar de cubiertas. La mayor parte del tiempo esto no hace mucha diferencia, ya que cada pretopología de Grothendieck determina una topología de Grothendieck única, aunque pretopologías bastante diferentes pueden dar la misma topología. harvtxt error: no target: CITEREFArtin1962 (help) harvtxt error: no target: CITEREFGiraud1964 (help)

Otros espacios

Si hay un filtro en un conjunto, entonces hay una topología en ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{\varnothing \}\cup \Gamma }$ ${\displaystyle X.}$

Muchos conjuntos de operadores lineales en el análisis funcional están dotados de topologías que se definen especificando cuándo una secuencia particular de funciones converge a la función cero.

Cualquier campo local tiene una topología nativa y esta se puede extender a espacios vectoriales sobre ese campo.

Cada variedad tiene una topología natural ya que es localmente euclidiana. De manera similar, cada simplex y cada complejo simplicial hereda una topología natural de .

La topología de Zariski se define algebraicamente sobre el espectro de un anillo o una variedad algebraica . En o los conjuntos cerrados de la topología de Zariski están los conjuntos solución de sistemas de ecuaciones polinómicas . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$

Un gráfico lineal tiene una topología natural que generaliza muchos de los aspectos geométricos de los gráficos con vértices y aristas .

El espacio de Sierpiński es el espacio topológico no discreto más simple. Tiene relaciones importantes con la teoría de la computación y la semántica.

Existen numerosas topologías en cualquier conjunto finito dado . Estos espacios se denominan espacios topológicos finitos . Los espacios finitos a veces se utilizan para proporcionar ejemplos o contraejemplos a conjeturas sobre espacios topológicos en general.

A cualquier conjunto se le puede dar la topología cofinita en la que los conjuntos abiertos son el conjunto vacío y los conjuntos cuyo complemento es finito. Esta es la topología T 1 más pequeña en cualquier conjunto infinito. ^{[ cita necesaria ]}

A cualquier conjunto se le puede dar la topología contable , en la que un conjunto se define como abierto si está vacío o su complemento es contable. Cuando el conjunto es incontable, esta topología sirve como contraejemplo en muchas situaciones.

A la línea real también se le puede dar la topología de límite inferior . Aquí, los conjuntos abiertos básicos son los intervalos medio abiertos. Esta topología es estrictamente más fina que la topología euclidiana definida anteriormente; una secuencia converge a un punto en esta topología si y sólo si converge desde arriba en la topología euclidiana. Este ejemplo muestra que un conjunto puede tener muchas topologías distintas definidas en él. ${\displaystyle [a,b).}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Si es un número ordinal , entonces el conjunto puede estar dotado de la topología de orden generada por los intervalos y donde y son elementos de ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$ ${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$ ${\displaystyle [0,\beta ),}$ ${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \beta }$ ${\displaystyle \gamma .}$

El espacio exterior de un grupo libre consta de las llamadas "estructuras gráficas métricas marcadas" del volumen 1 en ^[16] ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}.}$

Construcciones topológicas

A cada subconjunto de un espacio topológico se le puede dar la topología del subespacio en la que los conjuntos abiertos son las intersecciones de los conjuntos abiertos del espacio mayor con el subconjunto. Para cualquier familia indexada de espacios topológicos, al producto se le puede dar la topología del producto , que se genera mediante las imágenes inversas de conjuntos abiertos de los factores bajo las asignaciones de proyección . Por ejemplo, en productos finitos, una base para la topología del producto consta de todos los productos de conjuntos abiertos. Para productos infinitos, existe el requisito adicional de que en un conjunto abierto básico, todas sus proyecciones, excepto un número finito, son el espacio completo.

Un espacio cociente se define de la siguiente manera: si es un espacio topológico y es un conjunto, y si es una función sobreyectiva , entonces la topología cociente es la colección de subconjuntos que tienen imágenes inversas abiertas bajo En otras palabras, la topología cociente es la mejor topología para la cual es continua. Un ejemplo común de topología de cociente es cuando se define una relación de equivalencia en el espacio topológico. El mapa es entonces la proyección natural sobre el conjunto de clases de equivalencia . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle f}$

La topología de Vietoris sobre el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de un espacio topológico llamado así por Leopold Vietoris , se genera mediante la siguiente base: para cada tupla de conjuntos abiertos construimos un conjunto de bases que consta de todos los subconjuntos de la unión de que tienen intersecciones no vacías entre sí ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle U_{i}}$ ${\displaystyle U_{i}.}$

La topología de Fell en el conjunto de todos los subconjuntos cerrados no vacíos de un espacio polaco localmente compacto es una variante de la topología de Vietoris y lleva el nombre del matemático James Fell. Se genera mediante la siguiente base: para cada tupla de conjuntos abiertos en y para cada conjunto compacto, el conjunto de todos los subconjuntos de que son disjuntos y tienen intersecciones no vacías con cada uno es miembro de la base. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle U_{1},\ldots ,U_{n}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle U_{i}}$

Clasificación de espacios topológicos.

Los espacios topológicos se pueden clasificar de manera amplia, hasta el homeomorfismo, por sus propiedades topológicas . Una propiedad topológica es una propiedad de los espacios que es invariante bajo homeomorfismos. Para demostrar que dos espacios no son homeomórficos basta encontrar una propiedad topológica que no compartan. Ejemplos de tales propiedades incluyen conectividad , compacidad y varios axiomas de separación . Para invariantes algebraicas, consulte topología algebraica .

Espacios topológicos con estructura algebraica.

Para cualquier objeto algebraico podemos introducir la topología discreta, bajo la cual las operaciones algebraicas son funciones continuas. Para cualquier estructura que no sea finita, a menudo tenemos una topología natural compatible con las operaciones algebraicas, en el sentido de que las operaciones algebraicas siguen siendo continuas. Esto lleva a conceptos tales como grupos topológicos , espacios vectoriales topológicos , anillos topológicos y campos locales .

