En matemáticas , un espacio sobrio es un espacio topológico X tal que cada subconjunto cerrado irreducible (no vacío) de X es el cierre de exactamente un punto de X : es decir, cada subconjunto cerrado irreducible tiene un punto genérico único .
Los espacios sobrios tienen una variedad de definiciones criptomórficas , que se documentan en esta sección. Todo excepto la definición en términos de redes se describe en [1] En cada caso a continuación, reemplazar "único" por "como máximo uno" da una formulación equivalente del axioma T 0 . Reemplazarlo con "al menos uno" equivale a la propiedad de que el cociente T 0 del espacio es sobrio, lo que a veces se denomina en la literatura que tiene "suficientes puntos".
Un espacio topológico X es sobrio si cada mapa que preserva todas las uniones y todos los encuentros finitos de su conjunto parcialmente ordenado de subconjuntos abiertos es la imagen inversa de una función continua única desde el espacio de un punto hasta X.
Esto puede verse como una correspondencia entre la noción de un punto en un lugar y un punto en un espacio topológico, que es la definición motivadora.
Se dice que un filtro F de conjuntos abiertos es completamente primo si para cualquier familia de conjuntos abiertos tal que tenemos eso para algún i . Un espacio X es sobrio si cada filtro completamente primo es el filtro de vecindad de un único punto en X.
Una red es autoconvergente si converge a cada punto en , o de manera equivalente si su filtro de eventualidades es completamente primo. Una red que converge a converge fuertemente si solo puede converger a puntos en el cierre de . Un espacio es sobrio si cada red autoconvergente converge fuertemente hacia un único punto . [2]
En particular, un espacio es T1 y sobrio precisamente si toda red autoconvergente es constante.
Un conjunto cerrado es irreducible si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos cerrados propios. Un espacio es sobrio si cada subconjunto cerrado irreductible es el cierre de un punto único.
Un espacio X es sobrio si cada funtor desde la categoría de haces Sh(X) hasta Set que preserva todos los límites finitos y todos los colimits pequeños debe ser el functor de tallo de un punto único x .
Cualquier espacio de Hausdorff (T 2 ) es sobrio (los únicos subconjuntos irreducibles son puntos), y todos los espacios sobrios son Kolmogorov (T 0 ), y ambas implicaciones son estrictas. [3]
La sobriedad no es comparable a la condición T 1 :
Además, T 2 es más fuerte que T 1 y sobrio, es decir, si bien todo espacio T 2 es al mismo tiempo T 1 y sobrio, existen espacios que son simultáneamente T 1 y sobrios, pero no T 2 . Un ejemplo de ello es el siguiente: sea X el conjunto de números reales, con un nuevo punto p adjunto; siendo los conjuntos abiertos todos conjuntos abiertos reales y todos los conjuntos cofinitos que contienen p.
La sobriedad de X es precisamente una condición que obliga a la red de subconjuntos abiertos de X a determinar X hasta el homeomorfismo , lo cual es relevante para una topología sin sentido .
La sobriedad hace que la reserva de especialización sea una orden parcial completa dirigida .
Cada poset completo dirigido continuo equipado con la topología de Scott es sobrio.
Los espacios finitos T 0 son sobrios. [4]
El espectro primo Spec( R ) de un anillo conmutativo R con topología de Zariski es un espacio sobrio compacto . [3] De hecho, cada espacio espectral (es decir, un espacio sobrio compacto para el cual la colección de subconjuntos abiertos compactos está cerrada bajo intersecciones finitas y forma una base para la topología) es homeomorfo a Spec( R ) para algún anillo conmutativo R . Este es un teorema de Melvin Hochster . [5] De manera más general, el espacio topológico subyacente de cualquier esquema es un espacio sobrio.
El subconjunto de Spec( R ) que consta únicamente de los ideales máximos, donde R es un anillo conmutativo, no es sobrio en general.