Espacios topológicos con estructura de orden.

• Espectral : Un espacio es espectral si y sólo si es el espectro primo de un anillo ( teorema de Hochster ).
• Preorden de especialización : en un espacio el preorden de especialización (o preorden canónico ) se define por si y solo si donde denota un operador que satisface los axiomas de cierre de Kuratowski . ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} \{x\}\subseteq \operatorname {cl} \{y\},}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} }$

Ver también

• Álgebra de Heyting completa : el sistema de todos los conjuntos abiertos de un espacio topológico determinado ordenados por inclusión es un álgebra de Heyting completa.
• Espacio compacto  – Tipo de espacio matemático
• Espacio de convergencia  : generalización de la noción de convergencia que se encuentra en la topología general.
• Espacio exterior
• Espacio de Hausdorff  - Tipo de espacio topológico
• Espacio de Hilbert  : tipo de espacio vectorial topológico
• Hemicontinuidad
• Subespacio lineal  : en matemáticas, subespacio vectorial
• Espacio cuasitopológico  : un conjunto X equipado con una función que asocia a cada espacio compacto de Hausdorff K una colección de mapas K→C que satisfacen ciertas condiciones naturales.Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Subespacio relativamente compacto  : subconjunto de un espacio topológico cuyo cierre es compactoPages displaying wikidata descriptions as a fallback
• Espacio (matemáticas)  : conjunto matemático con alguna estructura adicional

Citas

1. Schubert 1968, pag. 13
2. Sutherland, Washington (1975). Introducción a los espacios métricos y topológicos. Oxford [Inglaterra]: Clarendon Press. ISBN 0-19-853155-9. OCLC  1679102.
3. Gauss 1827.
4. Gallier y Xu 2013.
5. J. Stillwell, Las matemáticas y su historia.
6. "espacio métrico" . Diccionario de inglés Oxford (edición en línea). Prensa de la Universidad de Oxford . (Se requiere suscripción o membresía de una institución participante).
7. Hausdorff, Félix (1914) [1914]. "Punktmengen in allgemeinen Räumen". Grundzüge der Mengenlehre. Göschens Lehrbücherei/Gruppe I: Reine und Angewandte Mathematik Serie (en alemán). Leipzig: Von Veit (publicado en 2011). pag. 211.ISBN​ 9783110989854. Consultado el 20 de agosto de 2022 . Unter einem metrischen R aume verstehen wir eine Menge E , [...].
8. Brown 2006, sección 2.1.
9. Brown 2006, sección 2.2.
10. Armstrong 1983, definición 2.1.
11. Armstrong 1983, teorema 2.6.
12. Munkres, James R (2015). Topología . Pearson. págs. 317–319. ISBN 978-93-325-4953-1.
13. WJ Thron, Contribuciones de Frederic Riesz a los fundamentos de la topología general , en CE Aull y R. Lowen (eds.), Manual de historia de la topología general , volumen 1, 21-29, Kluwer 1997.
14. Dolecki y Mynard 2016, págs. 55–77. sfn error: no target: CITEREFDoleckiMynard2016 (help)
15. Dolecki 2009, págs. 1–51 harvnb error: no target: CITEREFDolecki2009 (help)
16. Culler, Marc ; Vogtmann, Karen (1986). «Módulos de grafos y automorfismos de grupos libres» (PDF) . Invenciones Mathematicae . 84 (1): 91-119. Código Bib : 1986 InMat..84...91C. doi :10.1007/BF01388734. S2CID  122869546.

Bibliografía

• Armstrong, MA (1983) [1979]. Topología básica . Textos de Pregrado en Matemáticas . Saltador. ISBN 0-387-90839-0.
• Bredon, Glen E. , Topología y Geometría (Textos de Posgrado en Matemáticas), Springer; 1.ª edición (17 de octubre de 1997). ISBN 0-387-97926-3 . 
• Bourbaki, Nicolás ; Elementos de Matemáticas: Topología General , Addison-Wesley (1966).
• Marrón, Ronald (2006). Topología y grupoides. Surgimiento de libros. ISBN 1-4196-2722-8.(3ª edición de libros con títulos diferentes)
• Čech, Eduard ; Conjuntos de puntos , Academic Press (1969).
• Fulton, William , Topología Algebraica , (Textos de Posgrado en Matemáticas), Springer; 1.ª edición (5 de septiembre de 1997). ISBN 0-387-94327-7 . 
• Gallier, Jean; Xu, Diana (2013). Una guía para el teorema de clasificación de superficies compactas . Saltador.
• Gauss, Carl Friedrich (1827). Investigaciones generales de superficies curvas .
• Lipschutz, Seymour; Esquema de topología general de Schaum , McGraw-Hill; 1.ª edición (1 de junio de 1968). ISBN 0-07-037988-2 . 
• Munkres, James ; Topología , Prentice Hall; 2ª edición (28 de diciembre de 1999). ISBN 0-13-181629-2 . 
• Runde, Volker; Un sabor de topología (Universitext) , Springer; 1ª edición (6 de julio de 2005). ISBN 0-387-25790-X . 
• Schubert, Horst (1968), Topología , Macdonald Technical & Scientific, ISBN 0-356-02077-0
• Steen, Lynn A. y Seebach, J. Arthur Jr .; Contraejemplos en topología , Holt, Rinehart y Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4 . 
• Vaidyanathaswamy, R. (1960). Establecer topología . Chelsea Publishing Co. ISBN 0486404560.
• Willard, Stephen (2004). Topología general. Publicaciones de Dover. ISBN 0-486-43479-6.

enlaces externos

• "Espacio topológico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]